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Esercizio n.15
a) Utilizzare due metodi iterativi, tra cui il Newton-Raphson, per risolvere l’eq.
f (x) = 0 con:
f (x) = x3 + 2x2 + 10x 20, partendo da x0 = 1.5 e almeno 3 cifre decimali
esatte.
b) Dimostrare che il seguente criterio di convergenza vale per il metodo di
Newton-Raphson applicato alla f(x) = 0 del punto precedente,  x0[1,2].
Se x  [a,b]: f (x)  0 e f  (x) non cambia segno e se f (a)f (b)<0, allora:
se
f (a )
 ba e
f (b)
f ( b)
 ba
f (b)
allora il metodo di Newton-Raphson converge partendo da un qualunque
x0  [a,b]
(vedi pag. 225, teor. 6.3.2)
Soluzione n.15a
Metodo di Newton-Raphson
f (x) = x3 + 2x2 + 10x 20; f (x) = 0; x0 = 1.5
xn
n
0
1
2
1.5000
1.3736
1.3688
f (x n )
f ' (x n )
2.8750
0.1012
-0.0001
22.7500
21.1547
21.0960
hn
cifre dec. esatte
Risultato
-0.1264
0
1.5 ± 0.1
-0.0048
2
1.374 ± 0.005
0.0000
4
1.3688 ± 0.00005
20
10
0
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Soluzione n.15a
Risoluzione iterativa della x = F(x)
f (x) = x3 + 2x2 + 10x 20
La f (x) = 0 si può scrivere come x = F(x) in tanti modi, per
esempio:
1) x = (20  x3  2x2 )/10  F (x) =  (3x2 + 4x)/10 ;
2) x = x/2 + (20  x3  2x2 )/20  F (x) = 0.5  (3x2 + 4x)/20.
Scritta come in 1) non garantisce la convergenza del metodo
iterativo perchè |F (1.5)| > 1, mentre la F(x) del caso (2) ne
assicura la convergenza in un intorno di 1.5, poichè |F (1.5)| < 1
Verifichiamolo!
Soluzione n.15a
Risoluzione iterativa della x = F(x)
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
caso 1)
caso 2)
F(x) = (20  x3  2x2 )/10
F(x) = x/2 + (20  x3  2x2 )/20
xn
1.5
1.2125
1.5277
1.1766
1.5602
1.1333
1.5975
1.0819
1.6392
1.0221
1.6842
F (x n )
1.2125
1.5277
1.1766
1.5602
1.1333
1.5975
1.0819
1.6392
1.0221
1.6842
0.9549
x n+1 - x n
-0.2875
0.3152
-0.3511
0.3836
-0.4269
0.4642
-0.5156
0.5573
-0.6171
0.6621
-0.7293
n
0
1
2
3
4
xn
1.5
1.3562
1.3694
1.3687
1.3688
F (x n )
1.3562
1.3694
1.3687
1.3688
1.3688
x n+1 - x n
-0.1438
0.0132
-0.0007
0.0001
0.0000
converge a
1.3688 + 0.00005
non converge!
Soluzione n.15b
20
15
10
5
0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
-5
-10
-15
-20
b) dato che f (x) = 3x2 + 4x + 10 non si annulla per x  , f (x) = 6x + 4 non cambia
segno in [1,2] e f (1)f (2) < 0, allora le condizioni preliminari per la validità del criterio
sono valide. Dunque valutiamo:
| f (1) /f (1)| = 7/17 < 1
| f (2) /f (2)| = 16/30 < 1
quindi in questo caso il metodo di Newton-Raphson converge partendo da un
qualunque x0  [1,2]