Gruppo di lavoro
FRANCESCO SGARAMELLA
MARIO SCARPINO
MODULO N.1
GLI INSIEMI NUMERICI FONDAMENTALI
U.D. N.1 :NUMERI NATURALI
U.D. N.2 NUMERI INTERI RELATIVI
U.D. N.3 NUMERI RAZIONALI
U.D. N.4 NUMERI REALI
U.D. N.5 NUMERI COMPLESSI
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Fondo giallo: Teoria
Fondo azzurro: Esempi e dimostrazioni
Scritte rosse: Definizioni importanti
01/12/02
Elaborazione: proff.: Francesco
Sgaramella , Mario Scarpino
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MODULO N.1
GLI INSIEMI NUMERICI
FONDAMENTALI
U.D. N.1 :NUMERI NATURALI
U.D. N.2 NUMERI INTERI RELATIVI
U.D. N.3 NUMERI RAZIONALI
U.D. N.4 NUMERI REALI
U.D. N.5 NUMERI COMPLESSI
INFORMAZIONI
01/12/02
Elaborazione: proff.: Francesco
Sgaramella , Mario Scarpino
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UNITA DIDATTICA N.1
Operazioni in N
I NUMERI NATURALI - 1
Definizioni
Dati due insiemi A e B, contenenti l’uno leoni e l’altro alberi , essi si dicono
Equipotenti se si possono associare i loro elementi in modo che a un
elemento di uno di essi corrisponda uno ed un solo elemento dell’altro.
I due insiemi si dicono in corrispondenza biunivoca. In tal caso cio’ che
hanno in comune i due insiemi e’ un “quid” chiamato Numero Naturale
Cardinale . Cosi’, estendendo l’esempio si possono generare tutti i numeri
naturali e si ottiene l’insieme dei NUMERI NATURALI
N = [ 0, 1, 2, 3, ….n,….]
N = [ 1, 2, 3, ……n, …. ]
01/12/02
Elaborazione: proff.: Francesco
Sgaramella , Mario Scarpino
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UNITA DIDATTICA N.1
I NUMERI
Definizioni naturali
NATURALI - 2
Operazioni in N
Operazioni binarie e interne: eseguendo le operazioni di Addizione ,
Moltiplicazione ed Elevamento a potenza tra due numeri Naturali si
ottiene sempre un numero naturale, eseguendo invece l’operazione di
Differenza : a - b , se a<b , oppure eseguendo l’operazione di Divisione
a: b , se a non è multiplo di b si nota che tali operazioni sono impossibili,
in quanto il risultato non è un numero naturale . Per tale motivo è
necessario inventare nuovi numeri, cioè procedere all’ampliamento di N ,
vale a dire gli insiemi :
Z= INTERI RELATIVI
e
Q= RAZIONALI
L’addizione e la moltiplicazione godono delle proprietà formali :
Associativa, Commutativa e distributiva
L’elevamento a potenza si definisce come segue:
1) a 1; a elevato n a * a * a * a * ...... * a n volte
2) a elevato m a elevato n a elevato ( m n)
3) a elevato m : a elevato n a elevato (m - n)
4) (a elevato m) elevato n a elevato ( m * n)
01/12/02
Elaborazione: proff.: Francesco
Sgaramella , Mario Scarpino
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UNITA DIDATTICA N.2
I NUMERI INTERI RELATIVI Definizioni e Operazioni in Z
Numeri naturali
Numeri razionali
numeri reali
numeri complessi
Operazioni binarie e interne: eseguendo le operazioni di Addizione ,
Sottrazione, Moltiplicazione tra due numeri relativi si ottiene sempre un
numero relativo, mentre eseguendo l’operazione di Divisione a: b , se a
non è multiplo di b si nota che tali operazioni sono impossibili in Z , in
quanto il risultato non è un numero relativo . Per tale motivo è necessario
inventare nuovi numeri, cioè procedere all’ampliamento di N , vale a dire
l’insieme : Z= INTERI RELATIVI
L’addizione e la moltiplicazione godono delle proprietà formali :
Associativa, Commutativa e distributiva
L’elevamento a potenza si definisce come segue:
1) a 1; a elevato n a * a * a * a * ...... * a n volte
2) a elevato m a elevato n a elevato ( m n)
3) a elevato m : a elevato n a elevato (m - n)
4) (a elevato m) elevato n a elevato ( m * n)
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Sgaramella , Mario Scarpino
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UNITA DIDATTICA N .3
NUMERI RAZIONALI - 1
Definizioni e operazioni
Numeri naturali
Numeri razionali
numeri reali
numeri complessi
L’operazione di divisione, la risoluzione di un problema elementare come quello di
trovare un numero che moltiplicato per un altro dia come risultato un numero dato(
a * x = b), il problema della misura di un segmento con un altro segmento scelto
come unita di misura( il rapporto di due numeri , salvo eccezioni , non appartiene a
Z) non sono possibili in N , né in Z; è necessario inventare nuovi numeri.
L’insieme dei numeri razionali , Q , è costituito dalla infinite frazioni ottenute
dividendo un numero relativo a per un numero relativo b , con b diverso da 0.
Le quattro operazioni sono interne all’insieme Q , mentre addizione e
moltiplicazione godono delle proprietà associativa, commutativa e distributiva.
Ogni numero razionale si può scrivere sotto forma di numero decimale , cioè come
numero con la virgola del sistema di numerazione a base 10.
Esempi: numero decimale limitato: 0,28 = 28/100 = 7/25
numero decimale illimitato periodico: 5,(65) = 565 - 5/ 99
numero decimale illimitato periodico misto: 5,2(64) = 5264 -52/990
01/12/02
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Numeri naturali
Numeri razionali
numeri reali
UNITA DIDATTICA N .3 NUMERI
RAZIONALI - 2
Ordinamento e retta razionale
numeri complessi
Dati due numeri razionali è sempre possibile definire il maggiore tra essi :
a/b < =p/q se e solo se a*q <= b*p
In tal modo si può ordinare l’insieme Q in base alla relazione < o > e quindi ad ogni
numero razionale ( che può rappresentare infinite frazioni) , scelta una unità di
misura u, si può far corrispondere un punto P di una retta orientata , a partire da P,
tale che OP = a/b *u .: Tale retta si chiama RETTA RAZIONALE.
Ad ogni numero razionale corrisponde un solo punto della retta, ma non vale il
contrario , in quanto ci sono punti della retta a cui non corrisponde alcun numero
razionale: ciò significa che i relativi insiemi non sono equipotenti.
Individuazione del punto corrispondente ad un numero razionale: es. 3/5 . Scelta
l’unità di misura si divide in 5 parti e se ne prendono 3.
-3
-2
-1
0
1
2
3
L’insieme q è denso, perché fissati due numeri
ne esiste sempre un terzo compreso tra essi : uno è la media aritmetica: (
a/b +p/q)/2
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UNITA DIDATTICA N .4
NUMERI REALI - 1
Ampliamento dell’insieme Q
Numeri naturali
Numeri razionali
numeri reali
numeri complessi
L’equazione x elevato 2 = p/q con p/q razionale qualsiasi è impossibile in Q tutte le
volte che p/q non è un quadrato perfetto.
Es . X^2 = 2
Se la soluzione fosse razionale a/b si avrebbe a^2/b^2 =2 impossibile
Segmenti commensurabili: due seg. sono comm. se il rapporto è razionale p/q= 4/7
in tal caso AB =4/7 CD =4 ( 1/7 CD) ammettono un sottomultiplo comune (1 /7CD)
Ci sono segmenti non commensurabili , che non ammettono sottomultipli comuni , e
il cui rapporto quindi non è un numero razionale:
Esempio : lato l e diagonale del quadrato: d = Radice 2 x l e d/l = radice 2 non
razionale e non ammettono sottomultiplo comune..
Tutte le coppie di segmenti con rapporto uguale alla radice di numeri non quadrati
perfetti sono incommensurabili.
Si chiama numero irrazionale ogni numero che non sia possibile esprimere sotto
forma di frazione .
01/12/02
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Numeri naturali
Numeri razionali
numeri reali
UNITA DIDATTICA N .4
NUMERI REALI - 1
Numeri irrazionali e numeri reali
Se calcoliamo
2
numeri complessi
1,414 21356
I valori approssima ti rispettiva mente per difetto ed eccesso sono riportati sotto
C d 1, 1,4, 1,41, 1,414, ....
C e 2, 1,5, 1,42, 1,415,.....
Tali due classi sono separate e il numero irrazional e
separatore delle due classi contigue di numeri razionali
2
e' l' elemento
per eccesso e
per difetto.
Si chiama insieme dei numeri reali , l’insieme costituito dall’unione dell’insieme dei
numeri razionali Q e dell’insieme dei numeri irrazionali J
R
Q
J
Postulato della continuità della retta. Ad ogni numero reale corrisponde un punto della
retta e viceversa. I punti della retta e i numeri reali sono insiemi equipotenti
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Numeri naturali
Numeri razionali
numeri reali
UNITA DIDATTICA N .4
NUMERI REALI - 1
Operazioni con i numeri reali
numeri complessi
Per eseguire la somma e la moltiplica zione di due numeri reali . per esempio
2
7
bisogna costruire le classi approssima te dell' uno e dell' altro
e quindi le classi del numero somma o prodotto , sommando i valori corrispond enti
quindi si possono prendere le cifre che figurano in tutte e due le classi
C d 1, 1,4, 1,41, 1,414, ....
C e 2, 1,5, 1,42, 1,415,.....
2
C d 2, 2,6, 2,64, 2,645,......
C e 3, 2,7, 2,65, 2,646,.....
7 C d 1 2 3, 1,4 2,6, 4 1,41 2,64 4,05,
C e 2 3 5, 1,5 2,7 4,2,
1,42 2,65 4,07..
Le operazioni di addizione e moltiplicazione , definite in R , godono delle stesse
proprietà ( associativa, commutativa e distributiva) definite in Q
Potenza del continuo e del numerabile
: Ogni aggregato in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali N si dice
che ha la potenza del NUMERABILE., in quanto i suoi elementi si possono contare sia
pure indefinitamente. L’insieme Q dei numeri razionali è numerabile.
L’insieme R non è numerabile ed ha la potenza del continuo.Gli insiemi infiniti si
possono mettere in C.B. con un sottoinsieme proprio.
.
01/12/02
Elaborazione: proff.: Francesco
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UNITA DIDATTICA N .4
NUMERI REALI - 2
Operazioni con i numeri reali
Numeri naturali
Numeri razionali
numeri reali
numeri complessi
Per esempio l’insieme dei numeri pari Np è numerabile, in quanto si può mettere
in C. B. con N. Per l’insieme Qa che è denso e per cui non ha senso il concetto di
successivo si dimostra che è pure numerabile.( basta scrivere una matrice con N
righe e N colonne con le frazioni aventi il numeratore uguale alla colonna e il
denominatore alla riga e poi scorrerla non per riga o colonna, che sono infinite,
ma per diagonali a 45 gradi, finite, spostandosi a destra e in basso ogni volta che
si raggiunge la prima riga o la prima colonna.
L' insieme N p è numerabile
N
0 1 2
Np 0
2
4
3
4
5
6 ...... n ... ogni numero naturale ha il corrispond ente
6
8 10 12
2n in ogni numero pari
L' insiemeQa ènumerabile
0 /1
1/1
2 / 1 3 / 1 4 / 1 5 / 1......da 0 / 1a1 / 1a 0 / 2a 0 / 3a1 / 2a 2 / 1a3 / 1
0/2
1/ 2
2 / 2 3 / 2 4 / 2 5 / 2....a 2 / 2a1 / 3a 0 / 4
0/3
1/ 3
2/ 3 3/ 3 4/ 3 5/ 3
0/4
01/12/02
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UNITA DIDATTICA N .5
NUMERI COMPLESSI - 1
Numeri immaginari e operazioni
Numeri naturali
Numeri razionali
numeri reali
numeri complessi
Seconsidero l’equazione x ^2 = - 1, mi accorgo che essa è impossibile in R in quanto il
primo membro è sempre positivo , il secondo sempre negativo, cioè non esiste in R la
radice quadrata di – 1. A questo punto , se voglio comunque risolvere l’equazione devo
introdurre la cosiddetta unita immaginaria, la quale viene indicata con “i “ ed ha la
proprietà di dare -1 se elevata al quadrato, cioè i^2=-1.
Così operando l’equazione detta ha le radici x1 = +1 e x2 = -1.
L’insieme dei numeri b*i con b numero reale qualsiasi è detto insieme dei numeri
immaginari. Esistono comunque altre equazioni che non hanno né soluzioni reali né
soluzioni puramente immaginarie, ad esempio l’equazione seguente:
x 2 6 x 13 0
di addizione
e moltiplicazione
, definite
in Rfine
, godono
delle:
SeLe
laoperazioni
risolvo con
i metodi
tradizion ali ricavo
alla
i valori
associativa,
x 1proprietà
(6 (
16 ) / 2 commutativa
3 2i
x 2 (6
stesse
e distributiva) definite in Q
16 ) / 2 3 2i
Dunque l' equazione è soddisfatt a da nuovi simboli del tipo
a bi,
con a, b R , chiamati numeri complessi.
I numeri complessi sono costituiti
da una parte reale a e da una parte
immaginari a bi.
L' insiema
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dei numeri suddetti è chiamato insieme
Elaborazione: proff.: Francesco
Sgaramella , Mario Scarpino
dei numeri complessi C
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UNITA DIDATTICA N .5
NUMERI COMPLESSI - 2
Numeri complessi e operazioni
Numeri naturali
Numeri razionali
numeri reali
numeri complessi
Le operazioni di addizione e moltiplicazione , tra due numeri complessi danno per
risultato un numero complesso, e sono quindi binarie ed interne a C.
Esse si eseguono con i comuni metodi dell’algebra considerando la unità
immaginaria come una lettera qualsiasi, ed alla fine sostituendo a i^2 il valore -1 ad
i^ 3 il valore –i, ad i^4 il valore 1 e così via.
Per tali operazioni continuano a valere le stesse proprietà ( associativa, commutativa
e distributiva) definite in R.
01/12/02
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Sgaramella , Mario Scarpino
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UNITA DIDATTICA N .5
NUMERI COMPLESSI - 2
Numeri complessi e operazioni
Esegui i seguenti
esercizi :
4x 2 225 0
(7 12i ) ( 3 9i )
(7 4i )( 4 5i )
01/12/02
Elaborazione: proff.: Francesco
Sgaramella , Mario Scarpino
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