7. Potenze e radicali

Formulario di matematica
G. Sammito, A. Bernardo,
F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi
Potenze e radicali
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7. Potenze e radicali
7.1 Definizione di potenza
Definizione. Dato un naturale n ∈ N , per ogni a ∈ R si definisce l'elevamento a potenza a n come il
prodotto di n fattori uguali ad a .
a n = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
n volte
La definizione si estende ai seguenti casi casi particolari a1 = a , a 0 = 1 . Non si assegna alcun valore al
simbolo 00 .
Si può definire ricorsivamente come segue:
⎧1 se n=0
an = ⎨
n −1
⎩a ⋅ a se n>0
Il numero a si chiama base, il numero n si chiama esponente.
Potenza con esponente negativo. La definizione si estende anche agli esponenti negativi. Se h è un
intero negativo, allora la potenza a h è definita per ogni a ∈ R \ {0} , e risulta
1
a h = −h
a
Esempi. 5−2 =
1
1
=
;
2
5
25
−3
3
3
8
⎛3⎞
⎛2⎞ 2
;
=
=
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
3
27
⎝2⎠
⎝3⎠ 3
−1
⎛1⎞
⎜ ⎟ = 2.
⎝2⎠
Potenza con esponente frazionario. Si estende la definizione anche al caso di esponente razionale,
n
purché la base sia non negativa. Nel caso in cui l'esponente h sia un razionale, h = , risulta
m
n
ah = a m = m an
2
3
−
Esempi. 3 = 3 ; 3
3
2
2
3
⎛4⎞
= 2 =
;⎜ ⎟
3 2
3 ⎝5⎠
33
1
1
−
3
2
3
125
⎛5⎞
.
= ⎜ ⎟ =
64
⎝4⎠
Potenza con esponente reale
Consideriamo la potenza a b con a, b ∈ , b > 0 .
Essendo b un numero irrazionale, per definizione di numeri irrazionale, è l’elemento separatore di due
classi contigue di numeri razionali. A partire da esse si costruiscono due altri classi contigue di potenze
con esponente razionale, l’elemento di separazione è proprio la potenza cercata.
Esempio. 3 2
⎧1 1, 4 1, 41 1, 414 1, 4142 ...
2 è l’elemento separatore di ⎨
⎩ 2 1,5 1, 42 1, 415 1, 4143 ...
⎧⎪31 31,4 31,41 31,414 31,4142 ...
3 2 è l’elemento separatore di ⎨ 2 1,5 1,42 1,415 1,4143
3
3
3
...
⎪⎩3 3
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Potenze e radicali
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Sia b = b0 , b1b2b3b4 ... la rappresentazione decimale della potenza.
Si costruisce la successione β 0 = b0 ; β1 = b0 , b1 ; β 2 = b0 , b1b2 ; β 3 = b0 , b1b2b3 ; …
questa successione tende a b .
β
β
Si costruisce la succesione delle potenze a0 = a 0 ; a1 = a 1 ; a2 = a 2 ; …
si tratta di potenze con esponenti razionali, poiché β 0 , β1 , … sono numeri razionali. Questa
successione è crescente. Si definisce
β
{ }
a b = sup n a β n
7.2 Proprietà delle potenze
a n ⋅ a m = a n+m
an
= a n−m , a ≠ 0
m
a
32 ⋅ 34 = 32+ 4 = 36
35
= 35− 2 = 33
2
3
( a n ) m = a n ⋅m
(3 )
a n ⋅ b n = ( a ⋅ b) n
34 ⋅ 24 = 64
2
n
5
= 32⋅5 = 310
7
an ⎛ a ⎞
=⎜ ⎟ , b≠0
bn ⎝ b ⎠
p ⋅ an + q ⋅ an = ( p + q ) ⋅ an
37 ⎛ 3 ⎞
=⎜ ⎟
27 ⎝ 2 ⎠
2 ⋅ 35 + 4 ⋅ 35 = 6 ⋅ 35
7.3 Radici
Definizione. La radice n-esima o radicale di un numero reale a , indicata con il simbolo n a è un
numero b tale che b n = a . Il numero b si dice radice, il numero n si dice indice, il numero a si dice
radicando.
n
a = b ⇔ bn = a
La radice di indice 2 si dice anche radice quadrata e si indica a senza esplicitare l’indice.
4 = 2 infatti 22 = 4 ;
Esempi.
3
8 = 2 infatti 23 = 8 ;
4
81 = 3 infatti 34 = 81 .
Se la radice ha indice pari il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
Se la radice ha indice dispari il radicando può essere anche negativo.
Esempi. −1 non esiste; 3 −27 = −3 ; 4 −2 non esiste; 5 −32 = −2 .
7.4 Proprietà delle radici
Dati a,b > 0 , m, n ∈
n
a ⋅ b = a ⋅b
n
n
n
a na
=
n
b
b
n
am =
3
5 3 2 = 3 10
3
10 3
= 5
2
3
( )
n
risulta
a
m
m
= an
3
54 =
( )
3
5
4
4
= 53
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( 5)
( m a n ) h = m a n⋅h
3
= 3 52⋅4
53 = 5
a k ⋅m = n a m
6
38 = 3 34
an ⋅ b = a ⋅ n b
3
24 = 3 23 ⋅ 3 = 2 3 3 ; 2 3 4 = 3 23 ⋅ 4 = 3 32
k ⋅n
n
4
3
an = a
n
2
n m
a = n⋅ m a
m1
n1
a ⋅
m1
m2
a
a
m2
a
n1
n2
n2
=a
2 = 12 2
3 4
=a
n1 n2
−
m1 m2
n1 n2
+
m1 m2
=
=
m1⋅m2
a
m1⋅m2
a
n1⋅m2 + m1⋅n2
n1⋅m2 − m1⋅n2
3
52 ⋅ 4 57 = 12 52⋅4+7⋅3 = 12 529
3
52
4
7
= 12 52⋅4−7⋅3 = 12 5−13 =
5
1
12
513
7.5 Razionalizzazione del denominatore
1
1
a
a
=
⋅
=
a
a
a a
1
n
am
=
1
n
am
⋅
n
a n−m
n
a n−m
1
1
2
2
1
1
5
5
=
⋅
=
;
=
⋅
=
2 2 5 2 5 5 10
2
2 2
=
n
a n−m
a
1
1 3 22 3 4
;
=
⋅
=
3
2
2 3 2 3 22
1
7
23
=
1
7
23
⋅
7
24
7
24
=
7
1
1
a ∓b
a ∓b
=
⋅
=
2
a ±b
a ±b a ∓b a −b
1
1
2 +3
2 +3
2 +3
=
⋅
=
=
2−9
7
2 −3
2 −3 2 +3
1
1
a∓ b
a∓ b
=
⋅
=
a −b
a± b
a± b a∓ b
1
1
2− 3
2− 3
=
⋅
=
=−
2−3
2+ 3
2+ 3 2− 3
c
=
3
a±3b
c
(
3
(
3
a 2 ∓ 3 ab + 3 b 2
a±3b
)(
3
)
a 2 ∓ 3 ab + 3 b 2
)
=
c
(
3
a 2 ∓ 3 ab + 3 b 2
24
2
(
2− 3
)
)
a±b
7.6 Radicali doppi
Un radicale doppio è un’espressione del tipo
a± b
A volte è possibile trasformare un radicale doppio in una somma di radicali, per mezzo della seguente
identità
a± b =
a + a2 − b
a − a2 − b
±
2
2
Esempi
3− 5 =
3+ 9−5
3− 9−5
3+ 2
3− 2
5
1
10
2
10 − 2
−
=
−
=
−
=
−
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3+ 2 =
3+ 9− 2
3− 9− 2
3+ 7
3− 7
questo radicale doppio non si può ridurre.
−
=
−
2
2
2
2
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