lezione_06

Dinamica dei sistemi
SISTEMI DI PUNTI
2
Centro di Massa (CM)
• Dati n corpi approssimabili come punti materiali, il CM
è identificato dal seguente vettore :

mi ri


rCM  i
 mi
i
m x

m
i i
xCM
i
i
i
m y

m
i
yCM
i
i
i
m z

m
i i
i
zCM
i
i
i
3
Velocità del CM
• Velocità del CM è la derivata del vettore
che ne individua la posizione

vCM

dri
mi


drCM
dt

 i

dt
 mi
i

 mi vi

P
i

 mi M
i
• La QM di un sistema è uguale alla QM
del CM, considerato come un punto
materiale di massa M e velocita` vCM


P  MvCM
4
Forze interne ed esterne
• Per ogni punto i del sistema diciamo Fi la
forza totale agente sul punto
• Questa è la somma di due termini, uno
dovuto alle forze interne al sistema e uno
dovuto a quelle esterne
 I E
Fi  Fi  Fi
• Sia le forze interne che esterne possono
essere conservative o dissipative
5
Risultante delle forze interne
• La risultante di tutte le forze interne di un sistema e` nulla
I
 Fi  0
i
• Infatti, ad una forza agente sul punto i e dovuta al punto j
I
f ij
• corrisponde la forza uguale e opposta
I
f ji
• La risultante della coppia è zero e quindi la somma delle
risultanti è 0
6
Accelerazione del CM

aCM

dvi
mi


dvCM
dt
i



dt
 mi

 mi ai
i
M
i
• 2a legge della dinamica per il punto i
  I E
mi ai  Fi  Fi  Fi
• e quindi


I E
I E E


MaCM   mi ai   Fi  Fi  F  F  F
i
i
7
Prima equazione della
dinamica dei sistemi

MaCM




 dP
dvi
dpi d
  mi ai   mi

  pi 
dt
dt dt i
dt
i
i
i

MaCM

dP  E

F
dt
• Il CM si muove come un punto materiale in
cui sia concentrata tutta la massa del sistema
e a cui sia applicata la risultante delle forze
esterne
8
Conservazione della QM
• Se il sistema e` isolato, o le forze esterne
hanno risultante nulla (urti)
E
F 0

dP
0
dt

P  const.
• CM si muove di moto rettilineo
uniforme


P
vCM 
M
• Attenzione: la QM dei singoli punti può
cambiare nel tempo, è la loro somma che
rimane costante
9
CM di due corpi puntiformi
M
• Siano M e m le masse
r2
m
• Prendiamo come origine la posizione di uno dei due
corpi (l’1 p.e.) allora rM=0
rCM
MrM  mrm
m


rm
M m
M m
• Quindi il CM giace sulla congiungente dei due punti e
la sua distanza da essi è inversamente proporzionale
alle loro masse
10
CM di due corpi puntiformi
• Introduciamo
  
r  r2  r1
• Allora, i vettori posizione dei due corpi
rispetto al CM si possono scrivere

r1  

r2 
m 
r
M m
1
r1
CM
M 
r
M m
r2
2
11
GRANDEZZE MECCANICHE
DEI SISTEMI
12
Vettori momento
• Il momento di una grandezza vettoriale w
è definito come il prodotto vettoriale
  
m  r w
• Il punto rispetto al quale si pone l’origine
del vettore r è detto polo
• Tale
punto
non
necessariamente
dev’essere fermo
13
Momento angolare
• È il momento del vettore quantita` di moto
del punto materiale:

 
LO  r  p
LO
P
p
O
OP
L  L p  L2T 1M
• Dimensioni fisiche:
2
• Unità di misura:
kg  m / s  N  m  s
14
Momento di forza
• È il momento del vettore forza agente sul punto
materiale:
 
O  r  F

O
J
F
• Dimensioni fisiche:
• Unita` di misura:
P
b
O
“braccio”
   LF   L2T 2 M
kg  m2 / s 2  N  m
15
Momento risultante
• Se la forza complessiva R è la risultante di piu`
forze applicate tutte allo stesso punto
materiale:


   i  
i
i


  
 

r  Fi  r   Fi  r  R
i
• il momento risultante (cioe` la somma dei
momenti di tutte le forze) è uguale al momento
della risultante (cioe` al momento della somma
di tutte le forze)
16
Teorema del momento angolare (o seconda
equazione della dinamica dei sistemi)
• Dato che esiste una relazione tra quantità di moto di un
punto materiale e forza risultante ad essi applicata,
esisterà necessariamente una relazione anche tra i loro
momenti

dLQ


d   dr   dp
 r  p    p  r 
dt
dt
dt
dt
dLQ
p
  p  r  F  0 Q
dt
m
Prodotto di vettori //

dLQ
dt

Q
17
Conservazione del Momento
Angolare
• Se il momento di forza e` nullo (rispetto al
polo scelto) allora il momento angolare si
conserva (rispetto allo stesso polo) e
viceversa

Q  0

dLQ
dt
0

LQ  const .
18

Pendolo semplice con Ly
LO  OP mv

 o  OP mg
z
O
OP   l sin  , l cos  ,0  Dimostrazione
v   vx , v y , 0 
lunga! Si può
fare anche più
brevemente!
OPv  0   sin  vx  cos  vy  0  vy  vx tan 
v  vx 1,  tan  , 0  
v  vx
2
1

tan
   vx

v  l  vx  l

x
P
mg
  sin  2 
1  
   vx
  cos   

vt
piano di
oscillazione
v   vx , v y , 0   l , 0,190

Pendolo semplice con Ly

z
LO  OP mv

OP   l sin  , l cos  , 0 

LO  l sin 
ml
ˆj
l cos 
0
x
P
v   vx , v y , 0   l , 0, 0
iˆ
O
kˆ


mg
vt
piano di
oscillazione

0   l cos  ml kˆ   ml 2 kˆ
0
20
Pendolo semplice con Ly

z
 O  OP mg
O
OP   l sin  , l cos  , 0 

P
g   0,  g , 0 
mg
iˆ
 O  l sin 
0
x
ˆj
l cos 
 mg
vt
piano di
oscillazione
kˆ
0   mgl sin   kˆ   mgl  kˆ
0
21
Pendolo semplice con L
y
z
dLQ

O

d
2
2 ˆ
ˆ

ml  k  ml  k
dt
dt
ˆ
 Q   mgl  k

x
P
mg
vt
g
g
ml   lmg sin      sin    
l
l
piano di
oscillazione
2
22
Leggi di Keplero con L

M S MT
d LO
  O  r  Fg (r )  r   G
2

dt
r

TS 


r  0


• Il moto avviene sempre sullo stesso piano
LO
O
piano del moto
r
P
direzione costante
p=mv
23
Leggi di Keplero con L
dA(t)
O
ds
r ( t+dt )
r(t)
ds sinj
1
dA(t )  r (t )ds sin j (t )
2
j
dA(t ) 1
ds
1
 r (t ) sin j (t )  r (t )v(t ) sin j (t )
dt
2
dt
2
LO  r (t )mv(t ) sin j (t )
dA(t ) LO

k
dt
2m
24
APPROFONDIMENTI
25
Centro di massa in un corpo
continuo
• Riprendiamo la definizione di CM

rCM 

m
r
 ii
i
m
i
i
• Per un corpo con distribuzione continua
di materia


rCM 
 r dm
1

 dm M
corpo

 r dm
corpo
corpo
26
Centro di massa in un corpo
continuo
• Ove abbiamo indicato con M la massa totale
del corpo M   dm
corpo
• Le masse infinitesime sono contenute in
volumi infinitesimi dm   dV
• Se la densità è uniforme, gli integrali si
riducono a integrali puramente geometrici

rCM 

r
 dm
corpo
 dm
corpo


r
 dV
corpo
 dV
corpo

r
 dV


corpo

 dV
corpo


r
 dV
corpo
 dV

1 
r dV

V corpo
corpo
27
TEOREMI DEI SISTEMI A PIÙ
PARTICELLE
28
Momento angolare sistemi a più
particelle
• Abbiamo visto nel caso di un solo punto
materiale, che, se il polo è fisso e il sistema di
riferimento e` inerziale, il teorema del
momento angolare e`

dLO 
O
dt
29
Teorema del momento angolare
• Generalizziamo questo teorema al caso di un
sistema di piu` particelle e polo fisso
• Deriviamo rispetto al tempo l’espressione:

 
LO   ri  pi
i
• Otteniamo


 

 dp
dLO d
dr
  ri  pi   i  mi vi   ri  i 
dt
dt i
dt
i dt
i


 

  vi  mi vi   ri  Fi  0   O
i
• Cioè vale ancora
i


dLO
O
dt
30
Cambiamento di polo
• Cambiando polo il momento angolare
diviene

'   
       
LQ  r  p  r  rQ  p  r  p  rQ  p  LO  rQ  p
• Il valore del momento dipende dunque
dal polo scelto
p
r
O
r’
Q
rQ
31
Teorema del momento angolare
• Generalizziamo ora al caso di un sistema di piu`
particelle e di un polo mobile
• Deriviamo rispetto al tempo l’equazione che lega il
MA calcolato rispetto ad un polo fisso O e un polo
mobile Q
• Otteniamo

dLQ

  
LQ  LO  rQ  P



dLO d    drQ   dP


rQ  P   O 
 P  rQ 

dt
dt dt
dt
dt
    
  
 
  O  vQ  P  rQ  F   O  rQ  F  vQ  P




32
Teorema del momento angolare
• Ricordando che l’espressione tra parentesi è
il momento rispetto al polo mobile Q,

otteniamo
dLQ   
  Q  vQ  P
dt
• Espressione che differisce per la presenza
del secondo termine da quella trovata per il
polo fisso
• Ovviamente si ritrova quella equazione se
anche Q è fisso: in tal caso il secondo
33
termine è nullo
Teorema del momento angolare
• Esistono però altri casi in cui le equazioni per
il polo mobile e per il polo fisso sono uguali
• Il caso più importante è quello in cui il polo
coincide con il CM del sistema, in tal caso



dLCM 
  CM  vCM  P
dt
• E poiché vCM e P sono proporzionali, segue

dLCM 
  CM
dt
34
Teorema del momento angolare
• Quando il polo coincide con il punto di contatto C
tra una ruota che si muove (slittando o rotolando)
e una superficie di appoggio

dLC   
  C  vC  P
P
dt
• Poiché vC e P sono paralleli, segue

dLC 
C
dt
C
vC
35
Teorema del momento angolare
• Abbiamo generalizzato il teorema del momento
angolare: la derivata del momento angolare è
uguale al momento delle forze (esterne) se
come polo usiamo
– un punto fisso in un sistema inerziale
– oppure il CM del sistema (indipendentemente
dal fatto che questo sia fisso o sia mobile e
qualunque sia il suo moto)

dLCM 
  CM
dt
36
Approfondimento
TEOREMI DI KOENIG E
SULL’ENERGIA DEI SISTEMI DI
PARTICELLE
37
Caratteristiche del sistema di riferimento del
CM
• Ha origine nel CM
• Gli assi sono sempre paralleli agli assi di un
sistema inerziale
• In generale non e` inerziale
• La posizione di un punto è:
pi
*  
ri  ri  rCM
• Derivando questa relazione
troviamo la velocita`
*  
vi  vi  vCM
CM
r
i
*
Ai
ri
O
rCM
38
Sistema di riferimento del CM
• La posizione e la velocita` del CM nel SCM sono,
ovviamente,
*


*


rCM  rCM  rCM  0 vCM  vCM  vCM  0
• Ricordando la definizione di CM, valida in ogni
SdR, abbiamo anche
*
*
m
r

M
r
 ii
CM  0
*
*
m
v

M
v
 ii
CM  0
i
• Lai seconda equazione stabilisce
che la QM totale
del sistema e` nulla se misurata nel SCM
*
*
P  MvCM  0
39
Teoremi di Koenig
• 1o teorema: fornisce una relazione tra il
valore del momento angolare in un sistema
inerziale e nel sistema del CM
• 2o teorema: fornisce una relazione tra il
valore dell’energia cinetica in un sistema
inerziale e nel sistema del CM
40
1o teorema di Koenig
• Confrontiamo L calcolato
– nel SCM con polo nel CM
– nel SdR inerziale con polo nell’origine O
pi
CM
r
i
*
Ai
ri
O
*
*
*
 
 
LCM    ri  mi vi   ri  rCM  mi vi  vCM  
i
rCM
i








  ri  mi vi   rCM  mi vi   ri  mi vCM   rCM  mi vCM 
i
i
i
i


 
 


 LO   rCM   mi vi    mi ri   vCM  rCM  MvCM
i
 i

41
1o teorema di Koenig
• Il 2o e 4o termine sono uguali e opposti; il 3o
termine e` il MA del CM nel SdR inerziale
*








LCM   LO   MrCM  vCM  LO   rCM  MvCM  LO   LO CM
• La relazione puo` essere letta anche


*
LO   LO CM  LCM 
• L di un corpo in un SdR inerziale è uguale a
Ldel sistema rispetto al CM, calcolato nel SCM
più L del CM nel sistema inerziale
42
2o teorema di Koenig
• Calcoliamo ora l’energia cinetica
2
 
1  *2
1
*
K   mi vi   mi vi  vCM  
i 2
i 2
 
1 2
1 2
  mi vi   mi vi  vCM   mi vCM 
i 2
i
i 2
 
1

2
 K    mi vi   vCM    mi vCM 
2 i
 i




1 2
1 2
 K  MvCM  vCM  MvCM  K  MvCM
2
2
43
2o teorema di Koenig
• il 2o termine è l’energia cinetica del CM nel
SdR inerziale
K  K  K CM
*
• La relazione può essere letta anche
K  K CM  K *
• L’energia cinetica di un corpo in un SdR
inerziale e` uguale all’ EC del sistema calcolata
nel SCM, piu` l’EC del CM nel sistema inerziale
44
Teoremi sull’energia
Teorema di conservazione dell’energia meccanica E
per un corpo esteso
K  U   E  0
Forze
conservative
K  U   E  Wnc
Forze non
conservative
45