Elementi di Logica, I
Le forme del ragionamento
deduttivo
Corso di Logica e Filosofia della scienza,
a.a. 2012-2013
LOGICA
Forme della razionalità (induzione/deduzione,...)
Struttura dei linguaggi (sintassi/semantica, ...)
Dimostrazione (fondamenti della matematica)
Algoritmi & Calcolabilità (fondamenti dell’informatica)
Il principale oggetto di studio della logica è il
ragionamento deduttivo, nel quale un ruolo
centrale è svolto da nozioni come
inferenza
conseguenza
deduzione
....
“Il punto di partenza della logica formale è la
nozione tradizionale della logica, il
ragionamento: il ragionamento è un
susseguirsi o un fluire di affermazioni che si
suppone siano legate da certe relazioni, o
legami di consequenzialità, che se rispettati
danno al ragionamento il carattere di
ragionamento corretto, o argomento valido.
G. Lolli, Introduzione alla logica formale (1991), p. 13
Enunciato (dichiarativo): espressione linguistica
che rappresenta un fatto o stato di cose e che
può ricevere un valore di verità (‘vero’ o ‘falso’).
Esempi: l’espressione
“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”
è un enunciato, mentre le espressioni
“C’è nessuno in casa?”
“Vietato fumare!”
non sono enunciati.
Distinzione enunciato/proposizione
Enunciato = espressione linguistica di cui ha
senso chiedersi se è vera o falsa
Proposizione = contenuto o senso di un
enunciato
«Paolo mangia la mela»
«La mela è mangiata da Paolo»
2 enunciati, 1 proposizione
Data una simile definizione, esistono alcuni
‘tipi generali’ di domande alle quali la logica si
incarica di rispondere:
• Cosa significa che un enunciato ‘implica‘ un
enunciato B?
• Ammettendo di sapere che effettivamente
l’enunciato A ‘implica’ l’enunciato B, come
possiamo giustificare una simile implicazione?
Le analisi della logica a questo livello di
generalità risultano, entro certi limiti,
indipendenti dal significato degli enunciati
coinvolti, cioè valgono in virtù della sola
“forma logica” degli enunciati stessi e delle
relazioni che li collegano.
Nel caso di una generica implicazione
A B,
la logica mira dunque a isolare le proprietà
che ogni implicazione di questo tipo è tenuta
a soddisfare, quali che siano i particolari
contenuti e significati impliciti negli enunciati
A e B.
Alle origini della logica:
Aristotele, Stoici, Leibniz, Boole, Frege
Concezione rappresentazionale del pensiero a
partire dalla filosofia moderna (Cartesio,
Locke): il pensiero e la conoscenza consistono
in una adeguata manipolazione e trattamento
di rappresentazioni.
W.G. Leibniz: importanza centrale della logica
come strumento di chiarificazione del
pensiero rappresentazionale
“se si lodano gli uomini che hanno
determinato il numero di corpi regolari, che
non ha utilità alcuna, se non in quanto è
piacevole a contemplarsi, quanto sarà più
meritorio ridurre a leggi matematiche il
ragionamento umano, che è ciò che di più
eccellente e di più utile possediamo.”
W.G. Leibniz
Logica come ‘calcolo del pensiero’
“Se dovessero sorgere controversie, le
discussioni tra due filosofi non sarebbero più
necessarie di quanto lo siano quelle tra due
contabili. Basterebbe infatti che essi
prendessero in mano le loro penne, si
mettessero ai loro tavoli, e si dicessero a
vicenda: calcoliamo.”
W.G. Leibniz
Punti fondamentali
• Si prefigura l’importanza di una nozione
rigorosa di dimostrazione.
• Si prefigura l’importanza di una nozione
rigorosa di algoritmo, una procedura
inferenziale ‘meccanica’ che prescinde dalla
comprensione del significato dei termini
coinvolti.
“Progetto del seguente trattato è quello di
indagare le leggi fondamentali di quelle
operazioni della mente tramite le quali viene
effettuato il ragionamento [...] Tali studi
destano anche interesse di altro tipo, derivato
dalla luce che essi fanno sulle facoltà
intellettive. Essi ci istruiscono sul modo in cui
il linguaggio e i numeri servono come
strumenti per i processi del ragionamento.”
G. Boole, Indagine sulle leggi del pensiero, sulle quali
sono fondate le teorie matematiche della logica e
della probabilità (1854)
• Riprodurre le operazioni logiche mediante
operazioni algebriche: progetto di
‘algebrizzazione’ della logica (definizione della
struttura nota come algebra di Boole)
• Le operazioni introdotte in tale algebra - che
rappresentano astrattamente operazioni
logiche come la congiunzione (‘E’) o la
disgiunzione non esclusiva (‘O’) rappresentano il modello formale delle porte
logiche di un circuito elettronico di un
moderno calcolatore.
Gottlob Frege, Ideografia (1879): prima
formulazione di una logica dei predicati e della
nozione logica di sistema formale (o teoria
formalizzata).
Individuazione di condizioni che qualunque
successione di simboli logici deve soddisfare
per risultare una dimostrazione.
Definizione rigorosa della nozione di
dimostrazione.
“L’ideografia deve dunque servire anzitutto a
esaminare nel modo più sicuro la connessione
di una catena deduttiva e a mettere in
evidenza
ogni
ipotesi
che
voglia
inavvertitamente
insinuarvisi,
affinché,
successivamente, si possa indagare sulla sua
origine. [...]
“Eliminando
qualsiasi
lacuna
dal
concatenamento dei ragionamenti, si riesce a
porre in luce ogni assioma, ogni presupposto,
ogni ipotesi (o in qual altro modo la si voglia
chiamare) su cui riposano le dimostrazioni; e così
si raggiunge una base sicura dalla quale valutare
la natura conoscitiva delle leggi dimostrate.”
G. Frege
LOGICA ENUNCIATIVA (o PROPOSIZIONALE)
Elementi di base e prime definizioni informali
Argomento (o argomentazione)
Insieme strutturato di enunciati nel quale un
certo insieme di enunciati (detti premesse)
sono offerte come base per giustificare la
correttezza di un altro enunciato (detto
conclusione).
Esempi:
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
Giulio non era alla festa, quindi non può
essere stato lui a rubarti la bicicletta.
Mondo possibile: una situazione o stato di
cose alternativo a quello attuale ma
logicamente concepibile (che avrebbe cioè
potuto
verificarsi
senza
determinare
contraddizioni logiche).
Verità logica
Un enunciato è
logicamente vero quando è vero in tutti i
mondi possibili,
logicamente falso quando è falso in tutti i
mondi possibili,
logicamente contingente quando non è né
logicamente vero né logicamente falso.
Conseguenza logica
Un enunciato A è conseguenza logica di un
insieme S di enunciati (o S implica
logicamente A) quando A è vera in tutti i
mondi possibili nei quali sono veri tutti gli
elementi di S.
Correttezza di un argomento
Un argomento è corretto se non esiste alcun
mondo possibile nel quale le premesse sono
vere e la conclusione è falsa (o,
equivalentemente, se la conclusione è
conseguenza logica delle premesse).
Attenzione! Un argomento può essere
corretto anche se una o più premesse non
sono vere.
Applicazione agli esempi visti prima
L’argomento
Tutti gli uomini sono mortali
Socrate è un uomo
quindi
Socrate è mortale
è corretto (perché le premesse implicano
logicamente la conclusione) e le sue premesse
sono vere.
L’argomento
Tutti gli ippogrifi volano
In Australia esistono gli ippogrifi
quindi
In Australia c’è almeno un animale
che vola
è corretto perché le premesse implicano
logicamente la conclusione, ma almeno una
premessa è falsa.
Attenzione!
Una successione di enunciati può essere un
argomento, anche se non è immediato
riconoscerla come tale.
Esempio:
C’è bisogno di altra morfina. Abbiamo 9
feriti e solo 5 dosi di morfina.
Argomento deduttivo
Premesse
------------------> necessario
Conclusione
Argomento induttivo
Premesse
-------------------> non necessario
Conclusione
Proposizioni composte e valori di verità
Nella logica proposizionale, enunciati come
“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”
esprimono fatti semplici, vale a dire non
ulteriormente analizzabili. Enunciati di questo
tipo vengono definiti atomici.
È naturalmente possibile introdurre enunciati
composti (o molecolari), generati a partire da
un certo numero di proposizioni atomiche.
L’enunciato
“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa e Italo
Calvino era nato a Cuba”
rappresenta
un
enunciato
composto,
generato mediante l’applicazione di una
particella (‘e’) ai singoli enunciati atomici
“Isaac Asimov scriveva romanzi rosa”,
“Italo Calvino era nato a Cuba”
Si definiscono connettivi quelle particelle del
linguaggio che non sono provviste in sé di
significato ma che permettono di formare
enunciati composti a partire da enunciati
atomici.
Connettivi principali della logica enunciativa:
- non (connettivo unario, si applica a un
singolo enunciato)
- e, o, se...allora (connettivi binari, si
applicano a coppie di enunciati).
Se ‘’ rappresenta un generico connettivo,
possiamo usare la seguente notazione:
se A, B sono due enunciati atomici qualsiasi, il
connettivo ‘’ è rappresentato in forma
funzionale come
: {A, B} AB
dove il simbolo ‘AB’ rappresenta l’enunciato
molecolare.
Sulla base delle nozioni di enunciato atomico
e composto e della nozione di verità, si pone
allora in modo naturale il seguente problema:
come si comporta la verità rispetto alla
composizione di enunciati composti a partire
da un certo numero di enunciati atomici?
: {A, B} AB
vero,falso
vero,falso
?
Proprietà fondamentale dei connettivi logici
di base (proposizionali)
I connettivi si comportano come funzioni di
verità: i valori di verità degli enunciati atomici
determinano univocamente il valore di verità
dell’enunciato composto.
: {A, B} AB
vero,falso
vero,falso
vero,falso
I connettivi della logica proposizionale sono
verofunzionali: il valore di verità di un
generico enunciato P è funzione dei valori di
verità
degli
enunciati
atomici
che
compongono P.
Per comprendere più chiaramente la
condizione di verofunzionalità, richiamiamo la
definizione generale di funzione.
La nozione di funzione
Una funzione f: S T è una corrispondenza tra
due insiemi S e T, tale che a uno o più elementi di
S associa uno e un solo elemento di T.
Data la notazione f(x) = y, per x S e y T, x è
detto l’argomento della funzione e y è detto il
valore della funzione. L’insieme S è detto dominio
della funzione, mentre l’insieme T è detto
codominio della funzione.
Attenzione: la definizione appena fornita
consente il caso che S = T.
Esempio 1: Se
S = insieme dei bambini di una scuola
elementare (con maestra unica!)
T = insieme delle maestre della scuola
indichiamo con l’espressione
‘Maestra di’: S T
la funzione che assegna a ogni bambino la sua
maestra.
In questo caso S (il dominio) è diverso da T (il
codominio).
Esempio 2
La funzione aritmetica ‘quadrato di’, che a
ogni numero naturale (positivo) n associa il
numero naturale (positivo) nn, può essere
rappresentata come
‘quadrato di’: N+ N+
In questo caso, dominio e codominio
coincidono.
Negli esempi 1 e 2, ciascuna funzione è
definita per singoli valori, ma è possibile
definire funzioni per coppie di argomenti.
Esempio 3
La funzione ‘somma di’ è definita per coppie
di numeri: se N è l’insieme dei numeri
naturali, la funzione associa a ogni coppia di
numeri naturali n, m il numero naturale n + m.
La notazione è la seguente:
+ : {N x N} N
+ : {n,m} n+m
Riformuliamo allora a questo punto la
condizione di verofunzionalità: un generico
connettivo binario della logica proposizionale
può essere interpretato come una funzione
: {‹V, V›, ‹V, F›, ‹ F, V›, ‹F, F›} {V, F}
che a una qualsiasi coppia di valori di verità corrispondenti ai possibili valori di verità di
due proposizioni - associa uno e un solo valore
di verità - corrispondente al valore di verità
della relativa proposizione composta.
Il problema delle condizioni di verità
Quali sono le condizioni di verità di una generica
proposizione di L1?
Come possiamo valutare queste condizioni?
Possiamo rispondere a queste
mediante le tavole di verità.
domande
Le tavole di verità possono essere considerati
semplici algoritmi per calcolare il valore di
verità di enunciati.
TAVOLA DI VERITÀ DI (congiunzione)
A
V
V
F
F
V
F
F
F
B
V
F
V
F
TAVOLA DI VERITÀ DI
A
B
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
TAVOLA DI VERITÀ DI
A
B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
TAVOLA DI VERITÀ DI
A
F
V
V
F
TAVOLA DI VERITÀ DI (‘se e solo se’)
A
V
V
F
F
V
F
F
V
B
V
F
V
F
Carattere algoritmico delle tavole di verità
valore di A, valore di B
valore di (AB)
Proviamo ora ad applicare le tavole di verità,
risolvendo un semplice esercizio.
Prima di tutto definiamo tautologia un enunciato
che riceve valore di verità V per qualsiasi
assegnazione di valore di verità ai suoi enunciati
componenti.
Poiché un’assegnazione di valori di verità agli
enunciati componenti equivale a un ‘mondo
possibile’, una tautologia risulta essere
nient’altro che una verità logica.
Verifichiamo ora se un dato enunciato è una
tautologia, calcolandone il valore di verità.
In base alla definizione di tautologia,
quell’enunciato sarà una tautologia soltanto se
riceverà sempre il valore di verità V, cioè se avrà
tale valore quale che sia il valore di verità degli
enunciati componenti.
Sia dunque data un certa enunciato, per esempio
(pq)(qp)
(p
V
V
F
F
V
F
V
V
q)
V
F
V
F
V
V
V
V
(
F
V
F
V
q
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
p)
V
V
F
F
Nella colonna del connettivo (il connettivo
principale dell’enunciato) troviamo sempre V.
L’enunciato dato riceve cioè valore di verità V per
ogni assegnazione di valore di verità agli enunciati
componenti, e risulta dunque una tautologia.
Vediamo ora la proposizione (pq)(qp)
(p
V
V
F
F
V
F
V
V
q)
V
F
V
F
V
F
F
V
(q
V
F
V
F
V
V
F
V
p)
V
V
F
F
Sotto il connettivo principale non troviamo sempre
il valore V per qualsiasi assegnazione di valore di
verità agli enunciati componenti: l’enunciato dato non
è una tautologia.
Consideriamo il seguente argomento in lingua
naturale:
«Se Mario ha studiato, allora Mario ha passato
l’esame di logica. Mario ha passato l’esame di
logica, quindi Mario ha studiato.»
1) Come è possibile formalizzare questo
argomento?
2) In versione formalizzata, si tratta di un
argomento valido?
Se
Mario ha studiato
p
allora
Mario ha passato l’esame di logica
Mario ha passato l’esame di logica
quindi
Mario ha studiato
((p q) q) p
q
((p
V
V
F
F
V
F
V
V
q)
V
F
V
F
V
F
V
F
q)
V
F
V
F
V
V
F
V
p
V
V
F
F
Conclusione: l’argomento non è valido, perché
esiste almeno un caso in cui le premesse sono
vere e la conclusione è falsa (la terza riga).
Verso un linguaggio formale
per la logica enunciativa
Scopo principale nella costruzione di un
linguaggio formale: evitare le ambiguità del
linguaggio naturale nell’indagine sulla
struttura logica degli argomenti.
Il linguaggio artificiale più semplice di cui ci
occuperemo è il linguaggio della logica enunciativa,
composto dei seguenti elementi:
1. Alfabeto descrittivo: un insieme di variabili
enunciative (eventualmente infinito), indicate con
p, q, r, ...
2. Alfabeto logico: connettivi di congiunzione (),
disgiunzione (), implicazione (), negazione ()
3. Alfabeto ausiliario : simboli speciali ( ) e ,
Una formula del linguaggio enunciativo è una qualsiasi
successione finita di simboli:
q r,
(s s),
st,
pr
Si vede subito che non tutte queste successioni
possono rappresentare effettivamente degli enunciati:
come è possibile distinguere in modo adeguato tra
formule che rappresentano enunciati (che chiameremo
ben formate) e formule prive di significato?
Mediante un particolare tipo di definizione, detta
induttiva o ricorsiva.
Una definizione induttiva, o ricorsiva, è una
definizione che caratterizza un certo insieme
mediante l’applicazione di certe operazioni a
certi elementi di base dell’insieme.
Questo tipo di definizione serve a dominare con
mezzi finiti un insieme che di fatto è infinito
(perché il numero di formule ben formate è in
linea di principio infinito).
Esempio: definizione ricorsiva dell’insieme N dei
numeri naturali, sulla base della relazione primitiva
‘successore’.
BASE: 0 è un numero naturale;
PASSO: Se n è un numero naturale, anche il
successore di n è un numero naturale;
CHIUSURA: Nient’altro è un numero naturale.
Prima di fornire la definizione di formula ben
formata, però, è necessario introdurre la nozione di
meta-variabile.
I simboli p, q, r,…. del nostro alfabeto descrittivo
funzionano come variabili nel senso che uno
qualsiasi di questi simboli ‘sta per’ un enunciato.
Nella definizione induttiva di formula ben formata,
avremo bisogno di simboli che ‘stanno per’ le
variabili enunciative:
chiameremo questi simboli meta-variabili (variabili
‘di secondo grado’): simboli che ‘stanno per’ altri
simboli.
IN SINTESI:
Enunciato
(es.: «Mario mangia la mela»)
Variabile enunciativa p
(variabile che ‘sta per’ l’enunciato
«Mario mangia la mela»)
Meta-variabile a
(variabile che ‘sta per’ la variabile enunciativa p)
Definizione RICORSIVA di formula ben formata (fbf) in
un linguaggio enunciativo
BASE: Ogni variabile enunciativa è una fbf.
PASSO:
1) Se a è una fbf, allora anche a è una fbf.
2) Se a, b sono fbf, allora anche a b è una fbf.
3) Se a, b sono fbf, allora anche a b è una fbf.
4) Se a, b sono fbf, allora anche a b è una fbf.
CHIUSURA: Nient’altro è una fbf.
Una sottofbf è una parte di una fbf che è anch’essa una
fbf.
Occorrenza (di un simbolo): modalità di comparizione di
quel simbolo in una fbf.
Prima occorrenza di p
Seconda occorrenza di p
(pq)(qp)
Prima occorrenza di q
Seconda occorrenza di q
Nota: si parla nello stesso senso di occorrenza di un
connettivo.
Campo (di un connettivo):
La più piccola fbf in cui compare quel connettivo.
Es: nella fbf
(pq)(qp)
il campo della prima occorrenza di è (pq)
il campo della prima occorrenza di è ……
il campo di è l’intera formula.
Quando il campo di un dato connettivo è l’intera formula,
quel connettivo si chiama principale.
Subordinazione (di un connettivo rispetto a un altro)
Un connettivo # è subordinato rispetto al connettivo @
quando il campo di # è incluso nel campo di @.
Es.: nella fbf
p(q r)
il connettivo è subordinato rispetto al connettivo .
Infatti, la più piccola fbf in cui compare (cioè il campo di
) è (q r), che risulta sottofbf di p(q r), che è la più
piccola fbf in cui compare (campo di , che in questo
caso è l’intera formula).
Proprietà importante delle definizioni
ricorsive/induttive
Se n è un numero naturale, anche il successore di n
è un numero naturale
n non è necessariamente uguale a 0
Se a e b sono fbf, allora anche a , a b , a b ,
a b sono fbf.
a e b non sono necessariamente atomiche
Calcolo logico per la logica enunciativa
Verifica della correttezza di un argomento esprimibile
in logica enunciativa
Date le fbf a1,…, an, b, la forma generale di un
argomento in logica enunciativa sarà
a1,…, an / b
dove
a1,…, an =
premesse
b
=
conclusione
/
=
simbolo di inferenza («quindi»)
Calcolo logico per la logica enunciativa
Calcolo del valore di verità delle premesse, per ogni
possibile assegnazione di valori di verità degli
enunciati atomici che compongono le premesse
Due casi possibili:
1. In tutte le assegnazioni in cui sono vere le premesse è vera
anche la conclusione
argomento corretto
2. Esiste almeno un’assegnazione in cui sono vere le premesse
ma la conclusione è falsa
argomento scorretto
Esempio del caso possibile 1:
p q, q / p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p
V
F
V
V
q)
q
F
V
F
V
/
p)
F
F
V
V
Ogni volta (nel nostro caso una sola volta) che le premesse
risultano entrambe vere, anche la conclusione è vera:
dunque l’argomento è corretto.
Esempio del caso possibile 2:
p q, p / q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p
V
F
V
V
q)
p
F
F
V
V
/
q)
F
V
F
V
Questa volta esiste un caso in cui le premesse risultano
entrambe vere ma la conclusione falsa: dunque l’argomento
è scorretto.
Argomenti e forme condizionali corrispondenti
Dato un qualsiasi argomento
a1,…, an / b,
definiamo forma condizionale corrispondente di questo
argomento la fbf
(a1 … an) b
Si dimostra che
Un argomento è corretto
se e solo se
la sua forma condizionale corrispondente è una tautologia.
Caso possibile 1:
Argomento
p q, q / p
corretto
Forma condizionale
[(p q) q] p
tautologia
Caso possibile 2:
Argomento
p q, p / q
scorretto
Forma condizionale
[(p q) p] q
non-tautologia
