Lezione 7
Dinamica dei sistemi di punti
materiali
Argomenti della lezione
Forze interne ed esterne
Definizione di centro di massa (posizione,
velocità,accelerazione)
Momento angolare
Momento angolare di un sistema di punti materiali
Teorema di Konig del momento angolare
Teorema di Konig per l energia cinetica
Teorema dell energia cinetica
Forze interne ed esterne
Consideriamo n punti materiali:
y
O
Le forze interne sono quelle
scambiate dai punti.
F j ,i
ri
m1 , m2 ,.........mi , m j ,.........mn
Fi, j
rj
x
Per il principio di Azione/Reazione
Fi , j = F j ,i
Le forze esterne sono quelle che agiscono
sul sistema per via di fattori esterni al
sistema, si possono indicare come
(e)
Fi , F j
(e)
Forze interne ed esterne
Consideriamo n punti materiali:
y
Sommando vettorialmente le forze
interne ed esterne si ottiene:
Fi, j
F j,i
ri
rj
O
x
O'
m1 , m2 ,.........mi , m j ,.........mn
∑ Fi, j = 0
i, j
(e)
∑ Fi = R
i
(e)
Forze interne ed esterne
m1 , m2 ,.........mi , m j ,.........mn
Consideriamo n punti materiali:
Le relative posizioni:
r1 , r2 ,.........ri , r j ,.........rn
Le relative velocità:
v1 , v 2 ,.........v i , v j ,.........v n
Le relative accelerazioni:
a1 , a 2 ,.........ai , a j ,.........a n
vi
y
ri
O
vj
rj
x
aj =
Fj
mj
Forze interne ed esterne
In riferimento a quanto abbiamo appena visto su un sistema
completo avremo:
ri
O
∑ mi v i = P = ∑ pi
vi
y
i
i
vj
rj
x
1
2
∑ mi v i = Ecin
i 2
Centro di massa
Definiamo il centro di massa di un sistema di punti materiali la
seguente grandezza:
vi
y
ri
rCM =
vj
∑ mi ri
i
∑ mi
i
rj
O
Studiamone la variazione col
tempo:
x
∑ mi v i
drCM
P
i
= v CM =
=
dt
∑ mi ∑ mi
i
i
P = ∑ mi v CM
i
Centro di massa
Proseguendo a derivare la velocità rispetto al tempo:
vi
y
∑ mi ai
vj
ri
dv CM
= aCM = i
= i
dt
∑ mi ∑ mi
i
rj
O
∑ Fi
i
∑ Fi = ∑ mi a CM
i
i
x
Ma le forze agenti su un singolo punto materiale sono sia quelle
interne che esterne, ossia
(e)
∑ Fi = ∑ Fi , j + ∑ Fi = 0 + R
i
i, j
i
(e)
= ∑ mi a CM
i
Centro di massa
vi
y
vj
ri
rj
O
R
=
Notiamo che se:
∑
i
R
=
∑
i
mi a CM = Ma CM
Il centro di massa si sposta come un
punto materiale in cui è concentrata
tutta la massa del sistema su cui
agisce la risultante delle forze
esterne.
x
(e)
R
(e)
mi a CM =
( e)
=0
∑
i
dv CM
dP
mi
=
dt
dt
dP
=0
dt
P = cost
CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA DI MOTO
Momento angolare
Si definisce momento angolare la seguente grandezza:
L = r × p = r × mv
L
v
L = rp sin ϑ
E una grandezza vettoriale,
per definirne il verso:
c
c = a×b
r
b
a
Regola mano sx b direzione indice, a
direzione medio, pollice vettore
risultante
Momento della forza
Si definisce momento della forza la seguente grandezza:
M = r×F
M
M = rF sin ϑ
E una grandezza vettoriale,
per definirne il verso:
r
F
c
c = a×b
b
a
Regola mano sx b direzione indice, a
direzione medio, pollice vettore
risultante
Teorema del momento angolare
Calcoliamo la variazione nel tempo del momento angolare:
L
O
v
r
dL d
dr
dv
= r × mv = × mv + r × m
=
dt dt
dt
dt
= v × mv + r × ma = r × F = M
La derivata temporale del momento angolare è uguale al momento
della forza se entrambi i momenti sono riferiti allo stesso polo di un
sistema fisso.
Se la forza è nulla o
Conservazione del
forza e vettore
momento angolare
posizione sono paralleli
dL
= 0 ⇒ L = costante
dt
vi
y
ri
O
Centro di massa
Momento angolare
Ragionamenti analoghi possono
essere fatti per il momento angolare
di un singolo punto e del centro di
massa.
vj
rj
Li = ri × mi v i
x
∑r × m v = ∑L
i
i i
i
i
=L
i
Anche in questo caso possiamo vederne il comportamento al
variare del tempo:
dL d
=
dt dt
∑
i
d
Li =
dt
∑r × m v
i
i
i i
Centro di massa
Momento angolare
Proseguendo coi calcoli.
dL d
d
= ∑ Li = ∑ ri × mi v i =
dt dt i
dt i
dri
dv i
=∑
× mi v i + ∑ ri × mi
=
dt
i dt
i
= ∑ vi × mi vi + ∑ ri × mi ai = ∑ ri × Fi =
i
i
= ∑ ri × Fi
i
dL
=
dt
∑r × F
i
i
i
(e)
=M
(e)
i
(e)
+ ∑ ri × Fi , j
i, j
Momento totale delle
forze esterne
Centro di massa
Momento angolare
E se l origine si muove con una certa velocità?
dri d OPi
=
= vi − vo
dt
dt
dL
= M ( e ) − v o × ∑ mi v i
dt
i
dL
= M ( e ) − v o × v CM ∑ mi
dt
i
Teorema del momento
angolare per un sistema
di punti
Se l origine è fissa o
coincide con il centro di
massa del sistema:
dL
= M (e)
dt
Punti e sistemi
Quantità di moto
2° principio
dinamica
PUNTO
P = mv
dP
∑ Fest = dt
SISTEMA
P = MVCdM
d (MVCdM )
dM
dV
F
=
=
V
+
∑ est
dt
dt
dt M
d (MVCdM )
M cost ⇒ ∑ Fest = dt = MaCdM
Se la somma delle forze esterne è NULLA, si ha
P = kost Cons. Q.d.M.
Centro di massa
Momento angolare
Se l origine è fissa o coincide con il centro di massa del sistema:
dL
= M (e)
dt
se
M (e) = 0
dL
=0
dt
Il momento angolare si conserva!
Sistema di riferimento del Centro di massa
y'
i
y
r'
r
O
CM
x'
x
1) Moto del centro di
massa dovuto a forze
esterne
2) Moto di spostamento dei
punti intorno al centro di massa
dovuto al momento delle forze
esterne
Se consideriamo il centro di
massa e lo prendiamo come
origine di un sistema di riferimento
cartesiano con assi ad
orientazione fissa rispetto ad un
sistema Oxy fisso, il moto del
sistema di punti materiali può
essere descritto come:
R
(e)
M CM
=
(e)
∑
i
mi a CM = Ma CM
dLCM
d
=
= ∑ (rCM ,i × mi v i )
dt
i dt
Teorema di Konig del momento angolare
Calcoliamo il momento totale rispetto ad O.
y'
i
y
L0 =
Ma
x'
x
L0 =
∑ (r
CM
i i
ri = rCM + ri'
v = v + v'
CM
i
i
CM
O
i
i
r'
r
∑r × m v
)
+ ri' × mi (v CM + v'i ) =
i
= rCM ×
∑
mi v CM + rCM ×
i
= rCM ×
∑
i
∑
i
mi v CM +
∑
i
mi v'i +
∑
mi ri' × v CM +
i
mi ri' × v'i = LCM + L'
∑
i
mi ri' × v'i =
Teorema di Konig per energia cinetica
ri = rCM + ri'
v = v + v'
CM
i
i
Consideriamo sempre il caso precedente e
vediamo cosa capita per l energia cinetica.
Ecin =
∑
i
=
∑
i
1
mi v i 2 =
2
1
mi v CM 2 +
2
1
= M tot v CM 2 +
2
∑
i
∑
i
∑
i
1
mi (v CM + v'i )2 =
2
1
mi v'i 2 +
2
1
mi v'i 2
2
∑m v
i CM v 'i
i
=
Teorema dell energia cinetica
Consideriamo sempre il caso precedente e vediamo cosa capita per
l energia cinetica.
( e)
dWi = Fi dri = Fi dri
Il termine
dWi(int)
(int)
+ Fi dri
= dWi
( e)
+ dWi
(int)
è formato da termini del tipo
(
)
Fi, j dr j + F j ,i dri = Fi, j dr j − dri = Fi, j dri, j
che sono associati a cambiamenti delle distanze relative dei punti
Teorema dell energia cinetica
dv i
dWi = Fi dri = mi
dri = mi v i dv i
dt
W=
∑
i
1
mi vi , B 2 −
2
∑
i
1
mi vi , A 2
2
Considerando tutte le forze ho per l intero sistema
Ek , A + E p, A = Ek , B + E p, B = cost
e nel caso di forze non conservative
(
) (
Lnc = Ek , B + E p, B − Ek , A + E p, A
)
Punti e sistemi
Quantità di moto
2° principio
dinamica
PUNTO
P = mv
dP
∑ Fest = dt
SISTEMA
!
!
P = MVCM
!
!
!
d ( MVCM )
d
V
! Fest = dt = dMdt VCM + dtCM M
!
!
!
d ( MVCM )
M cost " ! Fest = dt = MaCM
Se la somma delle forze esterne è NULLA, si ha
!
P = cost
Teorema dell’Impulso
Relazione tra variazione della quantità di moto e forza con il
fattore TEMPO
tf
Pf − Pi = ΔP = J = ∫ F (t )dt
ti
Posso ottenere lo stesso effetto in 2 modi:
Bassa intensità per tempo lungo
Alta intensità per breve tempo (FORZA IMPULSIVA)
F
t
Urti
PERFETTAMENTE ELASTICI
Si conserva la quantità di moto
Si conserva l’energia
PERFETTAMENTE ANELASTICI
La massima parte dell’energia cinetica totale finisce in calore
La quantità di moto si conserva
REALI
La quantità di moto si conserva
Parte dell’energia cinetica finisce in calore
Esempi di urti
