Elementi di Logica, I
Le forme del ragionamento
deduttivo
Corso di Logica e Filosofia della scienza,
a.a. 2013-2014
LOGICA
Forme della razionalità (induzione/deduzione,...)
Struttura dei linguaggi (sintassi/semantica, ...)
Dimostrazione (fondamenti della matematica)
Algoritmi & Calcolabilità (fondamenti dell’informatica)
Il principale oggetto di studio della logica è il
ragionamento deduttivo, nel quale un ruolo centrale
è svolto da nozioni come
inferenza
conseguenza
deduzione
....
“Il punto di partenza della logica formale è la nozione
tradizionale della logica, il ragionamento: il
ragionamento è un susseguirsi o un fluire di
affermazioni che si suppone siano legate da certe
relazioni, o legami di consequenzialità, che se
rispettati danno al ragionamento il carattere di
ragionamento corretto, o argomento valido.
G. Lolli, Introduzione alla logica formale (1991), p. 13
Enunciato (dichiarativo): espressione linguistica che
rappresenta un fatto o stato di cose e che può
ricevere un valore di verità (‘vero’ o ‘falso’).
Esempi: l’espressione
“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”
è un enunciato, mentre le espressioni
“C’è nessuno in casa?”
“Vietato fumare!”
non sono enunciati.
Distinzione enunciato/proposizione
Enunciato = espressione linguistica di cui ha senso
chiedersi se è vera o falsa
Proposizione = contenuto o senso di un enunciato
«Paolo mangia la mela»
«La mela è mangiata da Paolo»
2 enunciati, 1 proposizione
Data una simile definizione, esistono alcuni ‘tipi
generali’ di domande alle quali la logica si incarica di
rispondere:
• Cosa significa che un enunciato ‘implica‘ un
enunciato B?
• Ammettendo di sapere che effettivamente
l’enunciato A ‘implica’ l’enunciato B, come possiamo
giustificare una simile implicazione?
Le analisi della logica a questo livello di generalità
risultano, entro certi limiti, indipendenti dal
significato degli enunciati coinvolti, cioè valgono in
virtù della sola “forma logica” degli enunciati stessi e
delle relazioni che li collegano.
Nel caso di una generica implicazione
A B,
la logica mira dunque a isolare le proprietà che ogni
implicazione di questo tipo è tenuta a soddisfare,
quali che siano i particolari contenuti e significati
impliciti negli enunciati A e B.
Alle origini della logica:
Aristotele, Stoici, Leibniz, Boole, Frege
Concezione rappresentazionale del pensiero a
partire dalla filosofia moderna (Cartesio, Locke): il
pensiero e la conoscenza consistono in una adeguata
manipolazione e trattamento di rappresentazioni.
W.G. Leibniz: importanza centrale della logica come
strumento
di chiarificazione
del
pensiero
rappresentazionale
“se si lodano gli uomini che hanno determinato il
numero di corpi regolari, che non ha utilità alcuna, se
non in quanto è piacevole a contemplarsi, quanto
sarà più meritorio ridurre a leggi matematiche il
ragionamento umano, che è ciò che di più eccellente
e di più utile possediamo.”
W.G. Leibniz
Logica come ‘calcolo del pensiero’
“Se dovessero sorgere controversie, le discussioni tra
due filosofi non sarebbero più necessarie di quanto
lo siano quelle tra due contabili. Basterebbe infatti
che essi prendessero in mano le loro penne, si
mettessero ai loro tavoli, e si dicessero a vicenda:
calcoliamo.”
W.G. Leibniz
Punti fondamentali
• Si prefigura l’importanza di una nozione rigorosa di
dimostrazione.
• Si prefigura l’importanza di una nozione rigorosa di
algoritmo, una procedura inferenziale ‘meccanica’
che prescinde dalla comprensione del significato dei
termini coinvolti.
“Progetto del seguente trattato è quello di indagare
le leggi fondamentali di quelle operazioni della
mente tramite le quali viene effettuato il
ragionamento [...] Tali studi destano anche interesse
di altro tipo, derivato dalla luce che essi fanno sulle
facoltà intellettive. Essi ci istruiscono sul modo in cui
il linguaggio e i numeri servono come strumenti per i
processi del ragionamento.”
G. Boole, Indagine sulle leggi del pensiero, sulle quali
sono fondate le teorie matematiche della logica e
della probabilità (1854)
• Riprodurre le operazioni logiche mediante operazioni
algebriche: progetto di ‘algebrizzazione’ della logica
(definizione della struttura nota come algebra di
Boole)
• Le operazioni introdotte in tale algebra - che
rappresentano astrattamente operazioni logiche
come la congiunzione (‘E’) o la disgiunzione non
esclusiva (‘O’) - rappresentano il modello formale
delle porte logiche di un circuito elettronico di un
moderno calcolatore.
Gottlob
Frege,
Ideografia
(1879):
prima
formulazione di una logica dei predicati e della
nozione logica di sistema formale (o teoria
formalizzata).
Individuazione di condizioni che qualunque
successione di simboli logici deve soddisfare per
risultare una dimostrazione.
Definizione rigorosa della nozione di dimostrazione.
“L’ideografia deve dunque servire anzitutto a
esaminare nel modo più sicuro la connessione di una
catena deduttiva e a mettere in evidenza ogni ipotesi
che voglia inavvertitamente insinuarvisi, affinché,
successivamente, si possa indagare sulla sua origine.
[...] “
“Eliminando qualsiasi lacuna dal concatenamento dei
ragionamenti, si riesce a porre in luce ogni assioma, ogni
presupposto, ogni ipotesi (o in qual altro modo la si
voglia chiamare) su cui riposano le dimostrazioni; e così
si raggiunge una base sicura dalla quale valutare la
natura conoscitiva delle leggi dimostrate.”
G. Frege
LOGICA ENUNCIATIVA (o PROPOSIZIONALE)
Elementi di base e prime definizioni informali
Argomento (o argomentazione)
Insieme strutturato di enunciati nel quale un certo
insieme di enunciati (detti premesse) sono offerte
come base per giustificare la correttezza di un altro
enunciato (detto conclusione).
Esempi:
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
Giulio non era alla festa,
quindi
non può essere stato lui a rubarti la bicicletta.
Mondo possibile: una situazione o stato di cose
alternativo a quello attuale ma logicamente
concepibile (che avrebbe cioè potuto verificarsi
senza determinare contraddizioni logiche).
Verità logica
Un enunciato è
logicamente vero quando è vero in tutti i mondi
possibili,
logicamente falso quando è falso in tutti i mondi
possibili,
logicamente contingente quando non è né
logicamente vero né logicamente falso.
Conseguenza logica
Un enunciato B è conseguenza logica di un
enunciato A (o A implica logicamente B) quando B è
vera in tutti i mondi possibili nei quali è vero A.
Correttezza di un argomento
Un argomento è corretto se:
non esiste alcun mondo possibile nel quale le premesse
sono vere e la conclusione è falsa
oppure [in modo equivalente]
se la conclusione è conseguenza logica delle premesse.
Attenzione! Un argomento può essere
corretto anche se una o più premesse
non sono vere.
Applicazione agli esempi visti prima
L’argomento
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
è corretto (perché le premesse implicano
logicamente la conclusione) e le sue premesse sono
vere.
L’argomento
Tutti gli ippogrifi volano
In Australia esistono gli ippogrifi
quindi
In Australia c’è almeno un animale che
vola
è corretto perché le premesse implicano logicamente
la conclusione, anche se almeno una premessa è
falsa.
L’argomento
Tutti i cavalli sono mortali
Furia è un cavallo
quindi
George Clooney è statunitense
non è corretto perché le premesse non implicano
logicamente la conclusione, anche se sia le premesse sia
la conclusione sono enunciati veri.
Attenzione!
Una successione di enunciati può essere un
argomento, anche se non è immediato riconoscerla
come tale.
Esempio:
C’è bisogno di altra morfina. Abbiamo 9 feriti e
solo 5 dosi di morfina.
Argomento deduttivo
Premesse
------------------> necessario
Conclusione
Argomento induttivo
Premesse
-------------------> non necessario
Conclusione
Si usa dire che
Deduttivo
dall’universale al particolare
Induttivo
dal particolare all’universale
Questo è vero in molti casi, ma non in tutti
Esempi:
L’argomento
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
è deduttivo ed effettivamente procede dall’universale
al particolare
L’argomento
Nadal è mortale
Djokovic è mortale
Federer è mortale
…….
…….
…….
quindi
Tutti i tennisti sono mortali
è induttivo ed effettivamente procede dal particolare
all’universale.
Per vedere però che l’associazione
Deduttivo
Induttivo
dall’universale al particolare
dal particolare all’universale
ammette delle eccezioni, consideriamo il seguente
argomento
Se Dio può ingannare, allora è malvagio
Dio non è malvagio
quindi
Dio non può ingannare
Questo argomento è deduttivo ma non procede dal
particolare all’universale.
I due argomenti
Se Dio può ingannare, allora è malvagio
Dio non è malvagio
quindi
Dio non può ingannare
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
sono esempi dei seguenti schemi di argomenti
Se P allora Q
Non Q
Quindi
Non P
= parole logiche
Tutto ciò che ha F ha G
m ha la proprietà F
quindi
m ha la proprietà G
Enunciati composti e valori di verità
Nella logica enunciativa, enunciati come
“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”
esprimono fatti semplici, vale a dire fatti non
ulteriormente analizzabili. Enunciati di questo tipo
vengono definiti atomici.
È naturalmente possibile introdurre enunciati
composti (o molecolari), generati a partire da un
certo numero di proposizioni atomiche.
L’enunciato
“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa e Italo Calvino
era nato a Cuba”
rappresenta un enunciato composto, generato
mediante l’applicazione di una particella (‘e’) ai
singoli enunciati atomici
“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”,
“Italo Calvino era nato a Cuba”
Si definiscono connettivi quelle particelle del
linguaggio che non sono provviste in sé di significato
ma che permettono di formare enunciati composti a
partire da enunciati atomici.
Connettivi principali della logica enunciativa:
- non (connettivo unario, si applica a un singolo
enunciato)
- e, o, se...allora (connettivi binari, si applicano a
coppie di enunciati).
In simboli:
Connettivi
Linguaggio
naturale
Linguaggio
formale
non
congiunzione
e
disgiunzione
o
negazione
implicazione
se...allora
Se ‘’ rappresenta un generico connettivo, possiamo
usare la seguente notazione:
se A, B sono due enunciati atomici qualsiasi, il
connettivo ‘’ è rappresentato in forma funzionale
come
: {A, B} AB
dove il simbolo ‘AB’ rappresenta l’enunciato
molecolare.
Sulla base delle nozioni di enunciato atomico e
composto e della nozione di verità, si pone allora in
modo naturale il seguente problema:
come si comporta la verità rispetto alla composizione
di enunciati composti a partire da un certo numero
di enunciati atomici?
: {A, B} AB
vero,falso
vero,falso
?
Proprietà fondamentale dei connettivi logici di base
(enunciativi)
I connettivi si comportano come funzioni di verità: i
valori di verità degli enunciati atomici determinano
univocamente il valore di verità dell’enunciato
composto.
: {A, B} AB
vero,falso
vero,falso
vero,falso
I connettivi della logica proposizionale sono
verofunzionali: il valore di verità di un generico
enunciato P è funzione dei valori di verità degli
enunciati atomici che compongono P.
La nozione di funzione
Una funzione f: S T è una corrispondenza tra due
insiemi S e T, tale che a uno o più elementi di S
associa uno e un solo elemento di T.
Data la notazione f(x) = y, per x S e y T, x è detto
l’argomento della funzione e y è detto il valore della
funzione. L’insieme S è detto dominio della funzione,
mentre l’insieme T è detto codominio della funzione.
Attenzione: la definizione appena fornita consente il
caso che S = T.
Esempio 1: Se
S = insieme dei bambini di una scuola elementare
(con maestra unica!)
T = insieme delle maestre della scuola
Indichiamo con l’espressione
‘Maestra di’: S T
la funzione che assegna a ogni bambino la sua maestra.
In questo caso S (il dominio) è diverso da T (il
codominio).
Esempio 2
La funzione aritmetica ‘quadrato di’, che a ogni
numero naturale (positivo) n associa il numero
naturale (positivo) nn, può essere rappresentata
come
‘quadrato di’: N+ N+
In questo caso, dominio e codominio coincidono.
Negli esempi 1 e 2, ciascuna funzione è definita per
singoli valori, ma è possibile definire funzioni per
coppie di argomenti.
Esempio 3
La funzione ‘somma di’ è definita per coppie di
numeri: se N è l’insieme dei numeri naturali, la
funzione associa a ogni coppia di numeri naturali n,
m il numero naturale n + m.
La notazione è la seguente:
+ : {N x N} N
+ : {n,m} n+m
Riformuliamo allora a questo punto la condizione di
verofunzionalità: un generico connettivo binario
della logica proposizionale può essere interpretato
come una funzione
: {‹V, V›, ‹V, F›, ‹ F, V›, ‹F, F›} {V, F}
che a una qualsiasi coppia di valori di verità corrispondenti ai possibili valori di verità di due
proposizioni - associa uno e un solo valore di verità corrispondente al valore di verità della relativa
proposizione composta.
Il problema delle condizioni di verità
Quali sono le condizioni di verità di una generica
proposizione di L1?
Come possiamo valutare queste condizioni?
Possiamo rispondere a queste domande mediante le
tavole di verità.
Le tavole di verità possono essere considerati
semplici algoritmi per calcolare il valore di verità di
enunciati.
TAVOLA DI VERITÀ DI (congiunzione)
A
B
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
TAVOLA DI VERITÀ DI (disgiunzione)
A
B
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
TAVOLA DI VERITÀ DI
A
B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
TAVOLA DI VERITÀ DI
A
F
V
V
F
TAVOLA DI VERITÀ DI (‘se e solo se’)
A
V
V
F
F
V
F
F
V
B
V
F
V
F
Carattere algoritmico delle tavole di verità
valore di A, valore di B
valore di (AB)
Proviamo ora ad applicare le tavole di verità,
risolvendo un semplice esercizio.
Prima di tutto definiamo tautologia un enunciato
che riceve valore di verità V per qualsiasi
assegnazione di valore di verità ai suoi enunciati
componenti.
Poiché un’assegnazione di valori di verità agli
enunciati componenti equivale a un ‘mondo
possibile’, una tautologia risulta essere nient’altro
che una verità logica.
Verifichiamo ora se un dato enunciato è una
tautologia, calcolandone il valore di verità.
In base alla definizione di tautologia, quell’enunciato
sarà una tautologia soltanto se riceverà sempre il
valore di verità V, cioè se avrà tale valore quale che
sia il valore di verità degli enunciati componenti.
Sia dunque data un certa enunciato, per esempio
(pq)(qp)
(p
V
V
F
F
V
F
V
V
q)
V
F
V
F
V
V
V
V
(
F
V
F
V
q
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
p)
V
V
F
F
Nella colonna del connettivo (il connettivo principale
dell’enunciato) troviamo sempre V. L’enunciato dato
riceve cioè valore di verità V per ogni assegnazione di
valore di verità agli enunciati componenti, e risulta
dunque una tautologia.
Vediamo ora la proposizione (pq)(qp)
(p
V
V
F
F
V
F
V
V
q)
V
F
V
F
V
F
F
V
(q
V
F
V
F
V
V
F
V
p)
V
V
F
F
Sotto il connettivo principale non troviamo sempre il valore V
per qualsiasi assegnazione di valore di verità agli enunciati
componenti: l’enunciato dato non è una tautologia.
È ragionevole che (pq)(qp) non sia una tautologia.
Se lo fosse, questo significherebbe che – data una qualsiasi
implicazione – noi siamo sempre legittimati a invertire il senso
dell’implicazione.
Esempio:
p = Io sono un cittadino italiano
q = Io sono un cittadino europeo
Se (pq)(qp) fosse una tautologia, allora assumere
l’implicazione
Io sono un cittadino italiano Io sono un cittadino europeo
giustificherebbe anche immediatamente l’implicazione
Io sono un cittadino europeo Io sono un cittadino italiano
Consideriamo il seguente argomento in lingua naturale:
«Se Mario ha studiato, allora Mario ha passato l’esame di logica.
Mario ha passato l’esame di logica, quindi Mario ha studiato.»
1) Come è possibile formalizzare questo argomento?
2) In versione formalizzata, si tratta di un argomento corretto?
Risulta cioè che, ogni volta che le premesse sono vere, anche
la conclusione è vera?
Se Mario ha studiato allora Mario ha passato l’esame di logica
p
q
Mario ha passato l’esame di logica
quindi
Mario ha studiato
Formalizzazione
((p q) q) p
((p
V
V
F
F
V
F
V
V
q)
V
F
V
F
V
F
V
F
q)
V
F
V
F
V
V
F
V
p
V
V
F
F
Conclusione: l’argomento non è corretto, perché esiste almeno
un caso in cui le premesse sono vere e la conclusione è falsa (la
terza riga).
Verso un linguaggio formale
per la logica enunciativa
Scopo principale nella costruzione di un linguaggio formale:
evitare le ambiguità del linguaggio naturale nell’indagine sulla
struttura logica degli argomenti.
Il linguaggio artificiale più semplice di cui ci occuperemo è il
linguaggio della logica enunciativa, composto dei seguenti
elementi:
1. Alfabeto descrittivo: un insieme di variabili enunciative
(eventualmente infinito), indicate con p, q, r, ...
2. Alfabeto logico: connettivi di congiunzione (), disgiunzione
(), implicazione (), negazione ()
3. Alfabeto ausiliario : simboli speciali ( ) e ,
Formalizzazione: qualche esercizio
Linguaggio naturale
Linguaggio enunciativo
p = «piove», n = «nevica»
«Piove ma non nevica»
p n
«Non è vero che sia piove sia nevica»
(p n)
«Piove se e solo se nevica»
«Se piove e nevica, allora nevica»
«O piove e nevica, o piove ma non
nevica»
pn
(p n) n
(p n) (p n)
Una formula del linguaggio enunciativo è dunque una qualsiasi
successione finita di simboli:
q r,
(s s),
st,
pr
Si vede subito che non tutte queste successioni possono
rappresentare effettivamente degli enunciati:
come è possibile distinguere in modo adeguato tra formule che
rappresentano enunciati (che chiameremo ben formate) e formule
prive di significato?
Mediante un particolare tipo di definizione, detta induttiva o
ricorsiva.
Una definizione induttiva, o ricorsiva, è una definizione che
caratterizza un certo insieme mediante l’applicazione di certe
operazioni a certi elementi di base dell’insieme.
Questo tipo di definizione serve a dominare con mezzi finiti
un insieme che di fatto è infinito (perché il numero di formule
ben formate è in linea di principio infinito).
Esempio: definizione ricorsiva dell’insieme N dei numeri naturali,
sulla base della relazione primitiva ‘successore’.
BASE: 0 è un numero naturale;
PASSO: Se n è un numero naturale, anche il successore di n è un
numero naturale;
CHIUSURA: Nient’altro è un numero naturale.
Prima di fornire la definizione di formula ben formata, però, è
necessario introdurre la nozione di meta-variabile.
I simboli p, q, r,…. del nostro alfabeto descrittivo funzionano
come variabili nel senso che uno qualsiasi di questi simboli ‘sta
per’ un enunciato.
Nella definizione induttiva di formula ben formata, avremo
bisogno di simboli che ‘stanno per’ le variabili enunciative:
chiameremo questi simboli meta-variabili (variabili ‘di secondo
grado’): simboli che ‘stanno per’ altri simboli.
IN SINTESI:
Enunciato
(es.: «Mario mangia la mela»)
Variabile enunciativa p
(variabile che ‘sta per’ l’enunciato
«Mario mangia la mela»)
Meta-variabile a
(variabile che ‘sta per’ la variabile enunciativa p)
Definizione RICORSIVA di formula ben formata (fbf)
in un linguaggio enunciativo
BASE: Ogni variabile enunciativa è una fbf.
PASSO:
1) Se a è una fbf, allora anche a è una fbf.
2) Se a, b sono fbf, allora anche a b è una fbf.
3) Se a, b sono fbf, allora anche a b è una fbf.
4) Se a, b sono fbf, allora anche a b è una fbf.
CHIUSURA: Nient’altro è una fbf.
Una sottofbf è una parte di una fbf che è anch’essa una
fbf.
Occorrenza (di un simbolo): modalità di comparizione di
quel simbolo in una fbf.
Prima occorrenza di p
Seconda occorrenza di p
(pq)(qp)
Prima occorrenza di q
Seconda occorrenza di q
Nota: si parla nello stesso senso di occorrenza di un
connettivo.
Campo (di un connettivo):
La più piccola fbf in cui compare quel connettivo.
Es: nella fbf
(pq)(qp)
il campo della prima occorrenza di è (pq)
il campo della prima occorrenza di è ……
il campo di è l’intera formula.
Quando il campo di un dato connettivo è l’intera formula,
quel connettivo si chiama principale.
Subordinazione (di un connettivo rispetto a un altro)
Un connettivo # è subordinato rispetto al connettivo @
quando il campo di # è incluso nel campo di @.
Es.: nella fbf
p(q r)
il connettivo è subordinato rispetto al connettivo .
Infatti, la più piccola fbf in cui compare (cioè il campo di
) è (q r), che risulta sottofbf di p(q r), che è la più
piccola fbf in cui compare (campo di , che in questo
caso è l’intera formula).
Proprietà importante delle definizioni
ricorsive/induttive
Se n è un numero naturale, anche il successore di n
è un numero naturale
n non è necessariamente uguale a 0
Se a e b sono fbf, allora anche a , a b , a b ,
a b sono fbf.
a e b non sono necessariamente atomiche
Calcolo logico per la logica enunciativa
Verifica della correttezza di un argomento esprimibile
in logica enunciativa
Date le fbf a1,…, an, b, la forma generale di un
argomento in logica enunciativa sarà
a1,…, an / b
dove
a1,…, an =
premesse
b
=
conclusione
/
=
simbolo di inferenza («quindi»)
Calcolo logico per la logica enunciativa
Calcolo del valore di verità delle premesse, per ogni
possibile assegnazione di valori di verità degli
enunciati atomici che compongono le premesse
Due casi possibili:
1. In tutte le assegnazioni in cui sono vere le premesse è vera
anche la conclusione
argomento corretto
2. Esiste almeno un’assegnazione in cui sono vere le premesse
ma la conclusione è falsa
argomento scorretto
Esempio del caso possibile 1:
p q, q / p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p
V
F
V
V
q)
q
F
V
F
V
/
p)
F
F
V
V
Ogni volta (nel nostro caso una sola volta) che le premesse
risultano entrambe vere, anche la conclusione è vera:
dunque l’argomento è corretto.
Esempio del caso possibile 2:
p q, p / q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p
V
F
V
V
q)
p
F
F
V
V
/
q)
F
V
F
V
Questa volta esiste un caso in cui le premesse risultano
entrambe vere ma la conclusione falsa: dunque l’argomento
è scorretto.
Argomenti e forme condizionali corrispondenti
Dato un qualsiasi argomento
a1,…, an / b,
definiamo forma condizionale corrispondente di questo
argomento la fbf
(a1 … an) b
Si dimostra che
Un argomento è corretto
se e solo se
la sua forma condizionale corrispondente è una tautologia.
Caso possibile 1:
Argomento
p q, q / p
corretto
Forma condizionale
[(p q) q] p
tautologia
Caso possibile 2:
Argomento
p q, p / q
scorretto
Forma condizionale
[(p q) p] q
non-tautologia
