Lezione VI
Avviare la presentazione col tasto “Invio”
1
Energia cinetica
Supponiamo il caso in cui la risultante F delle forze applicate ad una massa m sia costante
(in termini vettoriali cioè sia in modulo che in direzione e verso). Come sappiamo, una
forza costante imprime alla massa in questione una accelerazione costante
a, data dalla
II Legge di Newton:
a=F/m
Scegliamo come sistema di riferimento l’asse delle x coincidente con la direzione comune della
forza F e dell’accelerazione a, e calcoliamo il lavoro fatto dalla forza F nello sposare la massa
m di una quantità x.
F
a
0x
d=x
x
2
Il prodotto scalare fra i due vettori F e d
semplice moltiplicazione:
F x.
L=F• d
in questo caso si riduce ad una
Stiamo parlando di un moto uniformemente accelerato
(a = costante, in senso vettoriale, quindi in modulo, direzione e verso), e quindi rettilineo.
La forza, l’accelerazione e lo spostamento hanno quindi la stessa direzione.
Il prodotto scalare
F • d si riduce al prodotto dei
moduli dei due vettori.
L=Fx
Essendo a = costante, dalle equazioni del moto definite in cinematica sia ha:
v = v0 + a t
a = (v –v0) / t
x = <v> t
x = ½ (v+v0) t
Dove v0 è la velocità della particella a t = 0 e v è a sua velocità all’istante t
3
Il lavoro
L=Fx
è quindi dato da:
L = F x = ma x = m (v –v0) / t x ½ (v+v0) t =
= ½ mv2 − ½ mv02
(ricordate i «prodotti notevoli» ?)
Definiamo questa quantità l’Energia Cinetica (energia di movimento) della massa m e la
indicheremo col simbolo K
K= ½ mv2
In base a questa formulazione quindi:
Il lavoro fatto da una forza su una particella è uguale alla sua
variazione di Energia Cinetica
4
Sebbene abbiamo ricavato questa formulazione nel semplice caso di una forza costante, si
dimostra che la formulazione è del tutto generale e vale anche nel caso di una forza
variabile. Supponiamo per esempio il caso di una forza F che varia in modulo, in
funzione della posizione, ma non in direzione. Consideriamo lo spostamento s nella
direzione dell’asse x. Il lavoro fatto dalla forza F per spostare la particella da x0 a
dato da:
L=F• d=
∫
xè
x
F(x) dx
x0
In base alla II Legge di Newton
F=ma.
L’accelerazione a può essere scritta come:
a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = (dv/dx) v = v dv/dx
5
Quindi:
F = ma diventa F = m v dv/dx
x
x
L=
∫
F(x) dx =
x0
∫
e di conseguenza:
[mv (dv/dx)]dx =
x0
∫
v
mv dv =
v0
= ½ mv2 − ½ mv02
Si dimostra che anche nel caso in cui la forza non solo varia in modulo, ma varia anche
in direzione, in ogni caso risulta sempre che il lavoro fatto dalla risultante delle forze su
una particella è eguale alla sua variazione di energia cinetica :
L (lavoro della forza risultante) = K –K0 = ΔK
(Teorema Lavoro-Energia)
6
Il caso del moto circolare uniforme
Non dobbiamo dimenticare che il lavoro è il prodotto scalare della forza per lo
spostamento. Ciò che è rilevante pertanto è la componente della forza nella direzione
dello spostamento. In tutti i casi in cui la forza applicata risulta ortogonale allo
spostamento, risulta evidente che
L = 0.
Per esempio nel moto circolare
uniforme, la forza centripeta, istante per istante, è ortogonale allo spostamento e
pertanto tale forza NON compie lavoro sulla massa m in questione.
In generale, una forza che determina una variazione della sola direzione della velocità,
ma non del suo modulo, NON compie lavoro. Infatti, se una forza avesse una
componente nella direzione del moto (così da avere L
≠ 0), allora determinerebbe
anche una variazione del modulo della velocità.
7
Sul significato di lavoro negativo
Supponiamo che l’energia cinetica K di una particella diminuisca. Allora
il lavoro L fatto su di essa dalla risultante F delle forze applicate risulta negativo
L = K − K0 < 0
se K < K0
• Questa equazione può essere interpretata affermando che l’energia cinetica di una
particella diminuisce di una quantità eguale al lavoro da essa prodotto per contrastare
una forza (così come aumenta di una quantità uguale al lavoro ricevuto da una forza)
• In sostanza: una particella in moto possiede una certa quantità di energia, sotto forma
di energia cinetica (energia di movimento). Non appena produce lavoro, perde
energia cinetica (cioè velocità).
• Quindi: l’energia cinetica di un corpo in movimento è pari al lavoro che produce
nel fermarsi.
8
Ecco il significato del teorema lavoro-energia: il lavoro produce energia, l’energia
restituisce lavoro in pari misura. In senso figurativo potremmo affermare che entrambe
sono due grandezze fisiche in cui in sostanza l’energia appare come «accumulata»
Supponiamo per esempio che un blocco di massa m si muova su un tavolo senza attrito
ad velocità costante v. Lungo il suo percorso incontra una molla ancorata ad una parete
che lo porta a riposo, cioè lo ferma. In base al teorema lavoro-energia, possiamo per
esempio determinare di quanto si comprime la molla se la sua costante elastica è nota.
9
Il blocco in movimento possiede una energia cinetica K data dalla relazione:
K= ½ mv2
Questa energia cinetica eguaglia il lavoro che il blocco esegue sulla molla nell’arrestarsi,
e che è dato dalla:
L =
∫
x
F(x) dx
dove:
F(x) = kx
L = ½ kx2
0
Eguagliando lavoro ed energia, si ha pertanto:
½ kx2
=
½ mv2
Da cui possiamo ricavare la compressione della molla x:
x = (mv/k)1/2
10
E interessante verificare che se lasciamo la molla libera di espandersi, la massa
m riacquista
interamente l’energia cinetica ceduta alla molla sotto forma di lavoro
Quello che avevamo appena affermato sul significato del teorema lavoro energia
Ecco il significato del teorema lavoro-energia: il lavoro produce energia, l’energia
restituisce lavoro in pari misura. In senso figurativo potremmo affermare che entrambe
sono due grandezze fisiche in cui in sostanza l’energia appare come «accumulata»
11
E questo ci ricorda qualcosa che avevamo intuito durate la prima lezione, discutendo
in modo del tutto qualitativo i concetti di energia potenziale e energia cinetica
Energia Potenziale
Energia cinetica
E infatti, vedremo che la definizione di questa grandezza fisica, il lavoro, ci conduce verso12
la definizione dell’energia potenziale.
E vedremo che per avvicinarci alla definizione dell’energia potenziale, e più in generale
per enunciare il grande principio della Conservazione dell’Energia, dovremo distinguere
alcuni tipi di forze. E quindi in alcuni casi potrà essere utile calcolare separatamente il
lavoro fatto su una particella da ogni forza applicata, piuttosto che individuare direttamente
il lavoro fatto dalla risultante delle forze. Per capire il fatto che esistono differenti tipi di forze,
e che non tutte «rispondono» allo stesso modo al teorema lavoro-energia, consideriamo i
seguenti esempi:
a) L’esempio della molla considerato prima, in cui una massa m è arrestata da una molla
b) Il caso in cui la massa m è arrestata da una parete assorbente
13
a) L’esempio della molla considerato prima, in cui una massa m è arrestata da una molla
b) Il caso in cui la massa m è arrestata da una parete assorbente
14
Supponiamo di bloccare entrambe le masse non appena si sono fermate:
15
Adesso lasciamo nuovamente libere le masse e vediamo che succede:
16
Cosa è successo ?
a) Nel primo caso: la molla ha interamente restituito alla massa m la sua energia cinetica
Qualcosa che ci ricorda questo grafico:
Energia Potenziale
Energia cinetica
b) Nel secondo caso: il cuscino non ha restituito per niente alla massa m la sua energia cinetica
17
Vedremo nel seguito che esistono forze conservative
e forze non conservative, e vedremo cosa vuol dire
alla luce di questo esperimento
18
Esempio 1
Un blocco di massa m = 10kg deve essere trasportato dalla base all’estremità superiore
di un piano inclinato, percorrendo 5 m sul piano inclinato, e sollevandosi ad una quota
di 3 m. Supponendo il piano inclinato senza attrito, quale lavoro compie una forza F,
parallela al piano inclinato, che spinge il blocco a velocità costante ?
Come prima cosa, inquadriamo graficamente il problema indicando i dati noti
5m
3m
θ
F
Le forze che agiscono sul blocco sono indicate nel diagramma di seguito. Poiché il problema
parla di moto a velocità costante lungo il piano inclinato, la risultante delle forze lungo x deve
essere = 0, cioè
Da cui
F – mg sin (θ) = 0
[ notiamo che sin (θ) = 3/5 ]
F = mg sin(θ) =
= 3/5 x 10kg x 9,8 m/s2 = 58,8 nt
N
L = F • d = F d cos(0°) = 58,8 nt x 5 m =
F
= 294 Joule
mg
5m
3m
θ
F
Esempio 2
Supponiamo di tirare una slitta di peso P = 10kg per 10 m su di una superficie orizzontale a
velocità costante. Supponiamo che il coefficiente di attrito dinamico sia
μc =
0,20
e che la forza applicata per trascinare la slitta formi un angolo di 45° con l’orizzontale.
Quesito: quale lavoro compiamo sulla slitta ?
Come prima cosa, inquadriamo graficamente il problema indicando i dati noti.
10 m
10 kg
μc = fc / N = 0,2
45°
Notate la definizione di coefficiente d’attrito
Le forze che agiscono sulla slitta sono indicate nel diagramma di seguito.
Il lavoro L fatto nel trascinare la slitta è dato da:
y
L = F • d = F d cos (θ)
N
Per calcolare F ci riferiamo al diagramma delle forze. Poiché
il moto orizzontale avviene a velocità costante, la
risultante delle forze agenti lungo l’asse x deve essere = 0
F
θ=45°
x
fc
F cos (θ) + fc = 0 F cos (θ) = -fc
P
dove:
fc = μc N
Non essendoci moto lungo l’asse y, anche la risultante delle
forze agenti lungo l’asse y deve essere = 0
F sin (θ) + N – P
=0
Le due equazioni sono quindi:
F cos (θ) − μc N = 0
F sin (θ) + N – P = 0
I dati noti sono:
μc = 0,2
P = 10 kg
θ = 45°
Le incognite sono:
F
N
Da cui risulta:
N = F cos (θ) / μc
F sin (θ) + F cos (θ) / μc – P = 0
F (sin(θ) + cos(θ)/ μc ) = P F = P / (sin(θ) + cos(θ)/ μc )
Per comodità riscriviamo la formula ricavata per F:
F = P / (sin(θ) + cos(θ)/ μc ) F = μc P / (μc sin(θ) + cos(θ) )
Adottando i valori noti:
μc = 0,2
P = 10 kg
θ = 45°
Si ha:
F = 0,2 x 10kg x 9,8 m/s2 / (0,141 + 0,707) = 23,5 nt
Quindi il lavoro fatto su
d = 10m è:
L = F d cos(θ) = 23,5 nt x 10 m x 0,707 = 166 joule
