Elementi di Logica - Dipartimento di Scienze Umane per la

Elementi di Logica
Le forme del ragionamento
Testo di riferimento:
A. Coliva, E. Lalumera, Pensare. Leggi ed errori del
ragionamento, Carocci 2006
(possono essere saltate le sezioni 1.5 e 2.7)
Il principale oggetto di studio della logica è il
ragionamento, con particolare attenzione per il
pensiero deduttivo, nel quale un ruolo centrale è
svolto da nozioni come
inferenza
conseguenza
deduzione
G. Lolli, Introduzione alla logica formale
(1991), p. 13
“Il punto di partenza della logica formale è la nozione
tradizionale della logica, il ragionamento: il
ragionamento è un susseguirsi o un fluire di affermazioni
che si suppone siano legate da certe relazioni, o legami
di consequenzialità, che se rispettati danno al
ragionamento il carattere di ragionamento corretto, o
argomento valido.»
Le molte facce della LOGICA
• Forme dell’argomentazione (induzione/deduzione,...)
• Struttura dei linguaggi (naturali & artificiali)
• Dimostrazione (fondamenti della matematica)
• Algoritmi & Calcolabilità (fondamenti dell’informatica e
delle scienze cognitive)
Logica (formale) e linguaggio naturale:
rapporto complesso!
 Da un lato, infatti, la logica formale costruisce strutture
artificiali (i linguaggi logici), tra i cui scopi c’è anche quello di
chiarire e talvolta correggere o eliminare le numerose
‘ambiguità’ del linguaggio naturale
 Da un altro lato, tuttavia, il linguaggio naturale costituisce un
termine di confronto irrinunciabile per la logica, dal
momento che anche il linguaggio naturale ha una sua
struttura interna cui la logica è interessata
 Inoltre la linguistica moderna – cioè la scienza del linguaggio
– ha profondi contatti teorici con la logica (faremo dei cenni
più avanti nel corso)
Uno dei temi centrali del corso
Come dovremmo ragionare
LOGICA
Leggi del ragionamento (visione normativa)
≠
Come di fatto ragioniamo
PSICOLOGIA COGNITIVA
Meccanismi effettivi del ragionamento
(visione descrittiva)
La tradizione normativa della logica
(Aristotele, Frege)
«Le regole del nostro pensiero e del nostro ritenere vero vanno
pensate <come> determinate dalle leggi dell’esser vero. Con
queste sono date anche quelle. Possiamo perciò anche dire: la
logica è la scienza delle leggi più generali dell’esser vero. [...]
Originariamente nell’uomo il pensiero è mescolato al
sentimento e alla rappresentazione. La logica ha il compito di
isolare l’elemento logico nella sua purezza, non nel senso che
dovremmo poter pensare senza aver rappresentazioni – che è
del tutto impossibile – bensì nel senso che dobbiamo
distinguere consapevolmente l’elemento logico da quel che fa
parte della rappresentazione e del sentimento.»
Gottlob Frege, padre della logica moderna (1848-1925)
«Alla psicologia non interessa se i prodotti dei processi psichici
di cui si occupa possano venir chiamati ‘veri’. Quel che è vero è
tale indipendentemente da colui che lo riconosce come vero.
Quel che è vero non è il prodotto di un processo psichico o di
un’attività interiore; infatti questi differiscono da una persona
all’altra, per quanto simili possano essere, così come la fame di
uno dalla fame dell’altro o l’occhio di uno dall’occhio dell’altro,
malgrado tutte le somiglianze.»
Gottlob Frege
Ma quale rapporto esiste tra le leggi della logica
e i meccanismi effettivi del ragionamento?
Problema complesso:
non esiste una risposta semplice a questa domanda,
perché molte discipline diverse sono coinvolte (logica,
psicologia cognitiva, linguistica, biologia,….)
Parleremo di tre forme fondamentali di
argomentazione
• Deduzione
• Induzione
• Abduzione (o inferenza alla migliore spiegazione)
Enunciato (dichiarativo): espressione linguistica che
rappresenta un fatto o stato di cose e che può ricevere
un valore di verità (‘vero’ o ‘falso’).
Esempi:
L’espressione
“Donald Trump si batte per i diritti umani”
è un enunciato
Le espressioni
“C’è nessuno in casa?”
“Vietato fumare!”
non sono enunciati.
Distinzione enunciato/proposizione
Enunciato = espressione linguistica di cui ha senso chiedersi se è
vera o falsa
Proposizione = contenuto o senso di un enunciato
«Paolo mangia la mela»
2 enunciati, 1 proposizione
«La mela è mangiata da Paolo»
Esistono alcuni ‘tipi generali’ di domande alle quali
la logica si incarica di rispondere
 Data una generica implicazione A  B (si legge «A implica
B»), cosa significa che un enunciato A ‘implica‘ un enunciato
B?
 Ammettendo di sapere che effettivamente l’enunciato A
‘implica’ l’enunciato B, come possiamo giustificare una simile
implicazione?
La logica punta a isolare le proprietà che ogni implicazione di
questo tipo è tenuta a soddisfare, quali che siano i particolari
contenuti e significati impliciti negli enunciati A e B
Natura formale della logica
Le analisi della logica risultano, entro certi limiti,
indipendenti dal significato degli enunciati coinvolti, cioè
valgono in virtù della sola “forma logica” degli enunciati
stessi e delle relazioni che li collegano
LOGICA ENUNCIATIVA (o PROPOSIZIONALE)
Elementi di base e prime definizioni informali
Argomento (o argomentazione)
Definizione informale:
Insieme strutturato di enunciati nel quale un certo
insieme di enunciati (detti premesse) sono offerte come
base per giustificare la ‘fondatezza’ di un altro enunciato
(detto conclusione).
Esempi:
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
Giulio non era alla festa
quindi
non può essere stato lui a rubarti la bicicletta
Indicatori inferenziali
Indicatori di premessa
Se
Dato che
Siccome
Poiché
…………
Indicatori di conclusione
Allora
Quindi
Dunque
Pertanto
…………….
Le coppie
[Validità/Non-validità] & [Verità/Falsità]
Gli argomenti possono essere validi o non-validi
Gli enunciati possono essere veri o falsi
IMPORTANTE! Bisogna distinguere tra
VALIDITÀ o NON-VALIDITÀ di un argomento
e
VERITÀ o FALSITÀ di un enunciato
Validità di un argomento
Un argomento è valido se non può darsi il caso che le
sue premesse siano vere e la sua conclusione sia falsa.
Quando un argomento è valido, si dice che la
conclusione è conseguenza logica delle premesse.
Attenzione! Un argomento può essere
corretto anche se una o più premesse
non sono vere.
Esempi
L’argomento
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
è valido, perché le premesse implicano logicamente
la conclusione
Inoltre, le sue premesse sono vere
L’argomento
Tutti gli ippogrifi volano
In Australia esistono gli ippogrifi
quindi
In Australia almeno un animale che vola
è valido, perché le premesse implicano logicamente
la conclusione
Una delle sue premesse è falsa!
L’argomento
Tutti i cavalli sono mortali
Furia è un cavallo
quindi
George Clooney è statunitense
non è valido perché le premesse non implicano
logicamente la conclusione
Sia le premesse sia la conclusione sono enunciati veri!
Riassumendo
Validità
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
Quindi
Socrate è mortale
Tutti gli ippogrifi volano
In Australia esistono gli ippogrifi
Quindi
In Australia almeno un animale vola
Tutti i cavalli sono mortali
Furia è un cavallo
Quindi
George Clooney è statunitense
Valido
Verità/Falsità enunciati
Premesse vere
Conclusione vera
Una premessa falsa
Valido
Non-valido
Premesse vere
Conclusione vera
I sillogismi
(il termine deriva dal greco antico
syn-loghismòs, che significa deduzione)
Particolari argomenti, le cui premesse possono essere
soltanto della forma:
Tutti gli F sono G
Nessun F è G
Qualche F è G
Qualche F non è G
UA = Universale affermativa
UN = Universale negativa
PA = Particolare affermativa
PN = Particolare negativa
Se poniamo
F = essere uomo e G = essere mortale
UA (Universale affermativa) = Tutti gli uomini sono mortali
Tutti gli F sono G
UN (Universale negativa) = Nessun uomo è mortale
Nessun F è G
PA (Particolare affermativa) = Qualche uomo è mortale
Qualche F è G
PN (Particolare negativa) = Qualche uomo non è mortale
Qualche F non è G
Relazioni logiche tra le premesse di
sillogismi categorici
U affermativa
CONTRARIE
U negativa
SUBALTERNE
CONTRADDITTORIE
SUBALTERNE
P affermativa
SUB-CONTRARIE
P negativa
Contrarie
Universale affermativa
CONTRARIE
Universale negativa
Non possono essere entrambe vere,
ma possono essere entrambe false
Esempio:
UA: Tutti gli italiani guadagnano 1 milione di euro all’anno
UN: Nessun italiano guadagna 1 milione di euro all’anno
Sub-contrarie
Particolare affermativa
SUB-CONTRARIE
Particolare negativa
Non possono essere entrambe false,
ma possono essere entrambe vere
Esempio:
PA: Qualche uomo è avaro
PN: Qualche uomo non è avaro
Subalterne
Universale affermativa
Universale negativa
SUBALTERNE
Particolare affermativa
Particolare negativa
Se UA è vera, allora PA è vera Se UN è vera, allora PN è vera
Se PA è falsa, allora UA è falsa Se PN è falsa, allora UN è falsa
Esempio:
Se «Tutti gli uomini sono mortali» è vera, allora è vero che
«Qualche uomo è mortale» è vera
Ma se «Qualche uomo è mortale» è falsa, allora anche «Tutti
gli uomini sono mortali» è falsa
Contraddittorie
Universale affermativa
Universale negativa
CONTRADDITTORIE
Particolare negativa
Particolare affermativa
Se UA è vera, allora PN è necessariamente falsa e viceversa
Se UN è vera, allora PA è necessariamente falsa e viceversa
Esempio:
Se «Tutti gli uomini sono mortali» è vera, allora «Qualche
uomo non è mortale» è falsa, e viceversa
Se «Nessun uomo è mortale» è vera, allora «Qualche uomo è
mortale» è falsa, e viceversa
Diagrammi di Eulero-Venn
per le relazioni logiche tra premesse di
sillogismi categorici
G
F
UA: Tutti gli F sono G
F
G
UN: Nessun F è G
F  G
PA: Qualche F è G
F
G
PN: Qualche F non è G
Enunciati composti e valori di verità
Nella logica enunciativa, enunciati come
“Isaac Asimov scriveva romanzi”
esprimono fatti semplici, vale a dire fatti non
ulteriormente analizzabili.
Enunciati di questo tipo vengono definiti atomici.
È naturalmente possibile introdurre enunciati composti (o
molecolari), generati a partire da un certo numero di
proposizioni atomiche.
L’enunciato
“Isaac Asimov scriveva romanzi
e
Italo Calvino era nato a Cuba”
rappresenta un enunciato composto, generato mediante
l’applicazione di una particella (‘e’) ai singoli enunciati atomici
<Isaac Asimov scriveva romanzi>,
<Italo Calvino era nato a Cuba>
Connettivi
Si definiscono connettivi quelle particelle del linguaggio
che non sono provviste in sé di significato ma che
permettono di formare enunciati composti a partire da
enunciati atomici.
Connettivi principali della logica enunciativa:
non (connettivo unario, si applica a un singolo
enunciato)
e, o, se...allora (connettivi binari, si applicano a coppie di
enunciati).
Esempi di applicazione dei connettivi a
enunciati dati
“Isaac Asimov scriveva romanzi”
 non
“Isaac Asimov non scriveva romanzi”
“Isaac Asimov scriveva romanzi”,
“Italo Calvino era nato a Cuba”
e,o
“Isaac Asimov scriveva romanzi e Italo Calvino era nato a Cuba”
“Isaac Asimov scriveva romanzi o Italo Calvino era nato a Cuba”
“Isaac Asimov scriveva romanzi”,
“Italo Calvino era nato a Cuba”
 se...allora
“Se Isaac Asimov scriveva romanzi, allora
Italo Calvino era nato a Cuba”
In simboli:
Connettivi
Linguaggio
naturale
Linguaggio
formale
non

congiunzione
e

disgiunzione
o

negazione
implicazione
se...allora

Notazione funzionale per i connettivi
Se  rappresenta un generico connettivo, possiamo usare la
seguente notazione:
se A, B sono due enunciati atomici qualsiasi, il connettivo  è
rappresentato in forma funzionale come
: {A, B}  AB
dove il simbolo AB rappresenta l’enunciato molecolare.
Esempio:
se  rappresenta il connettivo  (congiunzione), la
rappresentazione funzionale di  è
 : {A, B}  A  B
Le condizioni di verità
Sulla base delle nozioni di enunciato atomico e composto
e della nozione di verità, si pone in modo naturale il
seguente problema:
come si comporta la verità rispetto alla composizione di
enunciati composti a partire da un certo numero di
enunciati atomici?
Cioè:
dato : { A, B }  AB
poiché A può singolarmente essere V o F
poiché B può singolarmente essere V o F
Cosa succede di AB ?
Verofunzionalità
Proprietà fondamentale dei connettivi
logici di base (enunciativi)
I connettivi si comportano
come funzioni di verità
I valori di verità degli enunciati atomici determinano
univocamente il valore di verità dell’enunciato composto
Perché i connettivi della logica
proposizionale si dicono verofunzionali?
Perché il valore di verità di un generico enunciato P è
funzione dei valori di verità degli enunciati atomici che
compongono P.
In altre parole, se  è un generico connettivo e A, B
sono enunciati
Valore di A fissato
&
Valore di B fissato
Val di AB fissato
Tavole di verità
Il comportamento di ogni connettivo rispetto al valore
di verità di un generico enunciato è regolato da un
particolare strumento teorico, detto tavola di verità.
Le tavole di verità rappresentano veri e propri algoritmi
per calcolare il valore di verità di un generico
enunciato.
Tavola di verità di 
Congiunzione
Elenco dei possibili
valori di verità di A
A

B
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
Elenco dei possibili
valori di verità di B
Elenco dei possibili
valori di verità di A  B
Tavola di verità di 
Disgiunzione
A
V
V
F
F

V
V
V
F
B
V
F
V
F
Tavola di verità di 
Implicazione
A
V
V
F
F

V
F
V
V
B
V
F
V
F
Tavola di verità di 
Negazione
 A
F V
V F
Tavola di verità di 
‘Se e solo se’ (Doppia implicazione)
A
V
V
F
F

V
F
F
V
B
V
F
V
F
Carattere algoritmico
delle tavole di verità
Valore di A, Valore di B
Procedura
meccanica
Valore di (AB),
dove  è un connettivo qualsiasi
Applicazione delle tavole di verità: un
semplice esercizio
 Prima di tutto definiamo tautologia (o verità logica) un
enunciato che riceve valore di verità V per qualsiasi
assegnazione di valore di verità ai suoi enunciati componenti.
 Verifichiamo poi se un dato enunciato è una tautologia,
calcolandone il valore di verità.
 In base alla definizione di tautologia, quell’enunciato sarà
una tautologia soltanto se riceverà sempre il valore di verità
V, cioè se avrà tale valore quale che sia il valore di verità degli
enunciati componenti.
Sia dunque dato un certo enunciato, per esempio
(pq)(qp)
p q (p
V
V
F
F

q)

(
q


p)
V V
V
V
V
F
V
V
F
V
F V
F
F
V
V
F
F
F
V
V F
V
V
V
F
V
V
V
F
F F
V
F
V
V
F
V
V
F
Nella colonna del connettivo  (il connettivo principale
dell’enunciato) troviamo sempre V. L’enunciato dato
riceve cioè valore di verità V per ogni assegnazione di
valore di verità agli enunciati componenti, e risulta dunque
una tautologia.
Vediamo ora la proposizione (pq)(qp)
pq
(p

q)

(q

p)
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
Sotto il connettivo principale  non troviamo sempre il
valore V per qualsiasi assegnazione di valore di verità agli
enunciati componenti: l’enunciato dato non è una
tautologia.
È ragionevole che (pq)(qp) non sia una tautologia.
Se lo fosse, questo significherebbe che – data una qualsiasi
implicazione – noi siamo sempre legittimati a invertire il senso
dell’implicazione.
Esempio:
p = Io sono un cittadino italiano
q = Io sono un cittadino europeo
Se (pq)(qp) fosse una tautologia, allora assumere
l’implicazione
Io sono un cittadino italiano  Io sono un cittadino europeo
giustificherebbe anche immediatamente l’implicazione
Io sono un cittadino europeo  Io sono un cittadino italiano
Formalizzazione: qualche esercizio
Linguaggio naturale
Linguaggio enunciativo
p = «piove», n = «nevica»
«Piove ma non nevica»
p  n
«Non è vero che sia piove sia
nevica»
«Piove se e solo se nevica»
 (p  n)
«Se piove e nevica, allora
nevica»
«O piove e nevica, o piove ma
(p  n)  n
pn
(p  n)  (p   n)
Verso un linguaggio formale
per la logica enunciativa
Scopo principale nella costruzione
di un linguaggio formale
Evitare le ambiguità del linguaggio naturale
nell’indagine sulla struttura logica degli argomenti
Il linguaggio (artificiale)
della logica enunciativa
1. Alfabeto descrittivo: un insieme di variabili enunciative
(eventualmente infinito), indicate con p, q, r, ...
2. Alfabeto logico: connettivi di congiunzione (),
disgiunzione (), implicazione (), negazione ()
3. Alfabeto ausiliario : simboli speciali ( ) e ,
Cos’è una formula
del linguaggio enunciativo (LE)?
È una qualsiasi successione finita di simboli di LE, p. es.
qr
st
 (s  s)
pr
Si vede subito che non tutte queste successioni possono
rappresentare effettivamente degli enunciati:
intuitivamente la successione di simboli
qr
rappresenta un enunciato, mentre la successione
st
non lo rappresenta.
Come è possibile distinguere in modo adeguato tra
formule che rappresentano enunciati (che chiameremo
ben formate) e formule prive di significato?
Mediante un particolare tipo di definizione, detta induttiva
o ricorsiva.
Definizione induttiva o ricorsiva
Una definizione induttiva, o ricorsiva, è una
definizione che caratterizza un certo insieme
mediante l’applicazione di certe operazioni a certi
elementi di base dell’insieme
Questo tipo di definizione serve a dominare con
mezzi finiti un insieme che di fatto è infinito (perché
il numero di formule ben formate è in linea di
principio infinito)
La nozione di meta-variabile
I simboli p, q, r,…. del nostro alfabeto descrittivo
funzionano come variabili nel senso che uno qualsiasi di
questi simboli ‘sta per’ un enunciato
Nella definizione induttiva di formula ben formata, avremo
bisogno di simboli che stanno per le variabili enunciative
Chiameremo questi simboli meta-variabili o variabili ‘di
secondo grado’: simboli che stanno per altri simboli
Intermezzo importante: il suffisso meta
Il suffisso meta deriva dalla preposizione greca antica meta,
che significa sopra ma anche a proposito di, riguardo a
Una nozione che usa in modo importante questo suffisso è
la distinzione
Linguaggio L / Metalinguaggio ML
L parla di certi oggetti
ML parla del linguaggio L
Una stessa lingua può funzionare da
linguaggio o da metalinguaggio
Quando scriviamo
Il Sole sorge alle 6
utilizziamo l’italiano come linguaggio
(descrittivo).
Ma quando scriviamo
Nella frase «Il Sole sorge alle 6»,
«Sole» indica un sostantivo
utilizziamo l’italiano come metalinguaggio, cioè come
un linguaggio che parla di un altro linguaggio
In sintesi
Enunciato
Variabile enunciativa p
Meta-variabile a
«Mario mangia la mela»
p sta per «Mario mangia
la mela»
a sta per la variabile
enunciativa p
Definizione ricorsiva di formula ben
formata (fbf) in un linguaggio enunciativo
BASE: Ogni variabile enunciativa è una fbf.
PASSO:
1) Se a è una fbf, allora anche  a è una fbf.
2) Se a, b sono fbf, allora anche a  b è una fbf.
3) Se a, b sono fbf, allora anche a  b è una fbf.
4) Se a, b sono fbf, allora anche a  b è una fbf.
CHIUSURA: Nient’altro è una fbf.
Una sottofbf è una parte di una fbf che è anch’essa una fbf.
Occorrenza (di un simbolo): modalità di
comparizione di quel simbolo in una fbf
Prima occorrenza di p
Seconda occorrenza di p
(pq)(qp)
Prima occorrenza di q
Seconda occorrenza di q
Nota: si parla nello stesso senso di occorrenza di un
connettivo.
Campo (di un connettivo): la più piccola fbf
in cui occorre quel connettivo
Es: nella fbf
(pq)(qp)
il campo della prima occorrenza di  è (pq)
il campo della prima occorrenza di  è ……
il campo di  è l’intera formula.
Quando il campo di un dato connettivo è l’intera formula,
quel connettivo si chiama principale
Calcolo logico per la logica enunciativa
Verifica della correttezza di un argomento esprimibile
in logica enunciativa
Date le fbf a1,…, an, b, la forma generale di un argomento
in logica enunciativa sarà
a ,…, an / b
1
dove
a ,…, a
b
/
1
n
=
premesse
=
conclusione
=
simbolo di inferenza («quindi»)
Consideriamo il seguente argomento in lingua naturale:
«Se Mario ha studiato, allora Mario ha passato l’esame di
logica. Mario ha passato l’esame di logica, quindi Mario
ha studiato.»
1) Come è possibile formalizzare questo argomento?
2) In versione formalizzata, si tratta di un argomento
corretto? Risulta cioè che, ogni volta che le premesse
sono vere, anche la conclusione è vera?
Se Mario ha studiato allora Mario ha passato l’esame di logica
[p]
[q]
Mario ha passato l’esame di logica
[q]
quindi
Mario ha studiato
[p]
Formalizzazione (Traduzione dell’argomento
in forma condizionale)
((p  q)  q)  p
((p
V
V
F
F

V
F
V
V
q)
V
F
V
F

V
F
V
F
q)
V
F
V
F

V
V
F
V
p
V
V
F
F
Conclusione: l’argomento non è corretto, perché esiste
almeno un caso in cui le premesse sono vere e la
conclusione è falsa (la terza riga).
Calcolo logico per la logica enunciativa
Calcolo del valore di verità delle premesse, per ogni possibile
assegnazione di valori di verità degli enunciati atomici che
compongono le premesse
Due casi possibili:
1) In tutte le assegnazioni in cui
sono vere le premesse è vera
argomento corretto
anche la conclusione
2) Esiste almeno un’assegnazione
in cui sono vere le premesse ma
la conclusione è falsa
argomento scorretto
Esempio del caso possibile 1:
p  q, q / p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p

V
F
V
V
q) ,
q
F
V
F
V
/
p)
F
F
V
V
Ogni volta (nel nostro caso una sola volta) che le premesse
risultano entrambe vere, anche la conclusione è vera:
Esercizio per casa
1) Tradurre l’argomentazione
p  q, q / p
in forma condizionale
2) Verificare se la forma condizionale è una tautologia o
no
Esempio del caso possibile 2:
p  q, p / q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p

V
F
V
V
q)
p
F
F
V
V
/
q)
F
V
F
V
Questa volta esiste un caso in cui le premesse risultano
entrambe vere ma la conclusione falsa: dunque l’argomento
è scorretto.