Logica e filosofia della scienza 2015 2016 Logica 1

Elementi di Logica
Le forme del ragionamento
Corso di Logica e Filosofia della scienza,
a.a. 2015-2016
Il principale oggetto di studio della logica è il ragionamento,
con particolare attenzione per il pensiero deduttivo, nel quale
un ruolo centrale è svolto da nozioni come
inferenza
conseguenza
deduzione
....
“Il punto di partenza della logica formale è la nozione
tradizionale della logica, il ragionamento: il ragionamento è un
susseguirsi o un fluire di affermazioni che si suppone siano
legate da certe relazioni, o legami di consequenzialità, che se
rispettati danno al ragionamento il carattere di ragionamento
corretto, o argomento valido.»
G. Lolli, Introduzione alla logica formale (1991), p. 13
Forme dell’argomentazione
Struttura dei linguaggi
(induzione/deduzione,...)
(sintassi/semantica,
linguaggio naturale...)
LOGICA
Dimostrazione
(fondamenti della matematica)
Algoritmi & Calcolabilità
(fondamenti dell’informatica
e delle scienze cognitive)
Logica (formale) e linguaggio naturale:
rapporto complesso!
Da un lato, infatti, la logica formale costruisce strutture artificiali (i
linguaggi logici), tra i cui scopi c’è anche quello di chiarire e
talvolta correggere o eliminare le numerose ‘ambiguità’ del
linguaggio naturale
Da un altro lato, tuttavia, il linguaggio naturale costituisce un
termine di confronto irrinunciabile per la logica, dal momento che
anche il linguaggio naturale ha una sua struttura interna cui la
logica è interessata
Inoltre la linguistica moderna – cioè la scienza del linguaggio – ha
profondi contatti teorici con la logica (faremo dei cenni più avanti
nel corso)
Enunciato (dichiarativo): espressione linguistica che rappresenta
un fatto o stato di cose e che può ricevere un valore di verità (‘vero’
o ‘falso’).
Esempi: l’espressione
“Isaac Asimov scriveva romanzi”
è un enunciato,
mentre le espressioni
“C’è nessuno in casa?”
“Vietato fumare!”
non sono enunciati.
Distinzione enunciato/proposizione
Enunciato = espressione linguistica di cui ha senso chiedersi se è
vera o falsa
Proposizione = contenuto o senso di un enunciato
«Paolo mangia la mela»
2 enunciati, 1 proposizione
«La mela è mangiata
da Paolo»
Data una simile definizione, esistono alcuni ‘tipi generali’ di
domande alle quali la logica si incarica di rispondere:
Cosa significa che un enunciato ‘implica‘ un enunciato B?
Ammettendo di sapere che effettivamente l’enunciato A
‘implica’ l’enunciato B, come possiamo giustificare una simile
implicazione?
Nel caso di una generica implicazione
A→B
la logica mira dunque a isolare le proprietà che ogni implicazione
di questo tipo è tenuta a soddisfare, quali che siano i particolari
contenuti e significati impliciti negli enunciati A e B.
Natura formale della logica: le analisi della logica risultano, entro
certi limiti, indipendenti dal significato degli enunciati coinvolti, cioè
valgono in virtù della sola “forma logica” degli enunciati stessi e
delle relazioni che li collegano.
Per esempio, nel caso di una generica implicazione
A→B
la logica mira dunque a isolare le proprietà che ogni implicazione
di questo tipo è tenuta a soddisfare, quali che siano i particolari
contenuti e significati impliciti negli enunciati A e B.
LOGICA ENUNCIATIVA (o PROPOSIZIONALE)
Elementi di base e prime definizioni informali
Argomento (o argomentazione)
Definizione informale:
Insieme strutturato di enunciati nel quale un certo insieme di
enunciati (detti premesse) sono offerte come base per giustificare
la ‘fondatezza’ di un altro enunciato (detto conclusione).
Esempi:
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
Giulio non era alla festa
quindi
non può essere stato lui a rubarti la bicicletta
Gli argomenti possono essere corretti (validi) o scorretti (non-validi)
Gli enunciati possono essere veri o falsi
IMPORTANTE! Bisogna distinguere tra
CORRETTEZZA (VALIDITÀ) o SCORRETTEZZA (NON-VALIDITÀ)
di un argomento
e
VERITÀ o FALSITÀ
di un enunciato
CORRETTEZZA (VALIDITÀ) di un argomento
Un argomento è corretto se non può darsi il caso che le sue
premesse siano vere e la sua conclusione sia falsa.
Quando un argomento è corretto, diremo che la conclusione è
conseguenza logica delle premesse.
Attenzione! Un argomento può essere
corretto anche se una o più premesse
non sono vere.
Esempi
L’argomento
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
è corretto (perché le premesse implicano logicamente la
conclusione) e le sue premesse sono vere.
L’argomento
Tutti gli ippogrifi volano
In Australia esistono gli ippogrifi
quindi
In Australia c’è almeno un animale che
vola
è corretto perché le premesse implicano logicamente la
conclusione, anche se almeno una premessa è falsa.
L’argomento
Tutti i cavalli sono mortali
Furia è un cavallo
quindi
George Clooney è statunitense
non è corretto perché le premesse non implicano logicamente la
conclusione, anche se sia le premesse sia la conclusione sono
enunciati veri.
Attenzione!
Una successione di enunciati può essere un argomento,
anche se non è immediato riconoscerla come tale.
Esempio:
C’è bisogno di altra morfina. Abbiamo 9 feriti e solo 5 dosi di
morfina.
Distinzione tra
Argomento deduttivo / Argomento induttivo
Distinzione tra
Enunciati universali
Enunciati particolari
Enunciati singolari
Enunciati universali: enunciati che iniziano con espressioni come
‘tutti’, ‘ogni’, ‘ciascuno’, ecc. (enunciati che riguardano dunque un
intero gruppo di individui).
Es.: ‘Tutti gli uomini sono mortali’, ‘I cani sono mammiferi’
Enunciati particolari: enunciati che iniziano con espressioni come
‘alcuni’, ‘certi’, ‘qualche’, ‘un’, ecc.
Es.: ‘Alcuni uomini sono biondi’
Enunciati singolari: enunciati il cui soggetto è uno specifico individuo.
Es.: ‘Renzo Piano è un architetto’
Si usa dire che
Argomento deduttivo:
argomento dall’universale al particolare (o singolare)
Argomento induttivo:
argomento dal particolare (o singolare) all’universale
Questo è vero in molti casi, ma non in tutti!
Esempi:
L’argomento
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
è deduttivo ed effettivamente procede dall’universale al singolare.
L’argomento
Nadal è mortale
Djokovic è mortale
Federer è mortale
…….
…….
…….
quindi
Tutti i tennisti sono mortali
è induttivo ed effettivamente procede dal singolare all’universale.
Per vedere però che l’associazione
Deduttivo
Induttivo
→
→
dall’universale al particolare
dal particolare all’universale
ammette delle eccezioni, consideriamo il seguente argomento
Se Dio può ingannare, allora è malvagio
Dio non è malvagio
quindi
Dio non può ingannare
Questo argomento è deduttivo ma non procede dall’universale al
particolare.
Caratterizzazione più generale per la distinzione
deduttivo/induttivo
Argomento deduttivo
Premesse
-------- necessario
Conclusione
Argomento induttivo
Premesse
-------- non necessario
Conclusione
Natura formale della logica:
i due argomenti
Se Dio può ingannare, allora è malvagio
Dio non è malvagio
quindi
Dio non può ingannare
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
sono esempi dei seguenti schemi di argomenti
Se P allora Q
Non Q
quindi
Non P
Tutto ciò che ha F ha G
m ha la proprietà F
quindi
m ha la proprietà G
= parole logiche
Enunciati composti e valori di verità
Nella logica enunciativa, enunciati come
“Isaac Asimov scriveva romanzi”
esprimono fatti semplici, vale a dire fatti non ulteriormente
analizzabili. Enunciati di questo tipo vengono definiti atomici.
È naturalmente possibile introdurre enunciati composti (o
molecolari), generati a partire da un certo numero di
proposizioni atomiche.
L’enunciato
“Isaac Asimov scriveva romanzi e Italo Calvino era nato a
Cuba”
rappresenta un enunciato composto, generato mediante
l’applicazione di una particella (‘e’) ai singoli enunciati atomici
“Isaac Asimov scriveva romanzi”
“Italo Calvino era nato a Cuba”
Si definiscono connettivi quelle particelle del linguaggio che
non sono provviste in sé di significato ma che permettono di
formare enunciati composti a partire da enunciati atomici.
Connettivi principali della logica enunciativa:
- non (connettivo unario, si applica a un singolo enunciato)
- e, o, se...allora (connettivi binari, si applicano a coppie di
enunciati).
Esempi di applicazione dei connettivi a enunciati dati:
“Isaac Asimov scriveva romanzi”
↓ non
“Isaac Asimov non scriveva romanzi”
“Isaac Asimov scriveva romanzi”, “Italo Calvino era nato a Cuba”
↓e,o
“Isaac Asimov scriveva romanzi e Italo Calvino era nato a Cuba”
“Isaac Asimov scriveva romanzi o Italo Calvino era nato a Cuba”
“Isaac Asimov scriveva romanzi”, “Italo Calvino era nato a Cuba”
↓ se...allora
“Se Isaac Asimov scriveva romanzi allora Italo Calvino era nato a Cuba”
In simboli:
Connettivi
negazione
Linguaggio
naturale
Linguaggio
formale
non
¬
congiunzione
e
∧
disgiunzione
o
∨
implicazione
se...allora
→
Se ♦ rappresenta un generico connettivo, possiamo usare la
seguente notazione:
se A, B sono due enunciati atomici qualsiasi, il connettivo ♦ è
rappresentato in forma funzionale come
♦: {A, B} → A♦B
dove il simbolo A♦B rappresenta l’enunciato molecolare.
Esempio:
se ♦ rappresenta il connettivo ∧ (congiunzione), la rappresentazione
funzionale di ∧ è
∧ : {A, B} → A ∧ B
Sulla base delle nozioni di enunciato atomico e composto e
della nozione di verità, si pone allora in modo naturale il
seguente problema:
come si comporta la verità rispetto alla composizione di
enunciati composti a partire da un certo numero di enunciati
atomici?
Cioè:
dato ♦: { A, B } → A♦B
A può singolarmente essere V o F
B può singolarmente essere V o F
Cosa succede di A♦B ?
Proprietà fondamentale dei connettivi logici di base
(enunciativi)
I connettivi si comportano come funzioni di verità: i valori di verità
degli enunciati atomici determinano univocamente il valore di
verità dell’enunciato composto.
I connettivi della logica proposizionale si dicono verofunzionali: il
valore di verità di un generico enunciato P è funzione dei valori di
verità degli enunciati atomici che compongono P. In altre parole,
Val di A fissato, Val di B fissato
Val di A♦B fissato
Il comportamento di ogni connettivo rispetto al valore di verità
di un generico enunciato è regolato da un particolare
strumento teorico, detto tavola di verità.
Le tavole di verità rappresentano di fatto degli algoritmi per
calcolare il valore di verità di un generico enunciato.
TAVOLA DI VERITÀ DI ∧
Congiunzione
A
∧
B
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
TAVOLA DI VERITÀ DI ∨
Disgiunzione
A
V
V
F
F
∨
V
V
V
F
B
V
F
V
F
TAVOLA DI VERITÀ DI →
Implicazione
A
V
V
F
F
→
V
F
V
V
B
V
F
V
F
TAVOLA DI VERITÀ DI ¬
negazione
¬ A
F V
V F
TAVOLA DI VERITÀ DI ↔
(‘se e solo se’)
A
V
V
F
F
↔
V
F
F
V
B
V
F
V
F
Carattere algoritmico delle tavole di verità
valore di A, valore di B
Procedura
meccanica
valore di (A♦B),
dove ♦ è un connettivo qualsiasi
Proviamo ora ad applicare le tavole di verità, risolvendo un
semplice esercizio.
Prima di tutto definiamo tautologia (o verità logica) un enunciato
che riceve valore di verità V per qualsiasi assegnazione di valore
di verità ai suoi enunciati componenti.
Verifichiamo poi se un dato enunciato è una tautologia,
calcolandone il valore di verità.
In base alla definizione di tautologia, quell’enunciato sarà una
tautologia soltanto se riceverà sempre il valore di verità V, cioè se
avrà tale valore quale che sia il valore di verità degli enunciati
componenti.
Sia dunque dato un certo enunciato, per esempio
(p→q)↔(¬q→¬p)
p q (p
→
q)
↔ (¬
q
→
¬
p)
-----------------------------------------------------------------------------------V V V
V
V
V
F
V
V
F
V
V F V
F
F
V
V
F
F
F
V
F V F
V
V
V
F
V
V
V
F
F F F
V
F
V
V
F
V
V
F
Nella colonna del connettivo ↔ (il connettivo principale
dell’enunciato) troviamo sempre V. L’enunciato dato riceve cioè
valore di verità V per ogni assegnazione di valore di verità agli
enunciati componenti, e risulta dunque una tautologia.
Vediamo ora la proposizione (p→q)↔(q→p)
pq
(p
→
q)
↔
(q
→
p)
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
Sotto il connettivo principale ↔ non troviamo sempre il valore V per
qualsiasi assegnazione di valore di verità agli enunciati componenti:
l’enunciato dato non è una tautologia.
È ragionevole che (p→q)↔(q→p) non sia una tautologia.
Se lo fosse, questo significherebbe che – data una qualsiasi
implicazione – noi siamo sempre legittimati a invertire il senso
dell’implicazione.
Esempio:
p = Io sono un cittadino italiano
q = Io sono un cittadino europeo
Se (p→q)↔(q→p) fosse una tautologia, allora assumere l’implicazione
Io sono un cittadino italiano → Io sono un cittadino europeo
giustificherebbe anche immediatamente l’implicazione
Io sono un cittadino europeo → Io sono un cittadino italiano
Formalizzazione: qualche esercizio
Linguaggio naturale
Linguaggio enunciativo
p = «piove», n = «nevica»
«Piove ma non nevica»
p ∧ ¬n
«Non è vero che sia piove sia
nevica»
¬ (p ∧ n)
«Piove se e solo se nevica»
«Se piove e nevica, allora
nevica»
«O piove e nevica, o piove ma
non nevica»
p↔n
(p ∧ n) → n
(p ∧ n) ∨ (p ∧ ¬ n)
Verso un linguaggio formale
per la logica enunciativa
Scopo principale nella costruzione di un linguaggio formale:
evitare le ambiguità del linguaggio naturale nell’indagine sulla
struttura logica degli argomenti.
Il linguaggio artificiale più semplice di cui ci occuperemo è il
linguaggio della logica enunciativa, composto dei seguenti
elementi:
1.
Alfabeto descrittivo: un insieme di variabili enunciative
(eventualmente infinito), indicate con p, q, r, ...
2.
Alfabeto logico: connettivi di congiunzione (∧),
disgiunzione (∨), implicazione (→), negazione (¬)
3.
Alfabeto ausiliario : simboli speciali ( ) e ,
Una formula del linguaggio enunciativo è dunque una qualsiasi
successione finita di simboli:
q ∧ r,
¬ (s ∧ ¬s),
st→,
p∨r¬
Si vede subito che non tutte queste successioni possono
rappresentare effettivamente degli enunciati:
come è possibile distinguere in modo adeguato tra formule che
rappresentano enunciati (che chiameremo ben formate) e formule
prive di significato?
Mediante un particolare tipo di definizione, detta induttiva o ricorsiva.
Una definizione induttiva, o ricorsiva, è una definizione che
caratterizza un certo insieme mediante l’applicazione di certe
operazioni a certi elementi di base dell’insieme.
Questo tipo di definizione serve a dominare con mezzi finiti un
insieme che di fatto è infinito (perché il numero di formule ben
formate è in linea di principio infinito).
Esempio:
definizione ricorsiva dell’insieme N dei numeri naturali, sulla
base della relazione primitiva ‘successore’.
BASE: 0 è un numero naturale;
PASSO: Se n è un numero naturale, anche il successore di n è
un numero naturale;
CHIUSURA: Nient’altro è un numero naturale.
Prima di fornire la definizione di formula ben formata, però, è
necessario introdurre la nozione di meta-variabile.
I simboli p, q, r,…. del nostro alfabeto descrittivo funzionano come
variabili nel senso che uno qualsiasi di questi simboli ‘sta per’ un
enunciato.
Nella definizione induttiva di formula ben formata, avremo bisogno
di simboli che ‘stanno per’ le variabili enunciative.
Chiameremo questi simboli meta-variabili (variabili ‘di secondo
grado’): simboli che ‘stanno per’ altri simboli.
IN SINTESI
Enunciato
(es.: «Mario mangia la mela»)
↓
Variabile enunciativa p
(variabile che sta per un possibile
enunciato come «Mario mangia la mela»)
↓
Meta-variabile α
(variabile che sta per una possibile
variabile enunciativa come p)
Definizione RICORSIVA di formula ben formata (fbf)
in un linguaggio enunciativo
BASE: Ogni variabile enunciativa è una fbf.
PASSO:
1) Se α è una fbf, allora anche ¬ α è una fbf.
2) Se α, β sono fbf, allora anche α ∧ β è una fbf.
3) Se α, β sono fbf, allora anche α ∨ β è una fbf.
4) Se α, β sono fbf, allora anche α → β è una fbf.
CHIUSURA: Nient’altro è una fbf.
Una sottofbf è una parte di una fbf che è anch’essa una fbf.
Occorrenza (di un simbolo): modalità di comparizione di quel simbolo
in una fbf.
Prima occorrenza di p
Seconda occorrenza di p
(p→q)↔(¬q→¬p)
Prima occorrenza di q
Seconda occorrenza di q
Nota: si parla nello stesso senso di occorrenza di un connettivo.
Campo (di un connettivo):
La più piccola fbf in cui occorre quel connettivo.
Es: nella fbf
(p→q)↔(¬q→¬p)
il campo della prima occorrenza di → è (p→q)
il campo della prima occorrenza di ¬ è ……
il campo di ↔ è l’intera formula.
Quando il campo di un dato connettivo è l’intera formula, quel
connettivo si chiama principale.
Calcolo logico per la logica enunciativa
Verifica della correttezza di un argomento esprimibile
in logica enunciativa
Date le fbf α1,…, αn, β, la forma generale di un argomento in
logica enunciativa sarà
α ,…, αn / β
1
dove
α ,…, α
β
/
1
n
=
premesse
=
conclusione
=
simbolo di inferenza («quindi»)
Consideriamo il seguente argomento in lingua naturale:
«Se Mario ha studiato, allora Mario ha passato l’esame di logica.
Mario ha passato l’esame di logica, quindi Mario ha studiato.»
1) Come è possibile formalizzare questo argomento?
2) In versione formalizzata, si tratta di un argomento corretto?
Risulta cioè che, ogni volta che le premesse sono vere, anche
la conclusione è vera?
Se Mario ha studiato allora Mario ha passato l’esame di logica
[p]
[q]
Mario ha passato l’esame di logica
[q]
quindi
Mario ha studiato
[p]
Formalizzazione
((p → q) ∧ q) → p
((p
V
V
F
F
→
V
F
V
V
q)
V
F
V
F
∧
V
F
V
F
q)
V
F
V
F
→
V
V
F
V
p
V
V
F
F
Conclusione: l’argomento non è corretto, perché esiste almeno
un caso in cui le premesse sono vere e la conclusione è falsa
(la terza riga).
Calcolo logico per la logica enunciativa
Calcolo del valore di verità delle premesse, per ogni possibile
assegnazione di valori di verità degli enunciati atomici che
compongono le premesse
Due casi possibili:
1) In tutte le assegnazioni in cui
sono vere le premesse è vera
argomento corretto
anche la conclusione
2) Esiste almeno un’assegnazione
in cui sono vere le premesse ma
la conclusione è falsa
argomento scorretto
Esempio del caso possibile 1:
p → q, ¬q / ¬p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p
→
V
F
V
V
q) ,
¬q
F
V
F
V
/
¬p)
F
F
V
V
Ogni volta (nel nostro caso una sola volta) che le premesse
risultano entrambe vere, anche la conclusione è vera: dunque
l’argomento è corretto.
Esempio del caso possibile 2:
p → q, ¬p / ¬q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p
→
V
F
V
V
q)
¬p
F
F
V
V
/
¬q)
F
V
F
V
Questa volta esiste un caso in cui le premesse risultano entrambe
vere ma la conclusione falsa: dunque l’argomento è scorretto.
Argomenti e forme condizionali corrispondenti
Dato un qualsiasi argomento
α1,…, αn / β,
definiamo forma
argomento la fbf
condizionale
corrispondente
di
questo
(α1 ∧… ∧αn) → β
Si dimostra che
Un argomento è corretto
se e solo se
la sua forma condizionale corrispondente è una tautologia.
Caso possibile 1:
Argomento
p → q, ¬q / ¬p
corretto
Forma condizionale
[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p
tautologia
Caso possibile 2:
Argomento
p → q, ¬p / ¬q
scorretto
Forma condizionale
[(p → q) ∧ ¬p] → ¬q
non-tautologia