Sistema di numerazione
binario
Unità di apprendimento di
matematica
Gli obiettivi del nostro lavoro
Capire cosa si intende per “sistema di numerazione”
Comprendere le differenze tra “sistema additivo” e
“sistema posizionale”
Acquisire la consapevolezza della dimensione storica di
questo argomento
Antichi sistemi di numerazione
Per numerazione si intende un insieme di regole per
enunciare e scrivere i numeri
Ogni popolo del passato escogitò un proprio sistema di
numerazione parlato e scritto
Nel corso della storia molti sistemi si affermarono e poi
scomparvero
Antichi sistemi di numerazione
I Greci indicarono alcuni numeri con le lettere
dell’alfabeto:
(alfa) per il numero 1
(beta) per il numero 2
(gamma) per il numero 3
… e così via fino al numero 9
Con altre lettere erano indicati i numeri 10, 20… 90 e poi
100, 200… fino a 900
Antichi sistemi di numerazione
Questo sistema viene chiamato “additivo” perché il
numero è scritto come somma di simboli
342 =
(tao)
300
+
(mi)
40
+
(beta)
2
Antichi sistemi di numerazione
Vaso greco del 500 a.C.
(Museo archeologico di
Napoli)
Origine dei simboli 0 e 1
Lo 0 è indispensabile per costruire un sistema di numerazione posizionale
A questo numero sono state attribuite origini diverse:
L’ipotesi più attendibile è che sia stato introdotto dagli Indiani che lo indicavano
con un punto, chiamandolo sunya (vuoto)
In seguito gli Arabi lo accolsero indicandolo con il nome sifr (da cui deriverà la
parola italiana cifra)
I Romani tradussero sifr con la parola cephirum
Nella lingua italiana fu pronunciato zevero, e quindi zero
Anche in inglese e in francese, pur con una diversa pronuncia, si scrive
ugualmente zero
Origine dei simboli 0 e 1
Tra le varie ipotesi sull’origine della sua forma, la più accreditata è
che rappresentasse il simbolo di vuoto in una posizione dell’abaco
Altri studiosi ritengono invece che la sua forma derivi dalla prima
lettera della parola greca outis, che significa “niente”
Il simbolo 1 sembra invece derivare dal segno tracciato sulla sabbia
o su tavole di argilla per contare animali, oggetti, ecc.
Anche nelle lingue cinese e giapponese il numero uno viene
rappresentato da un trattino che però è disposto orizzontalmente
Forma polinomiale
di un numero binario
Sia nel sistema binario che in quello decimale un numero è
rappresentato da una sequenza di cifre
Tra i due sistemi esiste però una differenza:
Il sistema decimale utilizza 10 cifre (dallo zero al nove)
Il sistema binario ne usa solo due (lo zero e l’uno)
Oltre che in cifre, un numero può essere rappresentato in forma
polinomiale
Questa rappresentazione ci permette di trasformare i numeri binari
in numeri scritti in base 10 o viceversa
Forma polinomiale
di un numero binario
La forma polinomiale di un numero binario è la somma delle potenze di
2, ciascuna moltiplicata per la cifra corrispondente
1 . 24
+
0 . 23
+
1 . 22
+
1 . 21
+
0 . 20
1 0 1 1 0
Cifra in
base 2
Cifra in
base 10
16
+
0
+
4
+
2
+
Risultati delle potenze di 2 moltiplicate per la cifra binaria corrispondente
0
=
22
Forma polinomiale
di un numero binario
Numero binario formato da 8 cifre
Fare doppio CLIC
all’interno del riquadro per
modificare la sequenza
delle cifre binarie.
Per chiudere la finestra di
inserimento fare CLIC fuori
del riquadro.
Questa operazione deve
essere svolta al di fuori
della modalità di
presentazione
1 0 0 1 0 0 1 1
147
Numero corrispondente in base 10
Numeri binari e interruttori
All’interno di un computer l’unica forma di rappresentazione dei numeri è
quella binaria
Il computer elabora le informazioni mediante un insieme di stati
caratterizzati da presenza o assenza di tensione elettrica
Questo concetto può essere illustrato con un esempio, dove sono
rappresentate quattro lampadine collegate ad una batteria elettrica
mediante un interruttore:
Quando l’interruttore è chiuso, la corrente elettrica fluisce attraverso la
lampadina che, di conseguenza, si illumina
Invece, quando l’interruttore è aperto, il flusso di corrente elettrica si interrompe e
la lampadina corrispondente resta spenta
Associando il valore 1 alle lampadine accese e il valore 0 a quelle spente
otteniamo una rappresentazione binaria dei numeri
Numeri binari e interruttori
Azionando i quattro interruttori del disegno possiamo rappresentare tutti i numeri naturali compresi
tra lo zero (tutti gli interruttori aperti) e il quindici (tutti gli interruttori chiusi)
510 =
(0
1
0
1 )2
Lo stato attuale della struttura rappresentata in questo schema corrisponde alla rappresentazione binaria del numero 5
Bit e byte
All’interno dei computer i dati vengono rappresentati attraverso cifre binarie
Questo avviene perché la corrente elettrica nei circuiti del computer può
solo assumere due valori:
0 non c’è corrente
1 c’è corrente
Ogni cifra binaria è indicata con il termine di bit (contrazione del termine
inglese BInary digiT, “cifra binaria”)
Una rappresentazione con 8 bit viene indicata con il termine di byte.
Nel computer il byte ha assunto il ruolo di unità di misura dell’informazione
Tutte le rappresentazioni numeriche adottate nei moderni calcolatori usano
un numero di bit multiplo di 8
Bit e byte
La rappresentazione binaria non viene solo utilizzata per esprimere numeri
ma anche per i caratteri alfabetici e i codici che il computer può eseguire
Ad esempio vengono rappresentati con un byte:
I caratteri alfabetici
I caratteri numerici
I simboli delle quattro operazioni aritmetiche
I segni di punteggiatura
A differenza dei valori numerici, in questi casi la corrispondenza tra un dato
carattere o simbolo e la combinazione di 1 e 0 presenti nel byte che li
rappresenta è puramente arbitraria
Per evitare problemi nel trasferimento dei dati tra un computer e l’altro
occorre però che la codifica dei caratteri alfanumerici sia la stessa per tutti
Il codice ASCII
Il codice ASCII è stato elaborato per assegnare in modo univoco una cifra
binaria per ognuno dei caratteri alfanumerici utilizzati nella comunicazione
scritta
Ogni simbolo viene memorizzato in un byte: per questo motivo il codice
ASCII può rappresentare 256 simboli diversi
Un messaggio scritto sarà quindi formato da tanti byte quanti sono i
caratteri utilizzati
Il codice ASCII
In questa tabella sono rappresentati otto simboli e il numero binario che li rappresenta nel codice ASCII
RAPPRESENTAZIONE
BINARIA
NUMERO
DECIMALE
CODICE
ASCII
RAPPRESENTAZIONE
BINARIA
NUMERO
DECIMALE
CODICE
ASCII
00101011
43
+
01100001
97
a
00101101
45
-
01000001
65
A
00101010
42
*
01100010
98
b
00101111
47
/
01000010
66
B
Con un byte possiamo
rappresentare 256 valori
(da 0 a 255)
Il codice ASCII assegna
ad ognuno di questi
valori un diverso simbolo
