Procedere per problemi concreti

Progetto realizzato dalla
corsista Anastasia Carvelli
docente di Matematica e Fisica
presso Liceo Linguistico e
Socio-Psico-Pedagogico di
Mesoraca.
Dal linguaggio naturale al linguaggio
dell’algebra.
Equazioni lineari e sistemi
di equazioni lineari.
Problema con soluzione non
accettabile.
Esempio 1:
Problema delle 3 monete.
• Si vuole formare la somma di 5 euro
con 40 monete, alcune da 20
centesimi e altre da 50 centesimi.
Quante monete da 20 e quante da 50
centesimi sono necessarie?
Dati: monete da 20 e 50 centesimi e complessivamente
devono essere 40
Obiettivo: trovare il numero di monete da 20 centesimi
e il numero di monete da 50 centesimi, che
complessivamente diano luogo a 5 euro.
Costruiamo il modello del problema.
Indichiamo con x il numero di monete da 20 centesimi
necessarie: così resta automaticamente determinato il
numero 40-x di monete da 50 centesimi necessarie
poiché il numero totale di monete è 40.
Troviamo il dominio di x. Il numero x deve essere un
numero naturale tale che con . x può essere anche 0 o
40, poiché niente esclude che le monete possano essere
tutte da 20 o da 50 centesimi.
• Risolviamo l’equazione sia con Derive
che con Excel in modo da avere subito
la soluzione.
• Otteniamo che la soluzione non è accettabile
(x=50) a causa della seconda condizione del
modello del problema, quindi il problema è
impossibile.
Esempio 2:
Due auto in autostrada.
Un’auto, su un’autostrada, parte da un casello A verso il casello B che dista
200 km da A; dopo 20 minuti, dal casello B parte una seconda auto che si
muove in verso opposto al precedente (cioè verso il casello A). Le due auto
viaggiano a una velocità che si può considerare mediamente costante e uguale
a 11km/h per la prima auto e a 90km/h per la seconda. Dopo quanto tempo
dalla sua partenza la prima auto incontrerà la seconda?
Costruiamo il modello del problema.
• Indichiamo con t il tempo incognito, espresso in
ore, trascorso dal momento della partenza della
prima auto all’istante in cui le due auto si
incontrano;
• Poiché la seconda auto parte 20 minuti dopo, cioè
dopo (20=60/3), dovrà essere ;
• Per impostare l’equazione ricordiamoci la legge
oraria del moto uniforme s=s +v·t dove s è la
posizione iniziale.
0
0
• Nel momento in cui le due auto si
incontrano occuperanno la stessa
posizione, quindi:110t=200-90(t-1/3)
• oppure nella forma equivalente:
• 110t+90(t-1/3)=200
• Otteniamo la soluzione t=23/20h, che
corrispondono a (23/20)*60 minuti
(calcolando questa frazione con excel)
otteniamo 69 minuti, cioè un’ora e 9 minuti
soluzione accettabile poiché t è maggiore di
1/3.
.
• In excel riprendiamo lo stesso file
dell’esempio precedente visto che le
formule sono le stesse, si tratta solo di
cambiare i numeri.
Esempio 3
Dovendo preparare una cena tra amici, acquisto sei bottiglie
di birra e quattro di vino, pagando 40,1 euro. Alla stessa
cena arriva il mio amico Carlo, con due bottiglie di birra e
sette di vino, della stessa marca e acquistate nello stesso
supermercato, pagando 46,8 euro. Poco dopo arriva anche
Luigi con cinque bottiglie dello stesso vino acquistato in
super-offerta presso una enoteca, a sei euro ciascuna.
Luigi sostiene che si tratta di un vero affare e invita gli
amici a rifornirsi di vino presso quella enoteca. Conviene
seguire il consiglio di Luigi?
Per saper quanto costano le bottiglie di birra e di
vino indichiamo con x il prezzo di una di birra e
con y il prezzo di una di vino. Queste incognite
devono soddisfare simultaneamente le equazioni:
6x+4y=40,1
2x+7y=46,8
Cioè formano un sistema di due equazioni in due
incognite.
Risolviamo il sistema con Derive:
• Così una bottiglia di birra costa 2,75 euro e una di
vino costa 5,9 euro. Non conviene seguire il
consiglio di Luigi.
Esercizi proposti
1. In pizzeria
In una pizzeria del centro il sabato la pizza margherita costa
1 euro in più rispetto ai giorni infrasettimanali. Con la stessa
somma il sabato si possono mangiare 5 pizze mentre nei
giorni infrasettimanali se ne possono mangiare 6. Quanto
costa la pizza il sabato? Prova a costruire problemi analoghi
con l’acquisto di gelati: coni grandi o piccoli.
2. L’età di mia madre
La mia età è 11/16 di quella di mia madre e quattro anni fa
ne era i 2/3. Quanti anni ha mia madre?
Prova a costruire un problema per far scoprire al tuo
compagno di banco l’età di tua madre.
3. Triangolo
Quanto misura il lato di un triangolo equilatero se la somma della
base con l’altezza misura b?
Prova a pensare a un problema in cui si chiede la misura di un lato di
un triangolo che non sia equilatero: cosa succede? Puoi ancora
calcolarne un lato conoscendo la somma della base e dell’altezza?
Hai bisogno di altri dati? Come faresti se il triangolo fosse
rettangolo isoscele?
4. Cerca il numero
Un numero supera di 2 il triplo di un altro. Trova almeno una coppia
di numeri che soddisfano la condizione data. Cerca un'altra
condizione che, insieme alla precedente, sia soddisfatta solo dai
due numeri che hai trovato.
Prova a costruire problemi analoghi e pensa di farli risolvere a un
bambino che frequenta la scuola elementare.
Senza calcoli
Senza fare calcoli, spiega
perché c’è un solo valore del
coefficiente k per cui il sistema
delle due equazioni non
ammette soluzioni.
Prova a costruire esempi concreti
di problemi che non ammettono
soluzioni.