RICHIAMI DI INSIEMISTICA
La teoria delle probabilità fa uso di un linguaggio e di un formalismo che rimandano alla teoria
degli insiemi. Occorrono quindi alcuni semplici cenni di insiemistica per poter affrontare in
modo più razionale la teoria e il calcolo della probabilità.
Si può concepire un insieme come una collezione di una qualsiasi specie di elementi: una
popolazione statistica è un insieme di unità statistiche, una struttura ospedaliera è un insieme
di reparti di degenza, una sindrome è un insieme di sintomi. Un insieme è ben definito quando
appare chiaro se un elemento appartiene o meno all’insieme stesso e a seconda del loro
numero (finito o infinito) si parla di insieme finito o di insieme infinito.
Gli insiemi si indicano, di solito, con lettere maiuscole (A, B, C, …) e gli elementi con lettere
minuscole (a, b, c, …); l’individuazione degli elementi di un insieme viene segnalata
inserendoli tra parentesi graffe (per esempio, A = {2, 4, 6, 8 …} è la notazione per indicare
l’insieme dei numeri naturali pari). Un insieme può essere costituito da un solo elemento, ma
anche esserne privo, nel qual caso si definisce insieme vuoto e lo si indica con il simbolo Ø.
Per indicare che l’elemento a appartiene a un insieme A si scrive a A, il contrario a A.
Quando non è possibile, o non è conveniente, elencare tutti gli elementi appartenenti a un
insieme, si può fare riferimento a espressioni verbali o matematiche, comprendenti un
elemento variabile x, del tipo {x|x = …} che si legge “l’insieme di tutti gli elementi x tali che x è
…”. Scrivendo A = {x|x ≥ 6}, che rappresenta l’insieme di tutti i numeri uguali o maggiori di 6,
oppure A = {x|x = composti organici del carbonio} viene resa possibile l’indicazione di una
serie infinita di elementi altrimenti non rappresentabile.
Elementi di Statistica medica
Pasquale Bruno Lantieri, Domenico Risso, Giambattista Ravera
Copyright © 2007 – The McGraw-Hill Companies s.r.l.
Due insiemi sono uguali se ogni elemento dell’uno è anche elemento dell’altro,
indipendentemente dall’ordine, dal numero di volte che compaiono o dal fatto che siano
indicati in modo diverso: {a, b} = {b, a}, {1, 2, 3, 1, 3} = {1, 2, 3} e {2 · 2, 1+2, 4-3} = {4, 3,
1}. L’uguaglianza tra insiemi gode delle proprietà riflessiva (A = A), simmetrica (se A = B,
allora B = A) e transitiva (se A = B e B = C, allora A = C).
Gli insiemi possono essere rappresentati graficamente mediante diagrammi di Venn
costituiti da linee chiuse non intrecciate quali cerchi, rettangoli o simili (Figura 1). La
trasposizione grafica assume anche l’importante ruolo di strumento per favorire i calcoli
nelle operazioni tra insiemi.
Quando tutti gli elementi di un insieme B fanno anche parte degli elementi di A, si definisce
B sottoinsieme di A: si scrive B A e si legge “B è contenuto in A”; ogni insieme è
sottoinsieme di un insieme più generale detto universo o spazio campione Ω (Figura 2).
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Operazioni tra insiemi
Insieme unione
Con due insiemi A e B (o più insiemi) si può formare un nuovo insieme C, l’insieme unione:
C = A B = {x|x A oppure x B}
che si legge “C è uguale ad ‘A unito a B’ (o anche ‘A unione B’)” dove “” è il simbolo di
unione e “oppure” va inteso come “e/o” in quanto gli elementi dell’unione possono
appartenere anche a uno solo degli insiemi di partenza. All’insieme unione “ipertesi e
iperglicemici” appartengono tutti coloro che risultano solo ipertesi o solo iperglicemici oppure
con entrambe le alterazioni. Vedremo che l’insieme unione è assimilabile nelle probabilità a
una addizione.
Insieme intersezione
Quando due (o più) insiemi presentano una parte di elementi in comune, esiste una
sovrapposizione insieme intersezione rappresentato da:
I = A B = {x|x A e x B}
che si legge “I è uguale ad ‘A intersecato con B’ (o anche ‘A intersezione B’)” con “” come
segno di intersezione e gli elementi dell’intersezione debbono appartenere a entrambi gli
insiemi di partenza. Anche un insieme vuoto può essere una intersezione, A B = Ø, nel qual
caso i due insiemi non presentano elementi in comune. L’intersezione tra “ipertesi e
iperglicemici” è l’insieme dei soggetti che presentano contemporaneamente le due
alterazioni.
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È importante notare che nel caso
dell’intersezione
si
devono
verificare
entrambe le situazioni, mentre nel caso
dell’unione si possono verificare entrambe,
ma ne è sufficiente una soltanto (Figura 3).
L’insieme intersezione, per le probabilità,
trova corrispondenza nella moltiplicazione.
Insieme differenza
Considerando due insiemi A e B, tutti gli elementi di A che non appartengono a B
rappresentano l’insieme differenza:
D = A\B = {x|x A e x B}
che si legge “D è uguale ad ‘A meno B’” con “\” come segno di differenza; in particolare, se B
è un sottoinsieme di A, B A, la differenza A\B si definisce l’insieme complementare di B
relativo ad A e si esprime come BA.
Se l’insieme di riferimento è l’universo Ω, allora la
differenza
Ω\A
si
definisce
insieme
complementare di A:
A
= \A = {x|x e x A}
da cui deriva che l’unione di A e del suo
complemento A= A rappresenta l’insieme universo,
mentre la loro intersezione è vuota (Figura 4).
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Prodotto di insiemi
Si dispongano gli n elementi di un insieme A = {a1, a2, …, an} su una linea orizzontale e gli
m elementi di un insieme B = {b1, b2, …, bm} su una linea. Tracciando linee parallele
attraverso ciascun elemento, otteniamo un reticolo con n · m incroci (intersezioni) che
rappresentano tutte le possibili associazione tra gli elementi di un insieme e quelli dell’altro
(a1b1, a1b2, …, a1 bm, a2 b1, …, a2bm, …, an bm). Queste coppie rappresentano gli elementi
di un nuovo insieme definito prodotto di insiemi o insieme prodotto o prodotto cartesiano:
A B = {(a, b)|a A e b B}
Gli esempi più semplici di prodotto di insiemi sono infatti il diagramma cartesiano con le
coppie ordinate di valori e la tavola pitagorica. L’organizzazione di misure in una tabella a
due entrate costituisce un’applicazione descrittiva di un prodotto di insiemi: ogni casella
deriva dall’incrocio tra le modalità con cui si presentano due caratteri.
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