Equazioni algebriche sul campo
dei numeri reali
Generalità
Le Espressioni Aritmetiche
Un’espressione aritmetica è un insieme di numeri legati tra loro da segni di
operazioni, alcune delle quali racchiuse da parentesi.
LE REGOLE
Se l’espressione contiene tutte e quattro le operazioni, si procede eseguendo
prima
« moltiplicazioni e divisioni » nell’ordine in cui sono scritte,
poi
«addizioni e sottrazioni » nell’ordine in cui sono scritte.
Le parentesi determinano delle “precedenze” nel calcolo. Si risolvono:
• prima le parentesi tonde ( )
• dopo le parentesi quadre [ ]
• per ultime le parentesi graffe { }
• infine si risolvono tutte le operazioni rimaste
Rapporti e proporzioni
Si dice rapporto fra due numeri, preso in un certo ordine, il quoziente della
divisione fra il primo di essi e il secondo. Il rapporto tra i numeri 1 e 2 può
essere espresso mediante una delle tre scritture:
1
2
1: 2
0,5
Si definisce proporzione l’uguaglianza di due rapporti, cioè:
a:b=c:d
Per indicare i termini di una proporzione si indica la seguente terminologia:
i termini a e c prendono il nome di antecedenti;
i termini b e d prendono il nome di conseguenti;
i termini a e d prendono il nome di estremi;
i termini b e c prendono il nome di medi.
Proprietà delle proporzioni
1. Proprietà fondamentale delle proporzioni:
in ogni proporzione il prodotto dei medi è
uguale al prodotto degli estremi.
Esempio: Nella proporzione 5:10 = 15:30, il
prodotto dei medi è 10 x15 = 150 , mentre il
prodotto degli estremi è 5 x 30 = 150.
Proprietà delle proporzioni
2. Proprietà dell’invertire: in ogni proporzione,
se si scambia ogni antecedente con il proprio
conseguente, si ottiene ancora una
proporzione.
Esempio: Nella proporzione 5:10 = 15:30 se si
applica la proprietà dell’invertire si ottiene
l’uguaglianza tra rapporti 10:5 = 30:15, che è
ancora una proporzione.
Proprietà delle proporzioni
3. Proprietà del permutare: in ogni
proporzione, se si scambiano fra loro i medi
oppure gli estremi, si ottiene ancora una
proporzione.
Esempio: Nella proporzione 5:10 = 15:30 se si
applica la proprietà del permutare si ottiene
l’uguaglianza tra rapporti 30:10 = 15:5, che è
ancora una proporzione.
Proprietà delle proporzioni
4. Proprietà del comporre: in ogni proporzione
la somma del primo e del secondo termine sta
al primo (o al secondo) come la somma del
terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto).
Esempio: Nella proporzione 5:10 = 15:30 se si
applica la proprietà del comporre si ottiene
l’uguaglianza tra rapporti (30 + 10) :10 = (15 +
5) :5 → 40:10 = 20:5 , che è ancora una
proporzione.
Proprietà delle proporzioni
5. Proprietà dello scomporre: in ogni proporzione
che ha gli antecedenti maggiori dei conseguenti, la
differenza fra il primo e il secondo termine sta al
primo (o al secondo) come la differenza fra il
terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto).
Esempio: Nella proporzione 5:10 = 15:30 se si
applica la proprietà dello scomporre si ottiene
l’uguaglianza tra rapporti (30 – 10) :10 = (15 – 5)
:5 → 20:10 = 10:5 , che è ancora una proporzione.
Calcolo del termine incognito
Data una proporzione contenente un termine
incognito è possibile calcolarlo mediante la proprietà
fondamentale delle proporzioni. Infatti:
o se il termine incognito è un medio basta dividere
il prodotto degli estremi per il medio noto, cioè:
o se il termine incognito è un estremo basta
dividere il prodotto dei medi per l’estremo noto,
cioè:
Calcolo del termine incognito
o se il termine incognito è il medio proporzionale
basta calcolare la radice quadrata del prodotto
degli estremi, cioè:
Numeri percentuali
Si dice numero percentuale un numero che
viene riferito al valore fisso 100 ed in genere si
indica facendolo seguire dal simbolo %, che si
legge «percento». Per trasformare un numero
percentuale in un numero decimale basta
dividere il numero per 100, per esempio:
Numeri percentuali
Se invece si vuole trasformare un numero
decimale in un numero percentuale basta
riscrivere la frazione con 100 a denominatore.
Ad esempio:
Numeri percentuali
Esempio: Il prezzo di un maglione è di 125€ e in
periodo di saldi viene applicato uno sconto del
30%. Qual è il prezzo scontato del maglione?
Calcoliamo lo sconto applicato sul prezzo del
maglione mediante la proporzione:
da cui ricaviamo:
Di conseguenza il prezzo scontato è 87,5€.
Grandezze direttamente e
inversamente proporzionali
Si consideri il perimetro di un triangolo equilatero e
sappiamo che esso varia al variare della lunghezza del
suo lato. Se si indica con la lunghezza del lato del
triangolo, allora il perimetro è dato dalla relazione:
P=3l
È possibile notare che se raddoppia il lato, raddoppia
anche il perimetro; se si triplica il lato, allora triplica
anche il perimetro; etc.
Grandezze direttamente e
inversamente proporzionali
Definizione: Due grandezze x e y si dicono
direttamente proporzionali se il loro rapporto è
costante, cioè:
In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo
dedurre che una proporzionalità diretta è espressa da
una formula del tipo:
Grandezze direttamente e
inversamente proporzionali
Graficamente un tale tipo di proporzionalità è
rappresentato da una retta che passa per l’origine di un
sistema di assi cartesiani ortogonali.
Grandezze direttamente e
inversamente proporzionali
Consideriamo adesso un gas ideale e siano p e V la sua
pressione e il suo volume. L’esperienza mette in
evidenza il fatto che all’aumentare del volume
diminuisce la pressione.
Ciò significa che se il volume raddoppia la pressione
dimezza, mentre se il volume dimezza la pressione
raddoppia.
Grandezze direttamente e
inversamente proporzionali
Definizione: Due grandezze x e y si dicono
inversamente proporzionali se il loro prodotto è
costante, cioè:
In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo
dedurre che una proporzionalità diretta è espressa da
una formula del tipo:
Grandezze direttamente e
inversamente proporzionali
Graficamente un tale tipo di proporzionalità è
rappresentato da un ramo d’iperbole in un sistema di
assi cartesiani ortogonali.
Le equazioni e i sistemi
di primo grado
Definizione di equazione di primo grado
Un’equazione di primo grado è una uguaglianza
algebrica che risulta essere verificata per un numero
finito di valori attribuiti ad una variabile che prende il
nome di incognita e che di solito si denota con la
lettera x.
Esempi di equazioni:
Definizione di equazione di primo grado
o nelle equazioni di primo grado l’incognita x
compare sempre con esponente pari ad uno.
o l’espressione che compare a sinistra dell’uguale si
chiama primo membro
o l’espressione che compare a destra dell’uguale si
chiama secondo membro
Tipologie di equazioni di primo grado
• equazioni intere:
• equazioni intere:
• equazioni frazionarie:
una equazione si dice frazionaria se l’incognita compare
al denominatore della frazione e non perché contiene
delle frazioni.
Soluzione di una equazione di primo grado
Prende il nome di soluzione di una equazione di primo grado
il valore numerico che sostituito alla incognita determina che
il primo membro della equazione sia uguale al secondo
membro.
Ad esempio data l’equazione:
la sua soluzione sarà data da
in quanto se al posto della incognita x sostituiamo il numero
quattro avremo:
Soluzione di una equazione di primo grado
In una equazione di primo grado se c’è
una soluzione questa è unica, ossia non
può esistere una equazione di primo grado
con due soluzioni diverse.
Le identità
Prende il nome di identità una uguaglianza
algebrica che risulta essere verificata per qualunque
numero reale attribuito all’incognita.
Ad esempio l’uguaglianza:
è una identità in quanto qualunque numero
mettiamo al posto della incognita il primo
membro sarà sempre uguale al secondo membro
dell’equazione considerata.
Equazioni impossibili
Una equazione è impossibile se non ammette
soluzione. Ad esempio l’equazione:
non ha soluzioni in quanto non esiste alcun
valore che sostituito all’incognita determina
che il primo membro sia uguale al secondo
membro.
Equazioni equivalenti
Due equazioni sono tra di loro equivalenti se hanno la stessa
soluzione.
Ad esempio l’equazione
ha per soluzione x = 3, ma anche l’equazione
ha per soluzione x = 3. Si dirà allora che le equazioni:
• 2x - 1 = x + 2
• 2x = x + 3
sono tra di loro equivalenti in quanto hanno la stessa soluzione.
Soluzione di alcuni semplici
equazioni di primo grado
Trovare le soluzioni delle seguenti equazioni:
• x + 5 = 3 soluzione x = ……
• 2x + 1 = 5 soluzione x = ……
• 5x = 3
soluzione x = ……
Principi di equivalenza delle equazioni
In pratica le equazioni che si devono risolvere
sono molto complesse……
Per risolvere una equazione, ossia trovarne la
soluzione, il procedimento che dobbiamo
seguire consiste nel trasformare una equazione
scritta in modo complesso in un’ altra scritta in
modo più semplice ma che abbia le stesse
soluzioni di quella complicata ossia che sia ad
essa equivalente.
Principi di equivalenza delle equazioni
Ad esempio se volessimo risolvere l’equazione:
e sapessimo che essa è equivalente al
l’equazione:
avremmo già trovato che la soluzione è
x =………..
Principi di equivalenza delle equazioni
Il passaggio da una equazione scritta in forma
complessa ad una scritta in forma più semplice ma
ad essa equivalente avviene tramite i seguenti due
principi di equivalenza:
1. principio dell’ addizione e sottrazione:
sommando o sottraendo ai due membri di una
equazione uno stesso numero o una espressione
algebrica che non perda mai di significato si
ottiene una equazione equivalente a quella data.
Principi di equivalenza delle equazioni
Ad esempio considera i seguenti passaggi:
nel secondo abbiamo sommato ad entrambi i membri 2x
mentre nel quarto abbiamo sommato ad entrambi i membri 3.
In ogni caso il risultato ottenuto è stato quello di portare da
una parte all’altra dell’equazioni le espressioni e i numeri
cambiando però di segno. L’equazione così ottenuta si può
risolvere semplicemente con un minimo di ragionamento.
La soluzione è x =………
Principi di equivalenza delle equazioni
2. principio della moltiplicazione e divisione:
moltiplicando o dividendo i due membri di
una equazione per uno stesso numero diverso
da zero, si ottiene una equazione equivalente a
quella data.
Principi di equivalenza delle equazioni
Ad esempio considera i seguenti passaggi:
si vede come abbiamo semplicemente diviso
entrambi i membri dell’equazione per il
numero 7 ottenendo in questo caso la
soluzione già trovata per altra via.
Alcuni esempi di soluzione di
equazioni
Alcuni esempi di soluzione di
equazioni
Equazioni razionali fratte
Le equazioni frazionarie
Prendono il nome di equazioni frazionarie, le equazioni
in cui l’incognita compare al denominatore della
frazione.
Un esempio è dato da
Le equazioni frazionarie si risolvono come gli altri tipi di
equazioni utilizzando gli stessi principi di equivalenza.
ATTENZIONE!!!!!:
un numero non può mai essere diviso per 0!!
Le equazioni frazionarie
Proviamo a sostituire x=-1:
non si può mai dividere un numero per zero e
quindi la soluzione trovata x = -1 non potrà
essere accettata e va esclusa.
Le equazioni frazionarie
Prima di risolvere una equazione frazionaria
dobbiamo allora trovare i valori che non possono
essere assegnati all’incognita.
Se risolvendo l’equazione risultano proprio questi
valori l’equazione si dice impossibile.
Ad esempio:
i valori da escludere saranno dati da 1 e -1. Perchè?
Equazioni razionali fratte
Un’equazione in cui compare l’incognita al
denominatore si chiama frazionaria o fratta.
Problema:
Sono assegnate le due frazioni algebriche
e
Esiste almeno un valore reale che sostituito alla variabile x
rende f 1 uguale ad f 2 ?
La soluzione al problema viene cercata impostando l’equazione
Equazioni razionali fratte
Procedura risolutiva
1° passo: imponiamo le Condizioni di Esistenza:
2° passo: determiniamo il m.c.m. dei denominatori:
La ricerca del valore che risolve il problema viene ristretta ai
numeri reali appartenenti all’insieme, detto Dominio
dell’equazione o Insieme di Definizione:
Equazioni razionali fratte
Procedura risolutiva
3° passo: applichiamo il primo principio d’equivalenza
trasportando al primo membro la frazione del secondo membro
Riduciamo allo stesso denominatore (mcm)
4° passo: applichiamo il secondo principio moltiplicando ambo i
membri per il m.c.m., certamente diverso da zero per le
condizioni poste; l’equazione diventa:
Equazioni razionali fratte
Procedura risolutiva
5° passo: svolgendo i calcoli ci accorgiamo che l’equazione è di
secondo grado; portiamo l’equazione alla forma canonica:
6° passo: calcoliamo il discriminante:
essendo positivo, l’equazione è determinata e ammette due
soluzioni reali distinte:
Equazioni razionali fratte
Procedura risolutiva
7° passo: confrontiamo le soluzioni con le C.E. ; in questo caso le
radici appartengono all’insieme D;
diciamo che sono accettabili e l’insieme soluzione è:
Equazioni di secondo grado
Equazioni di secondo grado
Teorema Fondamentale dell’Algebra
Data un’equazione di grado n
con an, an-1, ..., a0 R (numeri Reali), essa ha n soluzioni x1,
x2, ..., xn nei numeri Complessi C , che soddisfano
l’equazione, mentre nel campo reale ha un numero di
soluzioni al più uguale a n.
Questa ha sempre n soluzioni nel campo complesso mentre
nel campo reale ha un numero di soluzioni al più uguale a n.
Quindi una equazione di secondo grado ha 2 soluzioni.
Equazioni di secondo grado
Si definisce equazione di secondo grado
un’equazione dove il massimo valore
dell’esponente della variabile è due.
Alcuni esempi:
Equazioni di secondo grado
La forma più generale di equazione di secondo grado (o forma tipica o
ancora forma canonica) è:
con a, b e c numeri reali (però a0) oppure espressioni letterali che
rappresentano numeri noti ( in tal caso l’equazione è detta letterale
o parametrica).
Queste possono essere di tre tipi:
• Pure: quando b = 0, quindi del tipo
• Spurie: quando c = 0, quindi del tipo
• Complete : quando a, b, c sono diversi da zero
Equazioni di secondo grado
Dal punto di vista grafico, risolvere
un'equazione di secondo grado significa
trovare le intersezioni, se esistono, della
parabola di equazione
y= ax2 + bx+ c con l'asse x (y=0), ovvero
risolvere il sistema:
y= ax2 + bx+ c
y=0
Equazione di secondo grado
completa
Sia
una equazione di secondo grado completa, per prima
cosa si deve calcolare il Discriminante
le soluzioni dell’equazione sono date da:
con x1,2 intendiamo le 2 soluzioni dell’equazione.
Equazione di secondo grado
completa
Equazione di secondo grado
completa
Limitiamoci al caso in cui vogliamo che le soluzioni
dell’equazione appartengano all’insieme R dei numeri reali.
Il discriminante, in questo caso, discrimina, differenza il
procedimento di calcolo della soluzione.
Analizziamo i tre casi:
o Δ<0
L'equazione non ha soluzioni in R
o Δ>0
L’equazione ha due soluzioni distinte in R
o Δ=0
L’equazione ha due soluzioni coincidenti in R
Equazione di secondo grado
completa
Relazione tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado
Equazione di secondo grado pura
Sia
In queste equazioni si mette la x in evidenza
e si osserva che affinché un prodotto possa valere 0 almeno
uno dei due fattori x o (ax + b) deve valere 0.
La prima soluzione quindi è immediata
Equazione di secondo grado pura
la seconda la si calcola partendo da
questa è una equazione di 1° grado
In definitiva le due soluzioni sono
Equazione di secondo grado spuria
Equazione di secondo grado spuria
Le soluzioni dell'equazione pura
dipendono dal segno del rapporto
Se
, ovvero se a e c sono discordi, l’equazione ammette le due
soluzioni reali e distinte ;
Se
, ovvero se a e c sono concordi, l’equazione non ammette
soluzioni reali;
Se
, allora c = 0 , l'equazione ha due radici reali coincidenti
nulle x1 = x2 = 0 .
Risoluzione di un’equazione di
secondo grado
Risoluzione di un’equazione di
secondo grado
Equazioni di grado superiore al
secondo
Equazioni di grado superiore al
secondo
Consideriamo un’equazione algebrica di grado n nell’incognita x
questa ha sempre n soluzioni nel campo complesso mentre nel
campo reale ha un numero di soluzioni al più uguale a n.
Ogni radice intera dell’equazione è un divisore del termine noto an
e ogni radice razionale p/q (con p e q primi tra loro)
dell’equazione ha per numeratore un divisore del termine noto a n
e per denominatore un divisore del coefficiente a0 del termine di
grado massimo.
Possiamo utilizzare tutti i metodi per la scomposizione dei
polinomi (prodotto notevoli, raccoglimenti, regola di Ruffini) al
fine di scomporre il primo membro dell’equazione.
Equazioni di grado superiore al
secondo
Esempi:
Equazioni Biquadratiche
Sono tutte equazioni riconducibili alla forma:
in cui è possibile effettuare la sostituzione x2=t e ricondurle alla
forma dell’equazione di secondo grado ; indicando con t1 e t2
le soluzioni dell'equazione nell'incognita t si possono
presentare tre casi:
allora l’equazione ammette quattro soluzioni reali
a due a due opposte;
allora l’equazione ammette due
soluzioni reali e due radici complesse
coniugate;
allora l’equazione non ammette radici reali ma solo
radici complesse
Equazioni Binomie
Le equazioni binomie si presentano sotto la forma di un
binomio
Il numero delle soluzioni dipende da n e dal segno di a:
• se n e pari l'equazione ammette soluzioni reali solo se a <0
date da
• se n e dispari l'equazione ammette sempre una sola
soluzione reale data da
Equazioni Trinomie
Sono tutte equazioni riconducibili alla forma:
in cui e possibile effettuare la sostituzione xn=t e
ricondurle alla forma dell’equazione di secondo grado ;
si ottengono cosi due equazioni binomie
Discussione e risoluzione di
equazioni letterali
Equazioni letterali
Una equazione è letterale se i coefficienti dell’incognita sono
espressioni letterali, cioè se oltre all’incognita (in genere indicata con
la lettera x) compare un’altra lettera (in genere a, b, k, ….)
L’equazione
è letterale di secondo grado in forma canonica; i suoi coefficienti
dipendono dal parametro k .
Il parametro k può assumere qualunque valore numerico e
l’equazione rappresenta una famiglia di equazioni le cui
caratteristiche variano a seconda dei valori attribuiti al parametro.
Notiamo subito che se k assume il valore zero, l’equazione non è più
di secondo grado, se k assume il valore 3, l’equazione è ancora di
secondo grado incompleta (spuria) mancando del termine noto.
Equazioni letterali
Discutere un’equazione letterale di secondo
grado significa analizzare come varia
l’equazione, e quindi il suo insieme delle
soluzioni, al variare del parametro.
L’obiettivo è quello di stabilire per quali valori
reali di k l’equazione ammette soluzioni reali.
Equazioni letterali
le soluzioni di un’equazione di secondo grado si determinano
con la formula
in cui compaiono i tre coefficienti a, b, c. Procediamo
analizzando:
• il primo coefficiente a=k : se k=0 l’equazione diventa x−3=0 di
primo grado con Insieme Soluzione I.S.={3 } ;
• il secondo coefficiente b=−2 k+1 : se è nullo, ossia se
l’equazione diventa
equazione pura con due soluzioni reali opposte
• il terzo coefficiente c=k−3 : se è nullo, cioè se k=3 l’equazione
diventa 3 x2−5 x=0 , equazione spuria con due soluzioni reali
Equazioni letterali
Prima conclusione: per tutti i valori di k dell’insieme
l’equazione è completa e l’esistenza di soluzioni reali
dipende dal discriminante.
Equazioni letterali
Equazioni letterali
Esempio:
Equazioni letterali
Discussione:
Equazioni letterali
