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Meccanica dei fluidi
• Fluidostatica
(fluidi in quiete)
• Fluidodinamica
(fluidi in movimento)
• Trasporto in regime viscoso
Densità
m
d=
V
•
•
Unità di misura (S.I.): kg/m3
Funzione scalare di
ogni punto del corpo;
Densità uniforme:
densità costante in
ogni punto.
Densità
(kg/m3)
Sostanza
alcol etilico
0,81×103
tessuto adiposo
0,95×103
acqua
1,00×103
muscolo
1,05×103
sangue
1,06×103
osso
1,20÷1,90×103
ferro
7,80×103
rame
8,90×103
piombo
11,30×103
mercurio
13,60×103
aria
1,10
Pressione
F
F⊥
p=
S
Unità di misura (S.I.):
F⊥
S
1 Pascal (Pa) = 1 Newton/m2
Altre unità di misura pratiche:
• 1 baria = 0,1 Pa
(c.g.s.)
• 1 bar = 105 Pa
(metereologia)
• 1 atm = 1,013·105 Pa (pressione atmosferica)
• 1 mmHg (anche torr)
• 1 cmH20
discusse nel seguito .....
Esempio:
Assumendo che la superficie di appoggio dei piedi sia
complessivamente 70 cm2, calcolare la pressione che esercita sul
pavimento una persona di massa m = 71,4 kg
[R.
p = 105 Pa
]
Calcolare la pressione che esercita la medesima persona in
posizione sdraiata, assumendo in questo caso una superficie di
appoggio di 0,7 m2.
[R.
p = 103 Pa
]
Fluidi
Assumono la forma del recipiente che li contiene
liquidi
Si dividono in:
aeriformi
gas
(O2, N2, CO2, He, ....)
vapori (H2O, ....)
Proprietà dei fluidi
• Diffusione: lento miscelamento in un recipiente ⇒ miscuglio omogeneo
• Viscosità: attrito interno al fluido (dipende dal materiale e da T)
• Comprimibilità: variazione di volume quando sottoposti a pressione
• Fenomeni superficiali
viscosità nulla (assenza di attriti interni);
Fluido ideale:
incomprimibile (volume costante);
si modifica la forma senza compiere lavoro.
Fluidi in equilibrio in un recipiente
F
Legge di Pascal : la pressione esercitata in un
punto della superficie del fluido si trasmette
inalterata in ogni punto del volume del fluido
Effetto del peso del fluido (legge di Stevino):
ptot = patm + d ⋅ g ⋅ h
Pressione idrostatica
In un fluido in equilibrio, la pressione interna dipende
solo dalla profondità h
Applicazioni
Principio dei vasi comunicanti
Torchio idraulico
p1 = p2
F1 F2
=
S1 S 2
S2
F2 = ⋅ F1
S1
F2 > F1
F1
S1
F2
S2
Legge di Archimede
Un solido immerso in un fluido riceve
una spinta verso l’alto (spinta di
Archimede) pari al peso del fluido
spostato
Esempio: corpo immerso in acqua
S = mH 2O g = d H 2OVg
F = mg = dVg
R= S − F =
= ( d H 2O − d ) ⋅ V ⋅ g
d > d H 2O corpo sprofonda
d < d H 2O corpo galleggia
d = d H 2O corpo in equilibrio
Misura della pressione atmosferica
Esperimento di Torricelli
patm = 1,013 ⋅105 Pa
= 760 mmHg = 760 torr
= 1 atm
p=dgh
a livello mare, 45o lat, 0 oC :
Patm
760 mm
Patm
1 torr = 1 mmHg = 133,3 Pa
Nota:
1 atm = 760 mmHg = 1033 cmH 2 O !!!
Manometro a liquido
Misura differenze di pressione
patm + dgh1 = p2 + dgh2
p2 − patm = dg (h1 − h2 ) = dg∆h
Esempio:
h1
h2
misura invasiva della
pressione arteriosa
(pressione intramurale)
La misura della pressione del sangue
nelle arterie è sempre riferita alla Patm
120 mmHg ⇒ (120+760) mmHg
Sfigmomanometro
ps = pressione sistolica
pd = pressione diastolica
p > ps
⇒ silenzio
ps > p > pd ⇒ rumore pulsato
p < pd
⇒ rumore continuo
Fleboclisi
Il flacone deve essere
posto ad una altezza h
sufficiente !
Es: se p = 18 mmHg
h > 25 cm !
Sifone
Effetti della pressione idrostatica
La pressione nei diversi
h (cm) (valori(mmHg)
medi)
punti del corpo varia
40
quando da sdraiati ci
– 60
50
portiamo in posizione
60
eretta
70
0
+60
00
10
20
30
40
50
60
70
80
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
–
+
posizione eretta
p = paorta + dg ∆h
+120
pv pa
pressione venosa pressione arteriosa
∆h(cuore) = 0
Nota: hmax = 130 cm
attenti alle forti
accelerazioni verso l’alto !!!
Fluidodinamica: portata di un condotto
La portata di un condotto è il volume di liquido che
attraversa una sua sezione nell’unità di tempo
V S ⋅ v ⋅ ∆t
= S ⋅v
=
Q=
∆t
∆t
A
S
B
v·∆t
Unità di misura (S.I.): m3/s
Moto stazionario: portata costante nel tempo
Moto pulsatile:
portata varia nel tempo in modo periodico
Nota:
Fluido ideale
Q = S ⋅v
Fluido reale
Q = S ⋅ vm
v m = velocita`media
Equazione di continuità
In regime di moto stazionario, la portata è la stessa in
ogni sezione del condotto
Q = S ⋅ v = costante
Esempio:
A
C
B
S = 1.25 cm2
Q = 100
cm3 s–1
S = 5×0.5 cm2
S = 5 cm2
S = 5 cm2
v = 20 cm s–1
S = 2.5 cm2
v = 40 cm s–1
S = 1.25 cm2
v = 80 cm s–1
In generale: se S1 > S2
v1 < v2
Sistema circolatorio
circolazione
polmonare
VENA
CAVA
circolazione
sistemica
Portata circolo:
POLMONI Q ≈ 5 litri/min = 83 cm3/s
Aorta:
AORTA
r = 0.9 cm
S = πr2 = 2.5 cm2
CUORE
v = Q/ S ≈ 33 cm/s
valvole
VENE
ARTERIE
Capillari:
S = 2500 cm2
VENULE
ARTERIOLE
CAPILLARI
v ≈ 0.033 cm/s = 0.33 mm/s
Esempio:
Assumendo una pressione arteriosa pa=100 mmHg ed una gittata
sistolica ∆V=60 cm3, si calcoli il lavoro meccanico compiuto dal
ventricolo sinistro durante una sistole
[R.
L = 0,8 J ]
Se la frequenza dei battiti cardiaci è di 60 battiti al minuto, si
calcoli la potenza meccanica sviluppata dal cuore sinistro
[R.
W = 0,8 W ]
Teorema di Bernoulli
Fluido ideale
Condotto rigido
Conservazione dell’energia meccanica
Moto stazionario
1 2
dgh + d v + p = costante
2
v
h
Energia
potenziale
mgh per
unità di
volume
Energia
cinetica ½mv2
per unità di
volume
Lavoro delle
forze di
pressione per
unità di
volume
Applicabile solo approssimativamente al sangue ed ai
condotti del sistema circolatorio !!
Esempio: aneurisma
S2
S1
→
v1
Q = costante
S1 v1 = S2 v2
v→2
S2 > S1
Applicando il teorema di Bernoulli (h1
1 2
1 2
p1 + dv1 = p2 + dv 2
2
2
v2 < v1
= h2):
v2 < v1
p2 > p1
aneurisma tende a peggiorare
Esempio: stenosi
h1 = h2
S1
→
v1
S2
→
v2
Q = costante
S1 v1 = S2 v2
S2 < S1
v2 > v1
Applicando il teorema di Bernoulli (h1
1 2
1 2
p1 + dv1 = p2 + dv 2
2
2
v2 > v1
= h2):
p2 < p1
stenosi tende a peggiorare
Esempio: aspiratore di Bunsen
aria
Moto di un fluido reale
Teorema di Bernoulli applicato ad un condotto uniforme orizzontale:
1
2
h1 = h2
S1 = S2
v1 = v2
p1 = p2 = cost.
In presenza di forze di attrito viscoso ⇒ dissipazione di energia q
1 2
1 2
dv1 + dgh1 + p1 = dv 2 + dgh2 + p2 + q
2
2
Perdita di
pressione lungo il
condotto
Resistenza idrodinamica
∆p
R=
Q
Unità di misura (S.I.): Pa·s/m3
Analogia con la legge di Ohm !!!
Esempio: circuito idrodinamico equivalente al sistema circolatorio
Resistenza idrodinamica del grande circolo
Soggetto sano a riposo:
∆p = 100 mmHg
Q = 83 cm3 s
∆p 100 mmHg
mmHg ⋅ s
R=
=
= 1.2
3
Q
83 cm s
cm3
Soggetto sano sotto sforzo:
∆p = 140 mmHg
Q = 150 cm 3 s
∆p
mmHg ⋅ s
R=
= 0.9
Q
cm3
Soggetto iperteso:
∆p = 200 mmHg
Q = 83 cm3 s
∆p
mmHg ⋅ s
R=
= 2.4
Q
cm3
Moto di un fluido reale: regime laminare
Strati cilindrici scorrono
all’interno del condotto con
velocità crescente verso il
centro del condotto
r
Formula di Poiseuille
π r
Q= ⋅
∆p
8 η ⋅l
8 η ⋅l
R= ⋅ 4
π r
4
η= coefficiente di viscosità del fluido (Unità di misura S.I.: Pa·s)
asse del
condotto
→
v
Caratteristiche:
•
Profilo di velocità parabolico
•
Moto silenzioso
•
Q ∝ ∆p
Coefficiente di viscosità
η è funzione della temperatura
t (°C)
η (Pa·s)
H2O ........... 0°C ........ 0.00178
10°C ........ 0.00130
20°C ........ 0.00100 ≈ plasma
alcool ........ 20°C ........ 0.00125
etere .......... 20°C ........ 0.00023
mercurio .. 20°C ........ 0.00157
glicerina ... 15°C ........ 0.2340
aria ........... 15°C ........ 0.000018
sangue ........................... 0.00400
(valore ematocrito 40%)
Moto di un fluido reale: regime turbolento
lamine e profilo
parabolico di velocità
lamine spezzate
e vortici
v > vc
velocità critica
transizione di fase
in tutto il volume
Caratteristiche:
Legge di Reynold
vc = R ⋅
η
d ⋅r
•
Elevata dissipazione di energia
•
Moto rumoroso
•
Q ∝ √∆p
R = numero di Reynold (circa 1000 per condotti rettilinei)
Trasporto in regime viscoso
Esempio: particella immersa in un fluido omogeneo.r
La forza di attrito è proporzionale alla velocità:
k = coefficiente di attrito
r
FA = −kv
L’equilibrio tra forza
agente sulla particella e
forza d’attrito si ottiene
quando la velocità della
particella raggiunge la
velocità di trascinamento
Moto rettilineo uniforme
Legge di Stokes
Per particelle sferiche di raggio r:
k = 6πηr
(η
η = viscosità del fluido in cui la particella è immersa)
Sedimentazione
Movimento di una particella sferica sotto l’azione della forza peso
All’equilibrio:
r r
r
FA + S A + Fp = 0
Forza
d’attrito
Spinta di
Archimede
Si ottiene (provare ....)
2 r g ⋅ (d − d ' )
vs =
9
η
2
Fp =
Forza
peso
r=raggio particella
d=densità particella
d’= densità del liquido
η=viscosità del liquido
E` possibile separare
particelle diverse presenti in
sospensione o soluzione
es. misura della velocità di sedimentazione dei globuli rossi (VES)
Centrifugazione
Tecnica usata quando la velocità di
sedimentazione libera è troppo piccola.
Alla accelerazione di gravità si
sostituisce la accelerazione centripeta:
g ⇒ ac = 4π 2 f 2 ro
2 4π f ro r ⋅ (d − d ' )
vs =
9
η
2
2
2
Esempio:
ro=10 cm
f = 104 giri/min
ac ≈ 104 g !!!
Esempio: centrifuga preparativa
Consente la separazione delle
diverse particelle in sospensione
Densità
crescente
Fenomeni di superficie
La risultante delle forze di coesione
si oppone all’aumento della superficie
libera di un liquido.
⇒ tensione superficiale
Capillarità:
si manifesta quando forze di adesione
liquido-vetro prevalgono sulle forze di
coesione (innalzamento capillare) o
viceversa (depressione capillare)
liquido “bagna” la parete
liquido “non bagna” la parete
H2O
Hg
Esempio: embolia gassosa
arteria
arteria
arteriola
capillare