calcolo integrale

1
CALCOLO INTEGRALE

INTEGRALI INDEFINITI
Ogni funzione F(x) la cui derivata è f (x) si dice funzione primitiva della f (x) o integrale indefinito
di f (x) e si scrive  f ( x)dx  F ( x)  c .
È necessario aggiungere la costante arbitraria c, detta costante di integrazione, perché l’integrale
indefinito di una data funzione non è unico.
Per esempio x2, x2+5 , x2-4 ….. ecc. sono integrali indefiniti di f(x) = 2x perché
d 2
d 2
d 2


x  4  2 x
x 
x  5 
dx
dx
dx
Tutti gli integrali indefiniti di f(x) =2x sono quindi inclusi in x2+c , per cui potremo scrivere
2
 2 xdx  x  c
In pratica l’integrale si può definire come operazione inversa della derivata.
In base alla definizione si avrà:
1
d
1
 x dx  log x  c perché dx (logx+c) = x
1
 2 x dx  x  c
x
x
 e dx  e  c
 cos xdx  senx  c
ecc.
TEOREMA
Ogni funzione continua su un certo intervallo ammette primitive.
Le funzioni che ammettono primitive si dicono integrabili, pertanto le funzioni continue sono
integrabili.
PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE INDEFINITO
1) Se f(x) è continua e k è una costante, si ha:
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
Esempio:
 3 cos xdx  3 cos xdx  3senx  c
2) Se f1(x), f2(x)……… fn(x) sono funzioni continue, si ha:
  f1 ( x)  f 2 ( x)  ........ f n ( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx  ......... f n ( x)dx
Esempio:
 3x  2senx  3 cos x dx  3 xdx  2 senxdx  3 cos xdx  2 x
3
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2
 2 cos x  3senx  c
Calcolo integrale
2
TABELLA DELLE PRIMITIVE
di alcune funzioni di uso frequente
1
 x dx  n  1 x
n
1.
n 1
c
(n  -1)

14.
1 x
c
15.

In particolare:
 dx  x  c
1
 xdx  2 x
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
1
2
dx  arcsenx  c
dx  arctgx  c
1
a2  x2
dx  arcsen
x
c, ( a 0 )
a
x dx 
2 3
x c
3
16.
a

1
dx  2 x  c
x
17.

1
c
x
18.

 x dx  In x  c
19.
a
2
20.
x
2
21.

22.
 senx dx  In tg 2  c = In cos ecx  ctgx  c
1
3.
1  x2

x
2.
2
1
13.
2
dx  
1
 e dx  e
x
x
c
1
 a dx  Ina a
x
x
c
 senxdx   cos x  c
 cos xdx  senx  c
1
 senaxdx   a cos ax  c
1
 cos
2
x
dx  tgx  c
2
 tgxdx   In cos x  c
x a
x
ax
2
dx 
( a 0 )
x2  a  c
dx   a  x 2  c ,
( a>0 )
1
1
ax
dx 
In
c
2
x
2a a  x
1
1
xa
dx 
In
c
2
a
2a x  a
1
x a
2
2
dx  In x  x 2  a 2
c
x
x 

2 4
23.
 cos x dx  In tg
24.
 sen xdx  2 x  senx cos x   c
25.
 cos
26.

1
2
 c
= In|secx+tgx|+c
1
2
1
 sen x dx  ctgx  c
x
2
1
1
 cos axdx  a senax  c
1
1
x
dx  arctg  c ,
2
x
a
a
2
xdx 
1
x  senx cos x   c
2
a 2  x 2 dx 
1 2
x
2
2 
 a arcsen  x a  x   c
2
a

 ctgxdx  In senx  c
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3
 INTEGRAZIONE PER SCOMPOSIZIONE
Se è possibile esprimere la funzione integrando f(x) come somma di un numero finito di funzioni
f1(x), f2(x), ……… fn(x) che sono singolarmente integrabili, allora
 f ( x)dx    f ( x)  f ( x)  ........ f
1
2
n
( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx  ..... f n ( x)dx
ESEMPI

2x2  3
3
1

2
 x dx    2x  x dx  2 xdx  3 x dx  x  3lg x  c

 x  1 dx  

1
sen 2 x  cos 2 x
senx
cos x
 senx cos x dx   senx cos x dx   cos x dx   senx dx  lg cos x  lg senx  c
x2
x  1  3 dx 
x 1
1
 dx  3 x  1 dx  x  3 lg x  1  c
 INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
Questa regola ha lo scopo di ricondurre il calcolo dell’integrale di una funzione a quello di un’altra
funzione, dedotta dalla prima mediante un opportuno cambiamento di variabile.
Esempio: Calcolare l’integrale
x
1  x dx
Ponendo 1  x = t , si avrà
1-x = t2 ,
x = 1-t2 ,
dx = - 2t dt
x
per cui
1  x dx =
=  1  t 2   t   2tdt  =
=   2t 2  4t 4 dt 
2
2
= - t3  t5  c =
3
5
=-
2
3
1  x 3  2 1  x 5  c
5
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4
 INTEGRAZIONE PER PARTI
Vale la formula
 f ( x)  g ( x)dx 
'
f ( x) g ( x)   f ' ( x) g ( x)dx
dove f(x) è detto fattore finito e g '(x) fattore differenziale.
ESEMPI:
 Calcolare  lg xdx
Posto f(x) = lgx e g '(x) = 1 , si avrà :
 lg xdx =
1
x lg x    xdx = x lgx – x + c
x
 Calcolare
 x cos xdx
Posto f(x) = x e g '(x)dx = cosxdx , da cui
f '(x) = 1 e g(x) = senx , si avrà :
 x cos xdx = xsenx - 1  senxdx =
xsenx + cosx +c
 INTEGRALI DEFINITI
b
Se f(x) è una funzione continua nell’intervallo [a,b], il simbolo
 f ( x)dx
viene detto l’integrale
a
definito di f(x) rispetto ad x da x=a ad x=b.
La funzione f(x) viene chiamata funzione integranda, mentre a e b sono chiamati, rispettivamente,
limite inferiore e limite superiore di integrazione.
PROPRIETA’ DEGLI INTEGRALI DEFINITI
Se f(x) è continua sull’intervallo [a,b], allora:
a
1.
 f ( x)dx = 0
a
b
2.

a
f ( x)dx = -
a
3.
 f ( x)dx
b
b
c
b
c
a
a
 f ( x)dx +  f ( x)dx =  f ( x)dx
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Se f(x) è continua sull’intervallo [a,b], e se

b
f ( x)dx  F ( x)  c , allora
 f ( x)dx = F ( x)
b
a
= F(b) – F(a)
a
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5
 CALCOLO DI AREE
b
Negli intervalli in cui f(x) è positiva l’integrale definito
 f ( x)dx (con a  b ) è positivo e viceversa.
a
Ogni integrale definito rappresenta l’area della regione piana limitata dalla curva e dalle rette x = a
e x = b.
b
Se le curve sono due, cioè f(x) e g(x), l’integrale
  f ( x)  g ( x)dx rappresenta l’area della regione
a
piana racchiusa fra i due archi di curva e le rette x = a e x = b.
ESEMPIO
Determinare l’area della regione piana limitata dalle due parabole di equazioni y = 2x2-4x+4 e
y = x2-2x+4.
Le parabole si intersecano nei punti A(0;4) e B(2;4), per cui
2
S
0
2
 x3
x  2x  4  2x  4x  4 dx    x  2xdx   3  x2   43

0
0

2
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2

2
2
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6
 INTEGRALI IMPROPRI
Primo caso
Se f(x) non è continua in uno degli estremi, per esempio in a (oppure in b), ma lo è in ogni altro
punto di (a,b),
detto c un punto interno dell’intervallo, si avrà:
b
 f ( x)dx 
a
b
lim
c
 a 
 f ( x)dx
se il limite di questo integrale esiste finito.
c
oppure
b
 f ( x)dx 
a
c
lim
c
 b 
 f ( x)dx
se il limite di questo integrale esiste finito.
a
Questi limiti si chiamano integrali definiti generalizzati.
ESEMPI :
3
1
0 3  x dx
La funzione integranda non è continua nell’estremo superiore x=3
Si avrà:
c
c
1
0 3  x dx = (3 3  x 0 = - 3 3  c + 3 3
◊ Calcolare l’integrale


c
da cui
lim
c
 3

0
1
dx =
3 x
3
lim ( - 3
c
 3
3c + 3
3 )= 3
3
1
 x dx
◊ Calcolare l’integrale
0
La funzione integranda non è continua nell’estremo inferiore x=0.
Si avrà:
3
1
3
c x dx = Inx c = In3  Inc , per cui
3
lim
c  0 
1
 x dx =
c
In3  Inc  = + 
lim
c  0 
Poiché il limite esiste, ma non è finito, si può concludere che l’integrale richiesto non esiste.
Secondo caso
Se f(x) non è continua in un punto c interno all’intervallo (a,b) ,
si deve considerare la somma di integrali
b
b
k
a
h
a
 f ( x)dx   f ( x)dx +  f ( x)dx
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con a  k < c e
c < h b
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7
Se esiste finito il limite di questa somma per h  c  e k  c  , allora questo limite ci dà il valore
dell’integrale richiesto.
ESEMPIO:
2
1
dx
1 x
La funzione integranda non è continua in x=0 , punto interno all’intervallo di integrazione.
Si avrà:

◊ Calcolare l’integrale
2

k
1
3
h
x
dx +

3
2
3

dx =  3 x 2  +
x
2
h
1
1
3
k
3 3 2 
 2 x  =
1
3
33

4  3 h2  +

2
2

 3 3 2 3
k  

2
2
Poiché per k  0  e h  0  il limite di questa somma esiste finito ed è uguale a
33
3
4  , si
2
2
deduce che
2
1
33
3
1 3 x dx = 2 4  2
Terzo caso
Quando un estremo di integrazione, o entrambi, sono infiniti, si avrà :


c
f ( x)dx 
 f ( x)dx
lim
c  
a
, se questo limite esiste ed è finito.
a
b
b
 f ( x)dx 
 f ( x)dx
lim
c  

, se questo limite esiste ed è finito.
c

b
 f ( x)dx 
lim
a  

e
lim
b  
di
 f ( x)dx
, se questo limite esiste ed è finito.
a
ESEMPIO

◊
1
2 x dx =
c
lim
c  
1
 x dx =
2
lg x 
c
lim
c  
2
= lg c  lg 2  
per cui la funzione non è integrabile.

◊
 x  2
2
c
1
2
dx =
lim
c  
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 x  2
2
c
1
2
dx =
lim
c  

1
1 
=

2 
 x  2  2 4
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