Regole di commutazione per l’operatore momento angolare (corrispondente quantistico
dell’usuale momento angolare classico)
[Lx,Ly]=iℏLz
[Lz,Lx]=iℏLy
[Ly,Lz]=iℏLx
L2=Lx2+Ly2+Lz2
[L2,Lx]=[L2,Ly]=[L2,Lz]=0
Osservabili compatibili: L2 e una delle tre componenti,
tipicamente si sceglie Lz
Autofunzioni comuni a L2 e Lz: armoniche sferiche Ylm(θ,φ).
L2 Ylm(θ,φ)=ℏ2l(l+1)Ylm(θ,φ);
Lz Ylm(θ,φ)=ℏmYlm(θ,φ);
In notazione di Dirac:
L2│l,m＞=ℏ2l(l+1)│l,m＞
Lz│l,m＞=ℏm│l,m＞
＜l’,m’│l,m＞=δl,l’δm,m’
|μ|=iS (S=area superficie, i=intensità
di corrente)
In presenza di B
E=-μ・B
Visione “semi-classica”: elettrone in
un’orbita=
spira percorsa da corrente.
Se r=raggio (medio) dell’orbita, e T =
periodo
Momento
d’inerzia
|μ|=iS=(-e/T)πr2
L=IW=(mr2)2π/T➞
T= (mr2)2π/L➞
|μL|=|-eL/2m|;
μL=-eL/2m➞quantistica
μL=-eL/2m
In presenza di B (converrà orientare z come il campo ..)
compare un nuovo termine nell’hamiltoniana:
ΔH=(e/2me)LzB➞(vedremo meglio)➞(e/2me)ℏm
Idrogeno nello stato fondamentale:
l=0, m=0: l’elettrone “in orbita” non risente del campo B
se l≠0, il campo “splitta” il livello l in un numero dispari 2l+1 di livelli, corrispondenti a
m=-l, ..0,..,l
Ag nello stato fondamentale:
Kr 4d10 5s1
Le shell interne sono completamente piene, il momento
magnetico è determinato dall’elettrone più esterno. Da
questo punto di vista è come l’idrogeno (vedremo meglio).
collimatori
gas di
H
B uniforme
z
foro
Gli atomi sono neutri, non ho effetti dovuti
alla forza di Lorentz. Ma abbiamo detto che
all’elettrone che “orbita” attorno al nucleo
è associato un momento magnetico
proporzionale a Lz. Appena gli atomi sentono
il campo, la loro energia dipenderà dal loro
Lz: E=-μzB=+(e/2m)LzB. Se B è uniforme,
-∂zE=Fz=0, il fascio NON viene deflesso
(notare che Lz si deve conservare)
Nello storico esperimento (notare l’anno, siamo prima
dell’introduzione dell’equazione di Schrödinger) usarono
atomi di argento, ma avrebbero ottenuto lo stesso risultato
utilizzando idrogeno.
z
-∂zE=Fz=-∂z(e/2m)LzB=-(e/2m)Lz∂zB
B≈zBI nell’esperimento
z
Fz=-(e/2m)LzBI
Il fascio verrà deflesso in modo diverso a seconda
del valore di Lz. Classicamente (era il 1922) era
normale aspettarsi variazioni random: nella
“bombola” Lz poteva assumere qualunque valore, poi
conservato. Ma anche considerando le nostre
conoscenze della M.Q. avremmo previsto
deflessione nulla o al limite divisione del fascio
in un numero dispari di sottofasci. Invece erano 2.
μL=-eL/2m≡-gLγL
γ=“rapporto giromagnetico”,
=e/2m per il momento
orbitale dell’elettrone (gL=1)
Soluzione: oltre al momento magnetico associato al moto orbitale, l’elettrone (ma
anche i protoni, anzi, tutte le particelle) possiede anche un momento angolare orbitale
“intrinseco”, detto di spin (S). Questo produce un ulteriore accoppiamento con un
campo magnetico, per l’elettrone è:
μS=-gsγS (con gs=2, “anomalia di spin”)
Se il numero quantico angolare l=0,1,2,3... (per cui m=-l,..,0,..l
è un intero), quello di spin può assumere valori semiinteri. Per un elettrone s=1/2, e m=1/2,1/2. Occhio a differenze importanti: lo
spin non ha equivalente classico. Ma allora cos’è? E’ un operatore
momento angolare, ovvero un operatore che soddisfa:
[Sx,Sy]=iℏSz
[Sz,Sx]=iℏSy
[Sy,Sz]=iℏSx
S2=Sx2+Sy2+Sz2
[S2,Sx]=[S2,Sy]=[S2,Sz]=0
Osservabili compatibili: S2 e una delle tre componenti,
tipicamente si sceglie Sz
L2│l,m＞=ℏ2l(l+1)│l,m＞
Lz│l,m＞=ℏm│l,m＞
m=-l,..0,..,+l
＜l’,m’│l,m＞=δl,l’δm,m’
S
2
2 │s,ms＞=ℏ s(s+1)│s,ms＞
S
z
│s,ms＞=ℏms│s,ms＞
ms=-s,..0,..,+s
＜s’,ms’│s,ms＞=δs,s’δms,ms’
Differenza fondamentale: ogni particella è dotata di un
unico valore possibile di s. Per un elettrone, s=1/2.
Differenza fondamentale: ogni particella è dotata di un
unico valore possibile di s. Per un elettrone, s=1/2, per cui
l’unico numero quantico significativo dello stato è quello
S può assumere solo due valori!
associato a che
z
S
2
2 │1/2,ms＞=(3/4)ℏ │1/2,ms＞
S
z
│1/2,ms＞=ℏms│1/2,ms＞
ms=-1/2,1/2
＜1/2,ms’│1/2,ms＞=δms,ms’
Per quel che riguarda la sola parte di spin (dimentichiamoci
per un attimo di tutte le coordinate spaziali), introdurre questi
nuovi gradi di libertà equivale a studiare un sistema a due
livelli. L’estensione del formalismo è naturale: introdurrò uno
spazio di Hilbert in due dimensioni dove agiscono gli
operatori di spin, che saranno pertanto rappresentati da
semplici matrici 2x2.
In particolare, privilegiando la componente z dello spin,
nel caso s=1/2 (elettrone) sarà naturale usare come base
dello spazio bidimensionale quella individuata dagli autovettori
di per
S cui la matrice rappresentativa di Sz sarà:
z
Sz=(ℏ/2)
(
10
0 -1
)
con autovettori
χ+=
χ-=
1
0
0
1
( ) corrispondente all’autovalore
( ) corrispondente all’autovalore
(ℏ/2); stato spin up,│↑＞
-(ℏ/2); stato spin down,│↓＞
parimenti, dovrà valere (ricordare che commutano):
S2=(3ℏ2/4)
(
10
01
)
Di Sx e Sy so che non commutano con Sz e S2. Quindi, non
saranno diagonali. Non dimostreremo la loro espressione,
che risulta data da:
Sx=(ℏ/2)
(
01
10
)
Sy=(ℏ/2)
(
0 -i
+i 0
)
Sz=(ℏ/2)
Sx=(ℏ/2)σx; Sy=(ℏ/2)σy; Sz=(ℏ/2)σz, dove:
σz=
(
10
0 -1
)
σy=
(
sono le “matrici di Pauli”.
0 -i
+i 0
)
σx=
(
01
10
)
(
10
0 -1
)
Il generico stato di spin di un elettrone sarà espresso da:
χ=
a
b
“spinore”. Per estendere coerentemente il formalismo,
( ) =richiederemo
che lo spinore sia normalizzato, ovvero:
│a│2 +│b│2 = 1. Parimenti:
χ=
a
b
()
=aχ+ + bχ- = a
+b 1
0
( )
0
1
( )
con a=＜χ+│χ＞, e │a│2 = prob. di trovare il sistema
nello stato spin up.
con b=＜χ-│χ＞, e │b│2 = prob. di trovare il sistema
nello stato spin down.
Esercizio: trovare gli “autospinori” di Sx e Sy
σy=
(
0 -i
+i 0
σx=
)
(
01
10
)
Inizio a imporre det(Sx-λI)=0⇒
det
(
-λ ℏ/2
ℏ/2 -λ
(
-ℏ/2 ℏ/2
ℏ/2 -ℏ/2
(
ℏ/2 ℏ/2
ℏ/2 ℏ/2
)
=0⇔λx±=± ℏ/2
α
β
=0⇔ α=β
χ+x=(1/√2)
( )
λ=λx+=+ℏ/2
α
β
=0⇔ α=-β
χ-x=(1/√2)
+1
-1
λ=λx-=-ℏ/2
) ( )
) ( )
1
1
( )
Esercizio: trovare gli “autospinori” di Sx e Sy
σy=
(
0 -i
+i 0
)
(
σx=
01
10
)
Adesso impongo det(Sy-λI)=0⇒
det
(
-λ -iℏ/2
iℏ/2 -λ
(
-ℏ/2 -iℏ/2
iℏ/2 -ℏ/2
(
ℏ/2 -iℏ/2
iℏ/2 ℏ/2
)
=0⇔λy±=± ℏ/2
α
β
=0⇔ α=-iβ
χ+y=(1/√2)
( )
λ=λy+=+ℏ/2
α
β
=0⇔ α=iβ
χ-y=(1/√2)
-1
+i
λ=λy-=-ℏ/2
) ( )
) ( )
1
i
( )
Sx=(ℏ/2)
χ+x=(1/√2)
χ-x=(1/√2)
(
01
10
)
Sy=(ℏ/2)
1
1
χ+y=(1/√2)
+1
-1
χ-y=(1/√2)
( )
( )
(
0 -i
+i 0
1
i
)
( )
-1
( +i )
Sz=(ℏ/2)
χ+=
χ-=
1
0
( )
0
( 1)
(
10
0 -1
)
Esercizio: Assegnato il generico stato di spin
χ=
a
b
()
; ￨a￨2+￨b￨2=1
trovare i valori possibili di Sx, Sy, e Sz, e le corrispondenti
probabilità.
Come sempre, i valori possibili sono gli autovalori. Inoltre,
abbiamo già detto che dalla scrittura:
χ=
a
b
()
=aχ++bχ-=a
+b1
0
0
si capisce
subito che
1
( ) ( )
￨a￨2=Prob(Sz=+ℏ/2);
￨b￨2=Prob(Sz=-ℏ/2);
Adesso consideriamo Sx
χ=
a
b
()
=aχ++bχ-=a
χ= cχx++dχx-=c(1/√2)
+b1
0
0
1
( ) ( )
1
+d(1/√2)
1
+1
-1
( )
( )
￨c￨2=Prob(Sx=+ℏ/2);
￨d￨2=Prob(Sx=-ℏ/2);
Per trovarli basta calcolare c=＜χx+￨χ＞=
c=(a/√2)(1 1)
d=(a/√2)(1 -1)
1
0
( )
1
( 0)
+(b/√2)(1 1)
+(b/√2)(1 -1)
0
1
=(a+b)/√2
( )
0 =(a-b)/√2
( 1)
c=(a/√2)(1 1)
d=(a/√2)(1 -1)
1
0
( )
1
( 0)
+(b/√2)(1 1)
+(b/√2)(1 -1)
0
1
=(a+b)/√2
( )
0 =(a-b)/√2
( 1)
￨c￨2=Prob(Sx=+ℏ/2)=(1/2)(a+b)(a*+b*)=(1/2)(￨a￨2+￨b￨2+ba*+ab*)
￨d￨2=Prob(Sx=-ℏ/2)=(1/2)(a-b)(a*-b*)=(1/2)(￨a￨2+￨b￨2-ba*-ab*)
￨c￨2+￨d￨2= ￨a￨2+￨b￨2=1 (ok, prob. totale corretta).
Per trovare le probabilità relative a Sy ragiono nello stesso
identico modo:
χ=
a
b
()
=aχ++bχ-=a
χ= eχy++fχy-=e(1/√2)
+b1
0
0
1
( ) ( )
1
+f(1/√2)
i
-1
+i
( )
( )
￨e￨2=Prob(Sy=+ℏ/2);
￨f￨2=Prob(Sy=-ℏ/2);
Per trovarli basta calcolare e=＜χy+￨χ＞=
e=(a/√2)(1 i)
d=(a/√2)(-1 i)
1
0
( )
1
( 0)
+(b/√2)(1 i)
+(b/√2)(-1 i)
0
1
=(a-ib)/√2
( )
0 =(-ib-a)/√2
( 1)
e=(a/√2)(1 i)
d=(a/√2)(-1 i)
1
0
( )
1
( 0)
+(b/√2)(1 i)
+(b/√2)(-1 i)
0
1
=(a+ib)/√2
( )
0 =(ib-a)/√2
( 1)
￨e￨2=Prob(Sy=+ℏ/2)=(1/2)(a-ib)(a*+ib*)=(1/2)(￨a￨2+￨b￨2-iba*+iab*)
￨f￨2=Prob(Sy=-ℏ/2)=(1/2)(-ib-a)(ib*-a*)=(1/2)(￨a￨2+￨b￨2+iba*-iab*)
￨e￨2+￨f￨2= ￨a￨2+￨b￨2=1 (ok, prob. totale corretta).
Oss: Ovviamente, (1/2)(￨a￨2+￨b￨2+iba*-iab*)∈R come anche
(1/2)(￨a￨2+￨b￨2-iba*+iab*).
(z=x+iy, i(z-z*)=i(x+iy-x+iy)=-2y∈R)
^ autostati
^
Valori di aspettazione di Sx, Sy, e ^Sz sugli
di Sz.
＜χ+|Sz|χ+＞=(1/2)ℏm
＜χ-|Sz|χ-＞=-(1/2)ℏm
Sx|χ+＞=
(ℏ/2)
(
01
10
(
01
10
1
0
=(ℏ/2)
0
1
=(ℏ/2)
)( )
0
1
( ) =(ℏ/2)|χ-＞
＜χ+|Sx|χ+＞=0
Sx|χ-＞=
(ℏ/2)
＜χ-|Sx|χ-＞=0
)( )
1
0
( ) =(ℏ/2)|χ+＞
^
^ autostati
^
Valori di aspettazione di Sx, Sy, e ^Sz sugli
di Sz.
＜χ+|Sz|χ+＞=(1/2)ℏm
＜χ-|Sz|χ-＞=-(1/2)ℏm
＜χ+|Sx|χ+＞=0
＜χ-|Sx|χ-＞=0
Sy|χ+＞=
(ℏ/2)
(
0 -i
i0
(
0 -i
i0
1
0
=(ℏ/2)
0
1
=(ℏ/2)
)( )
0
i
=i(ℏ/2)|χ-＞
)
(
＜χ+|Sy|χ+＞=0
Sy|χ-＞=
(ℏ/2)
＜χ+|Sy|χ+＞=0
)( )
-i
0
( )
=-i(ℏ/2)|χ+＞
^
^ uno stato
^
Valori di aspettazione di Sx, Sy, e ^Sz su
generico
￨χ＞=a￨χ+＞+b￨χ-＞; ￨a￨2+￨b￨2=1.
Sx|χ＞=aSx￨χ+＞+bSx=a(ℏ/2)￨χ-＞+b(ℏ/2)￨χ+＞
⟨χ￨Sx|χ＞=(b*a+a*b)(ℏ/2)
Metodo alternativo:
⟨χ￨Sx|χ＞=P(Sx=ℏ/2)*ℏ/2+P(Sx=-ℏ/2)*(-ℏ/2)=
=(1/2)(￨a￨2+￨b￨2+ba*+ab*)ℏ/2=(ℏ/4)(2ba*+2ab*) CVD
(1/2)(￨a￨2+￨b￨2-ba*-ab*)ℏ/2=
^ uno stato
^
Valori di aspettazione di Sx, Sy, e ^Sz su
generico
￨χ＞=a￨χ+＞+b￨χ-＞; ￨a￨2+￨b￨2=1.
Sy|χ＞=aSy￨χ+＞+bSy=ia(ℏ/2)￨χ-＞-ib(ℏ/2)￨χ+＞
⟨χ￨Sy|χ＞=(-ia*b+ib*a)(ℏ/2)
Metodo alternativo:
⟨χ￨Sy|χ＞=P(Sy=ℏ/2)*ℏ/2+P(Sy=-ℏ/2)*(-ℏ/2)=
=(1/2)(￨a￨2+￨b￨2-iba*+iab*)ℏ/2-
(1/2)(￨a￨2+￨b￨2+iba*-iab*)ℏ/2=
=(ℏ/4)(2iab*-2ia*b) CVD (notare ancora che ∈R)
Operatori di abbassamento e innalzamento
^ ^
^
+
S =Sx+iSy
Via i “cappucci” …
^S-=Sx-iSy
^
^
S+￨χ+⟩=Sx￨χ+＞+iSy￨χ+＞=(ℏ/2)￨χ-＞(1-1)=0
S+￨χ-⟩=Sx￨χ-＞+iSy￨χ-＞=(ℏ/2)￨χ+＞(1+1)=ℏ￨χ+＞
S-￨χ+⟩=Sx￨χ+＞-iSy￨χ+＞=(ℏ/2)￨χ-＞(1+1)=ℏ￨χ-＞
S-￨χ-⟩=Sx￨χ-＞-iSy￨χ-＞=(ℏ/2)￨χ+＞(1-1)=0
S+￨χ+⟩=0
S+￨χ-⟩=ℏ￨χ+＞
S-￨χ+⟩=ℏ￨χ-＞
S-￨χ-⟩=0
L’operatore di innalzamento “aumenta di 1” il valore
di ms, entro i limiti consentiti. Si annulla quando agisce
su uno stato con componente ms massima (per s=1/2 è ammesso
solo passare da -1/2 a 1/2).
L’operatore di abbassamento “diminuisce di 1” il valore
di ms, entro i limiti consentiti. Si annulla quando agisce
su uno stato con componente ms minima (per s=1/2 è ammesso
solo passare da 1/2 a -1/2).
Sono più interessanti quando si considerano spin maggiori di
1. In generale, vale il seguente risultato:
S+￨s ms＞=ℏ s(s+1)-ms(ms+1) ￨s (ms+1)＞; ms=-s,-s+1,…,s-1,s
S-￨s ms＞=ℏ s(s+1)-ms(ms-1) ￨s (ms-1)＞; ms=-s,-s+1,…,s-1,s
Se faremo a tempo vi farò vedere come si possono
determinare gli autovalori di un qualunque operatore
momento angolare sfruttando gli operatori di abbassamento
e innalzamento.
Per il momento angolare orbitale essi saranno definiti da ..
^ ^
^
+
L =Lx+iLy
^L-=Lx-iLy
^
^
Particella con solo gradi di libertà di spin in un campo magnetico
Per un elettrone:
^
μS=-gsγS
^
(con gs=2, “anomalia di spin”; γ=e/2me)
Nel caso più generale, diciamo
^
μS=+ΓS
^
^
(con gs=2, “anomalia di spin”; γ=e/2me);
^
H=-ΓS·B
^
^
H=-ΓS·B
Adesso considero una particella con spin 1/2, non necessariamente
un elettrone, e oriento l’asse z come il campo magnetico, supposto
uniforme e di intensità B0:
H=-ΓSzB
^
^ o, ovvero:
H=-ΓBo(ℏ/2)
(
10
0 -1
)
E’ evidente che gli autostati di H sono gli stessi di Sz:
χ+, con energia E=E+=-ΓBo(ℏ/2)≡-ℏΔ
χ+, con energia E=E-=+ΓBo(ℏ/2)≡+ℏΔ
Assegnato il generico stato iniziale χ(o)=
a
b
( )
χ(t)=c+χ+e+iΔt+c-χ-e-iΔt
χ(t)=c+χ+e+iΔt+c-χ-e-iΔt
χ(0)=c+χ++c-χ-=aχ++bχc+=＜χ+│χ(0)＞=a; c-=＜χ-│χ(0)＞=b
χ(t)=aχ+e+iΔt+bχ-e-iΔt
=
(
ae+iΔt
be-iΔt
)
Diamo un’interpretazione fisica a questo stato.
Oss: │a│2+│b│2=1 . Supponiamo a, e b reali.
Possiamo allora considerarli come punti appartenenti alla
circonferenza goniometrica nel piano (a,b).
χ(t)=aχ+e+iΔt+bχ-e-iΔt
=
(
ae+iΔt
be-iΔt
)
Diamo un’interpretazione fisica a questo stato.
Oss: │a│2+│b│2=1 . Supponiamo a, e b reali.
Possiamo allora considerarli come punti appartenenti alla
circonferenza goniometrica nel piano (a,b). Quindi ∃ β tale
per cui: a=cos(β); b=sin(β). Preso α=2β➞
χ(t)=aχ+e+iΔt+bχ-e-iΔt
=
(
cos(α/2)e+iΔt
sin(α/2)e-iΔt
)
Bene, adesso calcoliamo il valore di aspettazione di Sx, Sy, e Sz
in questo stato
χ(t)=aχ+e+iΔt+bχ-e-iΔt
=
(
cos(α/2)e+iΔt
sin(α/2)e-iΔt
)
Bene, adesso calcoliamo il valore di aspettazione di Sx, Sy, e Sz
in questo stato
Szχ(t)=(ℏ/2)cos(α/2)e+iΔtχ+-(ℏ/2)sin(α/2)e-iΔt χ-➞＜Sz＞=
=(ℏ/2)＜cos(α/2)e+iΔtχ++sin(α/2)e-iΔt χ-│cos(α/2)e+iΔtχ+-sin(α/2)e-iΔt χ-＞
=(ℏ/2)[cos2(α/2)-sin2(α/2)]=
=(ℏ/2)cos(α)
(cos(2x)=cos2(x)-sin2(x))
＜Sz＞=(ℏ/2)cos(α) OVVIAMENTE, INDIPENDENTE DAL TEMPO
χ(t)=aχ+e+iΔt+bχ-e-iΔt
Sxχ(t)=
(ℏ/2)
(
01
10
=
)(
(
cos(α/2)e+iΔt
sin(α/2)e-iΔt
cos(α/2)e+iΔt
sin(α/2)e-iΔt
)
)
=(ℏ/2)
(
sin(α/2)e-iΔt
cos(α/2)e+iΔt
➞＜Sx＞
=
=(ℏ/2)
( cos(α/2)e
sin(α/2)e+iΔt
-iΔt
)(
sin(α/2)e-iΔt
cos(α/2)e+iΔt
)
＜Sx＞=[cos(α/2)sin(α/2)e-2iΔt+cos(α/2)sin(α/2)e+2iΔt](ℏ/2)
＜Sx＞=(ℏ/2)(1/2)sin(α)(e+2iΔt+e-2iΔt)
(sin(2x)=2sinxcosx)
＜Sx＞=(ℏ/2)sin(α)cos(2Δt)
)
χ(t)=aχ+e+iΔt+bχ-e-iΔt
Syχ(t)=
(ℏ/2)
(
0 -i
i 0
=
)(
(
cos(α/2)e+iΔt
sin(α/2)e-iΔt
cos(α/2)e+iΔt
sin(α/2)e-iΔt
)
)
=(ℏ/2)
(
-i sin(α/2)e-iΔt
i cos(α/2)e+iΔt
)
➞＜Sy＞
=
=(ℏ/2)
( cos(α/2)e
sin(α/2)e+iΔt
-iΔt
)(
-i sin(α/2)e-iΔt
i cos(α/2)e+iΔt
＜Sy＞=[-i cos(α/2)sin(α/2)e-2iΔt+i cos(α/2)sin(α/2)e+2iΔt](ℏ/2)
＜Sy＞=(ℏ/2)(1/2)sin(α)i(e+2iΔt-e-2iΔt)
＜Sy＞=-(ℏ/2)sin(α)sin(2Δt)
)
＜Sz＞=(ℏ/2)cos(α)
ΓBo(ℏ/2)≡ℏΔ
Δ=ΓBo/2
＜Sx＞=(ℏ/2)sin(α)cos(ΓBot)
＜Sy＞=-(ℏ/2)sin(α)sin(ΓBot)
w=ΓBo=“Frequenza di Larmor”.
Notare che ＜Sx＞2+＜Sy＞2=(ℏ/√2)2sin2(α)
＜Sx＞=(ℏ/2)sin(α)cos(wt)
＜Sx＞2+＜Sy＞2=(ℏ/√2)2sin2(α)
＜Sy＞=-(ℏ/2)sin(α)sin(wt)
＜Sz＞=(ℏ/2)cos(α)
z
w
Oss. Classicamente, se un
momento di dipolo magnetico
α
a t=0 forma un angolo
con il campo, la conservazione
dell’energia mi dice che il
“moto di precessione” illustrato
è l’unico possibile.
→
＜S＞=(＜Sx＞,＜Sy＞,＜Sz＞)
α
y
x
Moto di “precessione alla Larmor”
Ci si deve sempre aspettare “comportamento classico” dei valori medi, a causa del
“Teorema di Ehrenfest”, che abbiamo dimostrato:
d
i
<Â(t)>=
<[Ĥ,Â]> +<
ℏ
dt
^ ^
Mettiamoci in 1D; H=p2/2m+U(x);
i
d
^
^
<[Ĥ,p]>=
<p(t)>=
dt
ℏ
t
Â>
i <[U(x),p]>=
^
ℏ
d
^
i <[U(x),p]>
^
<p(t)>=
ℏ
dt
i <[U(x),p]>=∫Ψ
*U(x)∂ Ψdx-∫Ψ*∂ [U(x)Ψ]dx
^
x
x
ℏ
=∫Ψ*U(x)∂xΨdx-∫Ψ*∂x[U(x)]Ψ)dx-∫Ψ*U(x)∂xΨdx
i <[U(x),p]>=-∫Ψ*∂x[U(x)]Ψ)dx=<-∂x[U(x)]>➞
ℏ
d
^
<p(t)>=<F> (II legge di Newton)
dt
d
^
^
<x(t)>=<p>/m
dt
Principio di corrispondenza (classica/quantistica)
d
^
^
<x(t)>=<p>/m
dt
^ ^
Mettiamoci in 1D; H=p2/2m+U(x);
i
d
^
^
<[Ĥ,x]>=
<x(t)>=
ℏ
dt
i <[p^2/2m,x]>=
^
ℏ
^ ^
[p,x]=-iℏ➞px-xp=-iℏ
^
[p^2,x]=
ppx-xpp=ppx-pxp-iℏp=p(px-xp)-iℏp=-2iℏp
d
^
dt
^
<x(t)> =<p>/m
^2,x]=-2iℏp
^
[p
Oss:
è un esempio delle relazioni valide in
generale:
^ ^
[x,G(px,py,pz)]=iℏ∂
px(G)
^
^
[F(x,y,z),px]=iℏ∂
x(F)
Altro esempio: U(x,y,z)=ax2+by3+cz2➞
[U(x,y,z),py]=iℏ3by2
Funzioni d’onda dipendenti da spin e posizione
Se l’hamiltoniana di un sistema non contiene termini che
dipendono dallo spin, come ad esempio:
2
[
[
Ĥ=-ℏ
2m
2
Ĥ -ℏ
= 2m
1 ∂
r2 ∂r
(
r2 ∂
∂r
1
r2sinθ
)+
2
2
2
∂
∂
∂
+
+
∂z2
∂x2
∂y2
]
Ĥ=f(posizioni, ma anche momenti)
∂
∂θ
(
sinθ ∂
∂θ
)+
1
r2sin2θ
2
]
∂
∂φ 2
+V(r)
Funzioni d’onda dipendenti da spin e posizione
Se l’hamiltoniana Ĥ di un sistema non contiene termini che
dipendono dallo spin, allora
∧ ∧2
∧∧
[H,S ]=[H,Sz]=0
infatti gli operatori di spin agiscono su “nuovi gradi di libertà”
che nulla hanno a che vedere con i “soliti”. Indipendentemente
da come agiscono, già questo mi basta per concludere che le
parentesi di commutazione qui sopra riportare sono nulle.
Se l’hamiltoniana Ĥ di un sistema non contiene termini che
∧ ∧2
∧∧
dipendono dallo spin, allora
[H,S ]=[H,Sz]=0
ma allora i due operatori di spin e l’hamiltoniana devono
ammettere un sistema comune di autovettori. Ora, se prendo
fn(x,y,z), con Ĥfn=Enfn, e la moltiplico per uno spinore χ,
Ĥχfn(x,y,z)=χĤfn(x,y,z)=Enχfn(x,y,z),
quindi fn(x,y,z) moltiplicata per un qualunque spinore è ancora un’autofunzione di Ĥ
corrispondente a En. Parimenti, se prendo ad esempioχ=χ+, allora
Szχ+f(x,y,z)=f(x,y,z)Szχ+=ℏmf(x,y,z)χ+ e quindi un autospinore
moltiplicato per una qualunque funzione della posizione è ancora
un autospinore relativo al medesimo autovalore.
(Notare che n qui rappresenta un indice “riassuntivo” di una terna)
Morale: se l’hamiltoniana Ĥ di un sistema non contiene termini che
dipendono dallo spin, allora costruire gli autostati è facile.
￨n⟩=fn(x,y,z); Ĥ￨n⟩=En￨n⟩; (prima di conoscere lo spin)
￨n,s,ms⟩=fn(x,y,z)χms; Ĥ￨n,s,ms⟩=En￨n,s,ms⟩; (valida per Ĥ indipendente
dallo spin)
dove χms è l’autospinore dell’operatore Sz per una particella con
spin s (fissato, è inutile ri-specificarlo) e autovalore di Sz pari
a ms. Per un elettrone ci sono solo due valori possibili:
χ+(1/2)≡χ+=
e1
χ(-1/2)≡χ-=
0
()
0
1
( )
￨n,s,ms⟩=fn(x,y,z)χms; Ĥ￨n,s,ms⟩=En￨n,s,ms⟩; (valida per Ĥ indipendente
dallo spin)
χ+(1/2)≡χ+=
e1
χ(-1/2)≡χ-=
0
0
1
( )
( )
quindi l’effetto dello spin è quello di trasformare
l’autofunzione originale in un oggetto a due componenti, quella
“up” e quella “down” (una per ogni valore di ms)
fn(x,y,z)->
(
f↑(x,y,z)
f↓(x,y,z)
)
componente “up”
componente “down”
Una generica funzione d’onda dipendente da posizione e spin
si potrà scrivere:
f(x,y,z,ms,t), con x,y,z variabili continue, e ms che può assumere
2s+1 valori. Per un elettrone saranno solo due valori. Sono del
tutto equivalenti le scritture f(x,y,z,ms,t); ms=-s,…,-1,0,1,…,s e:
(
f1(x,y,z,t)
…
…
f(2s+1)(x,y,z,t)
)
dove fw(x,y,z,t)=f(x,y,z,s-ms+1,t)
e w=0,1,…,2s+1
Alcuni libri usano la notazione
intermedia
f(x,y,z,w,t), w=0,1,…,2s+1
Il prodotto scalare in questo spazio di Hilbert esteso ai gradi
di libertà di spin manterrà le caratteristiche tipiche del prodotto
interno già visto:
＜f(x,y,z,ms,t)│g(x,y,z,ms,t)＞=
∑ms ∫∫∫f*(x,y,z,ms,t)g(x,y,z,ms,t)dxdydz
La normalizzazione si scriverà:
2
＜f(x,y,z,ms,t)│f(x,y,z,ms,t)＞=1=∑ms ∫∫∫│f(x,y,z,ms,t)│
│f(x,y,z,ms,t)│
2
dxdydz
dxdydz
= probabilità di trovare la particella
con valore di Sz pari a ms nel volumetto
attorno a (x,y,z). In generale:
∫∫∫ │f(x,y,z,ms,t)│
2
dxdydz ≤ 1
= probabilità di trovare la particella
con valore di Sz pari a ms.
Ancora sul prodotto interno:
＜f(x,y,z,ms,t)│g(x,y,z,ms,t)＞=
∑ms ∫∫∫f*(x,y,z,ms,t)g(x,y,z,ms,t)dxdydz
può anche essere scritto nella forma “integrale dell’usuale prodotto
interno tra un vettore riga e uno colonna” usando la notazione
alternativa:
＜f(t)│g(t)＞=
∫∫∫
*
*
dxdydz(f1(x,y,z,t) …f(2s+1)(x,y,z,t))
(
g1(x,y,z,t)
…
…
g(2s+1)(x,y,z,t)
)
Autovalori e autofunzioni dell’atomo di idrogeno considerando
lo spin.
Lo spin è un momento magnetico. In assenza di campi
magnetici esterni e trascurando effetti “fini” o “iperfini”,
l’hamiltoniana rimane la solita …
2
[
Ĥ=-ℏ
2m
1 ∂
r2 ∂r
(
r2 ∂
∂r
)+
1
r2sinθ
∂
∂θ
(
sinθ ∂
∂θ
Quindi, evidentemente
[S^2,Ĥ]=[Sz^,Ĥ]=0
e le “vecchie” autofunzioni │n,l,m＞ diventano delle
│n,l,m,s,ms＞=│n,l,m,1/2,ms＞≡│n,l,m,ms＞, ovvero
)+
1
r2sin2θ
2
]
∂
∂φ 2
+V(r)
│n,l,m,s,ms＞=│n,l,m,1/2,ms＞≡│n,l,m,ms＞, ovvero
Rnl(r)Ylm(θ,φ)χ+ per ms=1/2
Rnl(r)Ylm(θ,φ)χ-
per ms=-1/2
Gli autovalori corrispondenti En non cambiano, ma se senza
spin avevo due indici di degenerazione (l,m), ora la
degenerazione raddoppia per effetto dello spin.
Es: n=1,l=0,m=0 senza spin non era degenere. Ora ha
degenerazione 2.
2
[
Ĥ=-ℏ
2me
1 ∂
r2 ∂r
(
r2 ∂
∂r
)+
∂
∂θ
1
r2sinθ
(
sinθ ∂
∂θ
)+
1
r2sin2θ
2
]
∂
∂φ 2
Come cambia in presenza di un campo magnetico esterno B0
(uniforme, orientato lungo z)? Per motivi che saranno chiari più
avanti lo immagineremo FORTE.
Devo aggiungere all’hamiltoniana il “termine alla Zeeman”:
^ Sz) ^
Ĥ =(eB /2m )(Lz+g
Z
0
e
s
Hey, ma le autofunzioni dell’atomo idrogeno imperturbato
sono ancora autofunzioni!!!
Ĥ│n,l,m,ms＞=En│n,l,m,ms＞
(Ĥ+ĤZ)│n,l,m,ms＞=En│n,l,m,ms＞+(eB0/2me)(Lz+gsSz)│n,l,m,ms＞
=En│n,l,m,ms＞+(B0eℏ/2me)(m+gsmS)│n,l,m,ms＞
+V(r)
(Ĥ+ĤZ)│n,l,m,ms＞=En│n,l,m,ms＞+(eB0/2me)(Lz+gsSz)│n,l,m,ms＞
=En│n,l,m,ms＞+(B0eℏ/2me)(m+gsmS)│n,l,m,ms＞
=[En+μB B0 (m+gsmS)]│n,l,m,ms＞, con μB≡eℏ/(2me)≈6x10-5 eV/T
magnetone di Bohr
Quindi, in presenza di un campo magnetico FORTE che agisce su
un atomo di idrogeno, e ignorando la “struttura fine”,
le autofunzioni rimangono le stesse del sistema
imperturbato. L’energia dei livelli cambia: si rompe la
degenerazione sia in m sia in ms (livelli En,m,ms)
En,m,ms=[En+μB B0 (m+gsmS)]│n,l,m,ms＞
Esempio: n=2. Ricordiamo che gs≈2
SENZA CAMPO:
CON CAMPO:
1,1,+1/2
0,0,+1/2
1,0,+1/2
1,-1,+1/2
E=E2
2s
l=0
m=0
ms=±1/2
0,0,±1
2p
l=1
m=0,±1
ms=±1/2
1,0,±1/2
e
1,±1,±1/2
1,1,-1/2
0,0,-1/2
1,0,-1/2
1,-1,-1/2
Essenzialmente ho 4 stati distinti
(ma occhio alle regole di selezione ..)
Effetto Zeeman “forte” o “normale”.
En,m,ms=[En+μB B0 (m+gsmS)]│n,l,m,ms＞
Il campo deve essere forte rispetto a cosa?
L’effetto è “normale” rispetto a quale “anomalia”?
