solidi platonici

Viganò Samuele, Marone Davide, Mongelli Alessandro
SOLIDI
PLATONICI
Cos’è un solido platonico?
Si definisce solido platonico o poliedro regolare un qualsiasi poliedro convesso
avente come facce dei poligoni regolari, e avente tutti gli spigoli e gli angoloidi
congruenti tra loro.
I Solidi Platonici devono il loro nome all’ampia
e particolare descrizione che ne fa Platone nel
suo dialogo“Timeo”
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1
Storia
Pitagora: la scoperta del tetraedro, esaedro e dodecaedro è
attribuito a Pitagora e alla sua scuola (VI sec. a.C.)
Teetèto : scoprì l'ottaedro e l'icosaedro.
Euclide: le costruzioni di questi solidi sono contenute
nel Libro XIII degli Elementi di Euclide.
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2
Interpretazioni di Platone
Platone nel Timeo , associò ad ogni poliedro regolare un
elemento
fuoco
terra
aria
acqua
etere/decorativo
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3
Tetraedro
Facce: Triangoli equilateri
N. Facce: 4
N. Vertici: 4
N. Spigoli: 6
N. Facce per vertice: 3
N. Spigoli per vertice: 3
Il tetraedro si può definire anche come simplesso tridimensionale, vale a dire
come il solido tridimensionale col minor numero di vertici.
Esso presenta un angolo diedro di 70° 32'.
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4
Esaedro
Facce: Quadrati
N. Facce: 6
N. Vertici: 8
N. Spigoli: 12
N. Facce per vertice: 3
N. Spigoli per vertice: 3
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5
Ottaedro
Facce: Triangoli equilateri
N. Facce: 8
N. Vertici: 6
N. Spigoli: 12
N. Facce per vertice: 4
N. Spigoli per vertice: 4
In geometria solida, l'ottaedro è un poliedro con otto facce triangolari.
L'ottaedro regolare è uno dei cinque solidi platonici, le cui facce sono
triangoli equilateri. Ha sei vertici e dodici spigoli.
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6
Dodecaedro
Facce: Pentagoni
N. Facce: 12
N. Vertici: 20
N. Spigoli: 30
N. Facce per vertice: 3
N. Spigoli per vertice: 3
Il dodecaedro è uno dei 5 solidi platonici, possiede 12 faccie, le quali
sono dei pentagoni. I vertici sono 20 e gli spigoli sono 30.
Le facce per vertice sono 3 come le facce per gli spigoli.
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7
Icosaedro
Facce: Triangoli equilateri
N. Facce: 20
N. Vertici: 12
N. Spigoli: 30
N. Facce per vertice: 5
N. Spigoli per vertice: 5
In geometria l'icosaèdro è un qualsiasi poliedro con venti facce. Con il
termine icosaedro si intende però generalmente l'icosaedro regolare:
nell'icosaedro regolare, le facce sono triangoli equilateri.
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8
Dualità poliedrale
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9
I cristalli
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10
I poliedri regolari sono 5
Non possono esistere altri solidi platonici oltre ai cinque considerati precedentemente,
per dimostrarlo occorre fare alcune considerazioni:
1
Ad ogni vertice di un poliedro regolare devono convergere almeno tre
facce
2
Tali facce non possono stare sullo stesso piano, quindi la somma delle
ampiezze degli angoli che convergono ad uno stesso vertice deve essere
inferiore a 360°
3
l'ampiezza degli angoli di un poligono regolare aumenta all'aumentare
del numero dei suoi lati
11
Dimostrazione intuitiva
Consideriamo un triangolo equilatero
3• 60 = 180
180<360
4• 60 = 240 240<360
5• 60 = 300 300<360
6 • 60 = 360 impossibile
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12
Dimostrazione intuitiva
Consideriamo
un quadrato
3• 90 = 270
270<360
4 • 90 = 360 impossibile
Consideriamo un pentagono
3• 108 = 324
324<360
4 • 108 = 432 impossibile
Consideriamo un esagono:
3 • 120 = 360 impossibile
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13
Dimostrazione geometrica
È possibile dimostrare che non esistono più di cinque poliedri regolari anche a
partire dalla relazione di Eulero. Specifichiamo prima il significato di alcune
variabili
F= numero di facce
S= numero degli spigoli
V= numero dei vertici
n= numero dei lati di ogni faccia
r= numero di spigoli che si incontrano in ogni vertice
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Dimostrazione geometrica
Relazione di Eulero
nF=2S
rV=2S
2𝑆
𝑛
2𝑆
𝑟
F=
V=
F+V=S+2
V +F – S=2
2𝑆 2𝑆
+
−S=2
𝑟
𝑛
15
Dimostrazione geometrica
2𝑆 2𝑆
+
−S=2
𝑟
𝑛
1
𝑟
1
𝑛
1
2
+ − =
Dividiamo per
2S
1
𝑆
n=3
r=3
1
3
1
𝑟
1
2
+ − =
1
𝑟
1
6
− =
1
𝑆
Tetraedro, ottaedro, icosaedro
1
𝑆
1
3
1
𝑛
1
2
+ − =
1
𝑛
1
6
− =
1
𝑆
1
𝑆
Esaedro, dodecaedro
16
Solidi platonici nell’arte
by: wikipedia.org
by: cultura.biografieonline.it
17
Solidi platonici nell’architettura
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