LA FISICA DELLA CIRCOLAZIONE
Il FLUIDO.
LA POMPA.
IL CIRCUITO.
LA FISICA DELLA CIRCOLAZIONE
IL FLUIDO:
Ci occuperemo di studiare un particolare
LIQUIDO detto SANGUE.
Partendo dalla descrizione fisica del
liquido in condizioni di riposo
(FLUIDOSTATICA) e di movimento
(FLUIDODINAMICA), vedremo come
esso abbia ‘strane’ proprietà VISCOSE.
Discutiamo….
STATICA
I liquidi possiedono VOLUME ma non FORMA propria:
sono perciò normalmente CONFINATI in un recipiente.
Lungo la superficie di contatto S il liquido risponde alla
forza F con cui viene tenuto confinato con una REAZIONE
uguale e opposta: si dice che esercita una
PRESSIONE
P=F/S
In condizioni statiche e in assenza di altre forze, la pressione
è omogenea e assume lo stesso valore in ogni punto del
liquido.
Sulla superficie terrestre il campo gravitazionale è responsabile
del ‘peso’ degli oggetti: come influenza la pressione idrostatica?
z
F=(p(z+dz)- p(z))S
z + dz
All’equilibrio deve essere:
P=mg=dVg
P(z+dz)-p(z)= d V g /S= d dz g
Dunque alla profondità z:
p(z)=patm + d z g
Questa legge (nota come legge di Stevino) spiega perché è
consuetudine misurare le pressioni tramite ‘altezze’ di fluidi:
cmH2O, mmHg,…
p= d g h
È una F/S: nel SI si misura in
N/m2 = pascal (Pa)
1 cmH2O=
103 kg/m3 10 m/s2 10-2 m=
= 100 Pa
1 mmHg=
13.3 103 kg/m3 10 m/s2 10-3 m=
=133 Pa
La pressione IDROSTATICA gioca un ruolo non trascurabile
anche nei sistemi biologici:
0.5 m
Pc=
100 mmHg
Se assumiamo che la densità
del sangue sia pari all’acqua:
p capo= 100 mmHg103 10 0.5 /133= 63 mmHg
1.2 m
p piedi= 100 mmHg+
103 10 1.2 /133= 190 mmHg
Diamo i numeri……
Con un violento atto inspiratorio, cioè succhiando con forza, si
può ridurre la pressione relativa nei polmoni fino a -40 mmHg.
Calcolare l’altezza massima da cui si può succhiare con una
cannuccia acqua (d=103 kg/m3) oppure gin (d=0.92 103 kg/m3)
(0.55; 0.6 m)
Diamo i numeri…..
Durante una trasfusione di sangue intero, l’ago è inserito in una
vena dove la pressione è di 15 mmHg. A quale altezza rispetto
alla vena deve essere posta la sacca? (0.2 m)
FLUIDODINAMICA
In generale la descrizione del movimento di un fluido è molto
complicata: occorre definire un CAMPO VETTORIALE di
VELOCITA’ che ad ogni punto (x,y,z) e ad ogni istante t
associa un vettore v tangente alla direzione di movimento del
fluido.
Noi considereremo per semplicità moti STAZIONARI (che
cioè non variano nel tempo) e in cui tutte le particelle si
muovono nella medesima direzione lungo l’asse di un tubo.
Discutiamo...
La grandezza che descrive il moto del fluido è la PORTATA:
Q=V/t
cioè il rapporto tra il volume di fluido che attraversa una superficie S
del condotto nel tempo t e il tempo t.
Poiché nel caso di un condotto rigido cilindrico V = S l
Q = S l/t = S v
Se non esistono ‘perdite’ o sorgenti lungo il condotto, la portata Q
resta costante.
v1 S1= v2 S2
v1 = v2
S1
S2
Se S2 < S1
v2 > v1
S1
S2
In molte circostanze si può considerare il liquido come
‘perfetto’ o inviscido, ossia si possono trascurare gli
attriti con le pareti e tra le molecole stesse.
Applicando il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’
ENERGIA MECCANICA ad un volumetto di fluido di
volume unitario:
p2
p1
h2
h1
Lavoro delle forze di pressione + energia cinetica + energia potenziale
= COSTANTE
L= Fx= pSx = pV= p
NB!
V unitario!
Ec = m v2/2 = d V v2 /2 = d v2 /2
Ep=mgh=dVgh=dgh
dunque:
p + d v2 /2 + d g h = COST
è nota come legge di Bernouilli.
Esempio n. 1:
STENOSI E ANEURISMA
Se S2 = 0.5 S1
v2 = 2 v1
v22= 4 v12
S2
S1
p1 + d v12/2 = p2 + d v22/2
p2 = p1 - 3 d v12/2
la pressione nella stenosi
diminuisce!
Es. n. 2 : inserzione di cateteri
Direzione del flusso
Misura la pressione
idrostatica p
Misura la pressione
‘cinetica’ p - d v2/2
Misura la pressione
‘cinetica’ p + d v2/2
Diamo i numeri…..
In un individuo a riposo la velocità media del sangue attraverso
l’aorta è pari a 0.33 m/s. Qual è la portata sanguigna, se
il raggio dell’aorta è di 9 mm? (5 l/min)
Diamo i numeri….
Con i dati precedenti ricavare la relazione che lega la pressione
sanguigna nel ventricolo sinistro e la pressione nel primo tratto
dell’aorta durante la sistole
Diamo i numeri…..
Un’arteria di raggio r=2.5 mm è parzialmente ostruita da una
placca, per modo che il suo raggio effettivo in quel punto vale 1.8 mm
e la velocità del sangue è di 50 cm/s.
Calcolare la velocità media del sangue dove l’arteria non è
ostruita.
Discutiamo….
La definizione più intuitiva è quella data da Newton:
“una mancanza di scorrevolezza tra strati adiacenti di
un fluido che si muovono con velocità diversa”
Si tratta di una forma di ATTRITO con le pareti e
tra gli strati del fluido stesso, che determina una
dissipazione di energia, che si manifesta sotto forma di
caduta di pressione proporzionale alla portata
(esattamente come un filo percorso da corrente registra
una diminuzione di potenziale elettrico proporzionale
all’intensità di corrente.
Anche in questo caso si parla di RESISTENZA:
R = Pin - P fin / Q
in piena analogia conla prima legge di Ohm:
R = Vin - V fin / I
approfondimento
I liquidi reali presentano il fenomeno della viscosità, legato alla
presenza di attriti di scivolamento tra i filetti fluidi.
Analogia meccanica:
F
F/S = Y x/z
z
x
Nel caso che la medesima sollecitazione dia applicata ad un fluido,
osserveremo una ‘deformazione nel movimento’:
F / S = h v/z
dove h è detta viscosità.
Le dimensioni della viscosità sono:
h = F z / S v = p t ( Pa s)
ma è tradizionalmente misurata in Poise : 1 Poise= 0.1 Pa s
Se teniamo conto della viscosità all’equilibrio le forze di
pressione dovranno equilibrare quelle di attrito:
(p1 - p2) S = t 2 p R l
dove t = h dv/dr
dunque ai capi vi sarà una differenza di pressione:
p1-p2= 2 l t /R
La viscosità del fluido comporta altre due conseguenze importanti:
1) sostituendo t = h dv/dr nella relazione precedente si ottiene
un’equazione differenziale:
dv/dr = - (p1-p2) r / 2 l h ,
la cui soluzione fornisce la forma del profilo di velocità:
v = v max ( 1 - r2/R2)
v max = (p1-p2) R2 / 4l h
ci dice che le particelle in una data sezione non si muovono tutte
alla stessa velocità, ma sono praticamente ferme alla parete e
raggiungiono la massima velocità in centro. Il profilo di velocità
è parabolico.
2) Ricordando ora che Q = vmed S, e osservando che nel caso di un
profilo parabolico vmed = v max /2
Q = (p1-p2) R4p /8 l h
Pertanto la RESISTENZA IDRODINAMICA si
potrà calcolare come:
R = (p1-p2)/ Q = 8 l h / p r4
( legge di Poiseuille)
N.B. E’ analoga alla seconda legge di Ohm, ma dipende dalla
quarta potenza del raggio anziché dalla seconda!
Diamo i numeri….
Una riduzione di raggio dell 1% (dr/r=0.01) di un vaso
sanguigno comporta un aumento di resistenza:
Diamo i numeri….
Calcolare la caduta di pressione in un capillare di lunghezza 1 mm
e raggio 2 mm, se la velocità al centro del capillare è 0.66 mm/s.
(9.8 mmHg)
Diamo i numeri….
Che resistenza oppone all’ acqua un ago di lunghezza 8 cm
e raggio interno 0.04 cm? L’ago viene inserito in una siringa con
un pistone di area 3.5 cm2. Quale forza bisogna applicare
perché l’acqua penetri nella vena con una portata Q= 2 cm3/s?
Assumere che la pressione nella vena sia 9 mmHg.(8 109 ps/m3,
6 N)
Limiti di validità della legge di Poiseuille
-velocità del fluido inferiore alla velocità critica, al di sopra
della quale si manifestano fenomeni di turbolenza,
-vasi grandi rispetto alle dimensioni dei globuli rossi (avvengono
fenomeni più complessi )
-approssimazione di tubo rigido, in quanto la legge trascura gli
effetti elastici.
Vedremo poi le caratteristiche dalla
particolare POMPA
che spinge il sangue, studiandone le
caratteristiche di lavoro.
Infine ci occuperemo del CIRCUITO in
cui il sangue circola,
considerandone le caratteristiche
ELASTICHE.
Il sangue è una sospensione di cellule in una
soluzione acquosa di sali e molecole organiche (7% in
peso) detta PLASMA. Il contenuto in sali ne definisce
le proprietà OSMOTICHE.
Il PLASMA è sostanzialmente un FLUIDO OMOGENEO,
dotato di normale viscosità (circa una volta e mezza
quella dell’acqua).
Il SANGUE INTERO NON E’ un liquido omogeneo.
Esso contiene:
ERITROCITI ( 5 106 /mm3)
LEUCICITI ( 5-8 103 /mm3)
PIASTRINE ( 250-500 103 /mm3)
La sua VISCOSITA’ dipende:
* dalla TEMPERATURA
(aumenta nei congelamenti,…)
* dall’ EMATOCRITO
* dalla PORTATA (effetto di accumulo assiale)
* dal raggio del vaso (effetto Lindquist)
Si definisce EMATOCRITO il volume percentuale di sangue
occupato dagli eritrociti. Di norma HT vale circa il 40%.
Viscosità
relativa
5
HT (%)
20
40
60
80
Visc apparente (cp)
10
0.05
0.1
Portata
(cm3/s)
Visc apparente (cp)
4
500
Raggio
(mm)
LA POMPA
Il CUORE è la pompa che compie LAVORO per vincere
gli attriti viscosi del sangue.
Trattandosi di una struttura muscolare essa:
* è attivata da un impulso elettrico (potenziale
di azione)
* può contrarsi in modo ISOTONICO e ISOMETRICO
ISOTONICO: il muscolo si accorcia (fa LAVORO esterno)
ISOMETRICO: il muscolo sviluppa tensione contro
un carico esterno senza variare la lunghezza
Le cavità funzionano come superfici elastiche: nel caso
sferico si può porre in relazione la pressione Dp generata
durante la contrazione con il raggio r e con la tensione
generata dalla tensione muscolare t:
2t
Dp =
r
Se la bolla è piena di aria, è
possibile aumentare la pressione
al suo interno sia riducendo r
(isotonicamente) sia aumentando
la tensione di parete t (isometrica
mente)
Se la bolla è piena di acqua,è
possibile aumentare la pressione
tramite l’aumento della tensione di
(isometricamente), ma la riduzione
del volume non è possibile a causa
della incompressibilità del liquido,
a meno che esista una valvola che
consente la fuoriuscita del liquido.
Dunque la fase di contrazione e
dilatazione isotonica richiede che
le valvole siano aperte.
Aspirazione (diastole)
Espulsione (sistole)
‘a valvole chiuse’
= isometrica
‘a valvole aperte’
= isotonica
Due pompe
parallele….
Di cui quella
sinistra ad alta
pressione e
quella destra
a bassa pressione
(ca 1/5)
Che lavorano in serie…..producendo la medesima portata
LAVORO CARDIACO:
comprende quello del cuore ‘sinistro’ e ‘destro’, ma il primo è
preponderante.
CONTRAZIONE ISOMETRICA: L = 0
CONTRAZIONE ISOTONICA: DV= Vfin-Viniz, L=pv* DV
RILASSAMENTO ISOMETRICO: L = 0
RILASSAMENTO ISOTONICO: Pa = 0, L = 0
poiché pv = 100 mmHg,
per ogni pulsazione
DV = 60 cm3
L = 100/760 * 105 * 60 * 10-6 = 0.8 J
Aggiungendo il contributo del cuore destro, la cui pressione ventricolare è circa 1/5 di quella del cuore sinistro, e considerando che
(ovviamente) la gittata è costante:
Ltot = 0.8 + 0.16 = 1 J
Se consideriamo una frequenza media di circa 60 battiti/min, la
potenza sarà pari a:
P = L/t = 1 J/1 s = 1 W
In definitiva: il lavoroi del cuore
A riposo vale circa 0.8 J
Sotto sforzo: DV=200 cm3, pv=160 mmHg
vale circa 4.2 J
Diamo i numeri…..
Calcolare il lavoro cardiaco per pulsazione in un soggetto sotto
sforzo in cui la frequenza cardiaca è 180 battiti/minuto, il volume
pulsatorio è di 160 cm3 e la pressione media ventricolare
vale 150 mmHg. Determinare anche la potenza cardiaca media.
IL CIRCUITO.
Il ‘grande circolo’ è un insieme di distretti posti tra loro in
parallelo. A partire dall’aorta si diramano le grandi arterie,
che alimentano ciascun distretto.
Il sangue uscente da ciascun distretto perviene alle vene cave
tramite il sistema venoso.
I grandi vasi (arterie e vene) possono modulare la loro resistenza
vasodilatandosi o vasocostringendosi:
es: sia r il raggio di un’arteria in condizioni normali e r* quello
sotto sforzo.
Per la legge di Poiseuille sappiamo che:
R*/R = (r/r*)4
se ad es si ha una vasodilatazione del 10 %: r*/r=1.1
allora
R*/R = (1/1.1)4 = 1/1.46
dunque la resistenza diminuisce del 46% !
Diamo i numeri…..
Studi su persone ipertese hanno dimostrato che la portata sanguigna
è pressoché normale, calcolare quale aumento di pressione viene
indotto da una restrizione del lume dei vasi all’ 80% del valore
normale.
(assunta una Dp media di 90 mmHg, si ottiene 220 mmHg)
Viceversa, per la regolazione delle resistenze del
microcircolo, è essenziale l’organizzazione in
parallelo dei microvasi.
La regolazione, in questo caso, avviene ‘reclutando’
o ‘escludendo’ una frazione dei vasi disponibili.
Perché i piccoli vasi (che hanno maggiore resistenza) sono
organizzati ‘in parallelo’?
-----WWWWWWWWWWWWW----R2
R1
pi-pf= Rtot Q = pi-P +P-pf = R1 Q + R2 Q = (R1+R2) Q
dunque
Rtot= R1 + R2
WWWWWW
------WWWWWW
Q = (pi-pf)/Rtot = Q1 + Q2 = (pi-pf)/R1 + (pi-pf)/R2
dunque 1/Rtot = 1/ R1 + 1/ R2
Se ci sono N vasi di uguale resistenza r
1 / Rtot = N / r
dunque
Rtot = r /N
al crescere di N la resistenza totale
diminuisce!
L’organizzazione microvascolare ‘in parallelo’ è funzionale
alla riduzione della resistenza totale e all’aumento della
superficie di scambio.
L’ACCOPPIAMENTO POMPA-CIRCUITO
Come in tutti i sistemi artificiali, è di fondamentale importanza
che l’accoppiamento sia adeguato.
Il funzionamento della pompa può essere descritto da un
grafico che mette in relazione la portata Q generata dalla pompa
stessa e la pressione p contro cui lavora (che i fisiologi
chiamano ‘postcarico’ (curva ROSSA)
Il comportamento del circuito è descritto dalla legge
di Poiseuille, cioè sostanzialmente dalla resistenza R
del circuito stesso.Le curve VERDE e BLU descrivono
due condizioni di resistenza.
p
Q
Il luogo in cui le rette si incontrano è il punto di lavoro del
cuore. Come si vede, se la resistenza vascolare è più
elevata la portata diminuisce. C’è un’altra conseguenza
importante: se R è maggiore, è maggiore la potenza spesa
dal cuore per il suo funzionamento.
Infatti, essendo
p
P= L/t = P V/t = P Q
o
x
P
o
x
Q
Nella realtà la funzione di pompa è più complessa,
ed è regolata dalla pressione del sangue che arriva
all’atrio tramite le vene (il cosiddetto ‘precarico’)
dalla legge di Frank-Starling.
MOTI ESTERNI
La viscosità del fluido gioca un ruoo importante anche
nel determinare le condizioni di moto degli oggetti
immersi. I corpi che si muovono in un liquido viscoso,
infatti, subiscono un’attrito proporzionale alla velocità
del loro moto. Nel caso semplice di oggetti sferici di
raggio r la forza di attrito è data dalla legge di Stokes:
Fa = 6 p h r v
In generale l’effetto dell’attrito è quello di determinare
un moto bifasico: inizialmente c’è un transitorio in
moto accelerato, successivamente si raggiunge una
condizione di equilibrio a velocità costante di deriva.
Un esempio è dato dalla VELOCITA’ DI ERITROSEDIMENTAZIONE (VES)
Spinta di Archimede:
S = dlVg
Forza di attrito:
A=6pmrv
Forza peso:
P = dVg
All’ equilibrio: S + A = P
v= 2(d-dl)g r2/9m
nel caso della VES, sostituendo i valori
‘normali’: r= 3.5 mm; d(glob)=1.0995 g/cm3;
d(plasma)=1.0265 g/cm3, h= 0.01 cP
si trova una velocità di sedimentazione pari a
v= 7 mm/h !
Nel corso di processi infettivi la variazione
di dimensione dei globuli comporta un
aumento di v.
