CIRCONFERENZA (Definizioni e teoremi)
La circonferenza è il luogo dei punti di un piano che hanno distanza assegnata da un punto dato. Il
punto dato si chiama centro e la distanza assegnata è il raggio della circonferenza. Tutti i raggi di
una circonferenza sono congruenti fra loro.
Se il raggio è maggiore di 0 la circonferenza è reale. Se il raggio è uguale a 0 la circonferenza
degenera in un punto. Se il raggio è minore di 0 la circonferenza è immaginaria.
Ogni segmento passante per il centro di una circonferenza e avente gli estremi sulla circonferenza si
chiama diametro. La figura costituita da tutti i punti di una circonferenza e dai suoi punti interni si
chiama cerchio, e la circonferenza ne è il contorno.
Si definisce arco una parte di circonferenza delimitata da due suoi punti detti estremi dell’arco. Il
centro e il raggio della circonferenza a cui appartiene un arco si dicono centro e raggio dell’arco.
Il segmento che unisce due punti qualunque della circonferenza si chiama corda. Si chiama angolo
al centro di una circonferenza ogni angolo avente il vertice nel centro. La parte di piano racchiusa
da un arco di circonferenza e dai due raggi che passano per i suoi estremi si chiama settore
circolare.
La parte di piano compresa tra un arco e la rispettiva corda si chiama segmento di cerchio o settore
circolare ad una base. La parte di cerchio compresa tra due corde parallele è detta segmento
circolare a due basi.
Si chiama quadrante circolare un settore circolare il cui angolo al centro è retto. In una stessa
circonferenza (o in circonferenze congruenti) ad archi congruenti corrispondono angoli al centro
congruenti e ;viceversa; se due angoli al centro di una stessa circonferenza (o di 2 circonferenze
congruenti) sono congruenti; lo sono pure gli archi su cui insistono. Ogni diametro divide la
circonferenza e il cerchio in due parti congruenti poiché gli angoli al centro entrambi piatti sono
congruenti.
Ciascun arco in cui una circonferenza è divisa da un suo diametro di dice semicirconferenza.
Ciascuna delle due parti di piano in cui un cerchio viene diviso da un diametro si chiama
semicerchio. La bisettrice di un angolo al centro biseca l’arco corrispondente.
In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) ad archi disuguali corrispondono angoli
al centro disuguali e precisamente all’arco maggiore corrisponde l’angolo al centro maggiore e
viceversa. Si chiama arco nullo l’arco corrispondente ad un angolo al centro nullo.
Si definisce somma di due o più archi di una stessa circonferenza l’arco che ha per angolo al centro
la somma degli angoli al centro corrispondenti agli archi dati. Due archi di una circonferenza si
dicono esplementari se la loro somma è la circonferenza stessa.
In ogni circonferenza il diametro è maggiore di qualsiasi altra corda. La retta passante per il centro
di una circonferenza e perpendicolare ad una corda dimezza la corda, l’angolo al centro e l’arco
corrispondente. La retta passante per il centro di una circonferenza e per il punto di mezzo di una
corda è perpendicolare alla corda stessa (e perciò, per il teorema precedente, biseca l’angolo al
centro e l’arco corrispondenti).
In una circonferenza l’asse di una corda passa per il centro. Il centro di una circonferenza è il suo
centro di simmetria. Ogni retta passante per il centro è asse di simmetria per la circonferenza stessa.
Per tre punti in linea retta non può passare una circonferenza. Una retta e una circonferenza non
possono avere più di due punti in comune. Per tre punti non allineati passa una ed una sola
circonferenza.
In una stessa circonferenza(o in circonferenze congruenti) le corde che sottendono archi congruenti
sono congruenti. In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) corde congruenti sono
ugualmente distanti dal centro e viceversa. In una stessa circonferenza (o in circonferenze
congruenti) due corde disuguali distano diversamente dal centro e più precisamente quella maggiore
ha dal centro distanza minore; viceversa due corde aventi dal centro distanze disuguali sono
disuguali e la maggiore è quella che ha dal centro la distanza minore.
Si definisce angolo alla circonferenza un angolo convesso avente il vertice sulla circonferenza e i
due lati secanti la circonferenza stessa , oppure un lato secante e l’altro tangente. Dato un angolo
alla circonferenza si dice angolo al centro corrispondente, l’angolo avente il vertice nel centro della
circonferenza e che insiste sullo stesso arco. Ogni angolo alla circonferenza è la metà del
corrispondente angolo al centro. Ogni angolo inscritto in una semicirconferenza è retto.
In una stessa circonferenza gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi
congruenti, sono congruenti. Un arco si dice capace di un dato angolo,quando gli angoli in esso
iscritti sono congruenti a quello dato. Il luogo geometrico dei punti di un piano, da cui si vede un
segmento sotto un angolo dato, è la coppia di archi di circonferenza che uniscono gli estremi del
segmento e sono capaci dell’angolo dato.
I segmenti di tangente condotti da un punto esterno ad una circonferenza e compresi tra tale punto e
quelli di contatto ,sono congruenti. La semiretta che congiunge il punto da cui escono le tangenti
con il centro della circonferenza è bisettrice sia dell’angolo delle tangenti sia di quello formato dai
raggi che vanno ai punti di contatto ed è anche asse del segmento che unisce i punti di contatto.
Un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando i suoi vertici stanno sulla circonferenza
stessa, di conseguenza la circonferenza si dice circoscritta al poligono. Un poligono si dice
circoscritto ad una circonferenza quando i suoi lati sono tangenti alla circonferenza che a sua volta
si dice inscritta al poligono.
In una circonferenza, due corde parallele intercettano archi congruenti i cui estremi sono i vertici di
un trapezio isoscele. Due circonferenze congruenti hanno raggi congruenti. Due circonferenze (o
due archi) che hanno lo stesso centro si dicono concentriche. Dati due cerchi concentrici e disuguali
si dice corona circolare l’insieme dei punti del cerchio di raggio maggiore che non sono interni al
cerchio al raggio minore.
Qualunque retta tangente alla circonferenza in un suo punto forma una angolo di 90° con il raggio
che parte dal centro e arriva nel punto di tangenza. Date due corde che si intersecano in un punto il
prodotto dei due segmenti in cui ciascuna viene divisa rimane costante. Condotte due secanti da un
punto esterno ad una circonferenza il prodotto tra la secante intera e la sua parte esterna rimane
costante. Condotte da un punto esterno ad una circonferenza una secante ed una tangente il prodotto
tra l’intera secante e la sua parte esterna è uguale al quadrato della tangente.
Angoli alla circonferenza congruenti insistono su corde congruenti e viceversa (cioè: se sono
congruenti gli angoli, allora sono congruenti anche le corde e viceversa). Il diametro perpendicolare
a una corda la biseca; viceversa, il diametro che biseca una corda è ad essa perpendicolare.
Il cerchio è equivalente ad un triangolo che ha per base la lunghezza della circonferenza e per
altezza il raggio. Il cerchio è approssimativamente equivalente a 1/14 di un quadrato che ha come
lato il diametro del cerchio. La lunghezza della circonferenza è compresa tra 3+1/7 e 3+10/71 volte
il diametro. Tra tutte le figure piane aventi lo stesso perimetro il cerchio ha l’area massima; tra tutte
le figure piane aventi la stessa area, il cerchio ha perimetro minimo.
I punti di una corda salvo gli estremi, sono interni alla circonferenza; e i punti dei prolungamenti
della corda sono esterni. Si dice corda sottesa ad un arco la corda che ha per estremi gli estremi
dell’arco. Si dice settore circolare una parte di cerchio delimitata da un arco e dai due raggi condotti
per gli estremi dell’arco. Due settori circolari sono uguali se hanno angoli al centro o archi uguali.
Un segmento (o un arco) che ha per estremi un punto interno e uno esterno alla circonferenza,
incontra la circonferenza in un solo punto. Se una retta passa per un punto interno alla
circonferenza, la incontra in due punti. Ogni retta che ha con una circonferenza un solo punto in
comune è detta tangente alla circonferenza in quel punto chiamato punto di contatto o di tangenza.
Se una retta è tangente ad una circonferenza la sua distanza dal centro è uguale al raggio. Ogni retta
che ha con una circonferenza due punti in comune si dice secante. Se una retta è secante la
circonferenza la sua distanza dal centro è minore del raggio. Condotte da un punto esterno ad una
circonferenza due secanti e considerati su ciascuna di esse i due segmenti aventi un estremo nel
punto dato e l’altro in una delle due intersezioni con la circonferenza, i segmenti di una secante
sono i medi e i segmenti dell’altra sono gli estremi di una stessa proporzione.
Ogni retta che non ha punti in comune con una circonferenza si dice esterna. Se una retta è esterna
ad una circonferenza, la sua distanza dal centro è maggiore del raggio. Due circonferenze con due
punti in comune si dicono secanti. In due circonferenze secanti i punti in comune sono simmetrici
rispetto alla retta dei centri. Se due circonferenze sono secanti la distanza dei centri è minore della
somma dei raggi e maggiore della loro differenza.
Due circonferenze con un solo punto comune si dicono tangenti: se i centri si trovano da parti
opposte le circonferenze sono tangenti esternamente, se si trovano dalla stessa parte sono tangenti
internamente. Se due circonferenze sono tangenti esternamente la distanza dei centri è uguale alla
somma dei raggi; se invece sono tangenti internamente la distanza è uguale alla differenza dei raggi.
Se due circonferenze non hanno punti in comune si dicono esterne. Se due circonferenze sono
esterne, la distanza dei loro centri è maggiore della somma dei raggi. Da un punto interno ad una
circonferenza non si possono condurre tangenti alla circonferenza stessa. Da un punto appartenente
ad una circonferenza si può condurre una sola tangente alla circonferenza stessa.
Da un punto esterno ad una circonferenza si possono condurre due tangenti. Se una circonferenza è
tangente a due rette il suo centro appartiene alla bisettrice delle due tangenti. Si dice asse radicale la
retta passante per i punti comuni di due circonferenze. Due circonferenze esterne hanno quattro
tangenti comuni. Due circonferenze tangenti esternamente hanno tre tangenti comuni e quella
passante per il punto di tangenza è anche l’asse radicale.
Due circonferenze secanti hanno due tangenti comuni. Due circonferenze tangenti internamente
hanno una sola tangente in comune che coincide con l’asse radicale. Due circonferenze tangenti
internamente non hanno tangenti comuni.
