Supponiamo che il sistema di trovi sul generico stato Ψ(x,t), e consideriamo
un’osservabile fisica A.
<Â>≡<Ψ(x,t)|ÂΨ(x,t)>. In generale, <Â> dipenderà da t. Bene, calcoliamo la
sua derivata temporale. Consideriamo pure il caso
generale in cui  possa dipendere esplicitamente dal tempo (caso che comunque non
considereremo mai, ma complica di pochissimo
la dimostrazione, e potrà esservi utile in futuro), per cui
<Â>≡<Ψ(x,t)|Â(t)Ψ(x,t)>
Step 1. Dimostriamo che
d
<Â(t)>=<∂tΨ|ÂΨ>+<Ψ|(∂tÂ)Ψ>+<Ψ|Â∂tΨ>
dt
Non dipende da x
d<Â>≡d <Ψ(x,t)|Â(t)Ψ(x,t)>
dt
dt
potrebbe essere
anche dxdydz,
nulla cambia
*
Ψ(x,t) Â(t)Ψ(x,t) dx
Adesso porto la derivata sotto il segno di integrale. Dato che
agirà su funzioni che dipendono anche da un’altra variabile (x),
per correttezza formale uso il simbolo di derivata parziale.
d
*
Ψ(x,t) Â(t)Ψ(x,t)
dt
*
{
*
Ψ(x,t) [Â(t)Ψ(x,t)]
t
Semplifico il formalismo!
[(
*
) ÂΨ +Ψ
Ψ
t
dx=
[Â(t)Ψ(x,t)]
+Ψ(x,t)
}
*
dx
(ÂΨ)]
t
t
dx
d
<Â(t)> =
*
)
ÂΨ +Ψ
Ψ
t
[(
dt
[(
*
*
*
*
) ÂΨ +Ψ ( Â)Ψ+Ψ Â (
Ψ
t
t
< Ψ|ÂΨ>+<Ψ|(
t
Â)Ψ>+<Ψ|Â
t
dx=
(ÂΨ)]
t
)]=
Ψ
t
Ψ>
t
Step 2. Consideriamo l’equazione di Schrödinger e vediamone
l’effetto sul secondo membro dell’eguaglianza:
d
dt
<Â(t)>= < Ψ|ÂΨ>+<Ψ|(
t
Â)Ψ>+<Ψ|Â
t
Ψ>
t
ĤΨ=iℏ
d
dt
d
d
Ψ
<Â(t)>= < Ψ|ÂΨ>+<Ψ|(
t
t
<ĤΨ
|ÂΨ>+<Ψ|(
iℏ
t
<Â(t)>=
dt
t
Â)Ψ>+<Ψ|Â
Ψ>
t
Â)Ψ>+<Ψ|ÂĤΨ>
iℏ
i
[< ĤΨ
|ÂΨ>-<Ψ|ÂĤΨ>]+<
<Â(t)>=
ℏ
dt
Â
t>
d
d
d
i
[< ĤΨ
|ÂΨ>-<Ψ|ÂĤΨ>]+<
<Â(t)>=
ℏ
dt
Â
t>
i
[< Ψ|ĤÂΨ>-<Ψ|ÂĤΨ>]+<
<Â(t)>=
ℏ
dt
Â
t>
i
[< Ψ|(ĤÂ-ÂĤ)Ψ>]
<Â(t)>=
ℏ
dt
E finalmente ......
+
<
Â
t>
d
+
i
<Â(t)>=
<[Ĥ,Â]>
<
ℏ
dt
t
Â
>
Risultato molto importante. Prende il
nome di “Teorema di Ehrenfest”.
d
+
i
<Â(t)>=
<[Ĥ,Â]>
<
ℏ
dt
t
Â
>
Conseguenza 1: se considero un hamiltoniana indipendente dal tempo (sempre in
questo corso), allora entrambi gli addendi a destra si annullano:
d
<Ĥ>=
dt 0
E’ l’equivalente classico della conservazione dell’energia per un sistema isolato.
d
+
i
<Â(t)>=
<[Ĥ,Â]>
<
ℏ
dt
t
Â
>
Conseguenza 2: se considero un operatore indipendente dal tempo (sempre in
questo corso), allora:
d
i
<Â(t)>=
<[Ĥ,Â]>
ℏ
dt
In meccanica quantistica un’osservabile è una COSTANTE DEL MOTO sse
l’operatore ad essa associato commuta con l’hamiltoniana.
d
<Â(t)>=0
dt
⃡
<[Ĥ,Â]>=0
In meccanica quantistica un’osservabile è una COSTANTE DEL MOTO sse
l’operatore ad essa associato commuta con l’hamiltoniana. Quindi, ormai sappiamo
che se
<[Ĥ,Â]>=0
A e H sono due osservabili compatibili
A e H sono diagonalizzabili simultaneamente, i.e. hanno autofunzioni comuni
A è una costante del moto
d
+
i
<Â(t)>=
<[Ĥ,Â]>
<
ℏ
dt
t
Â> (*)
Vediamo una terza conseguenza, sfruttando anche
il principio di indeterminazione generalizzato che,
per la coppia di operatori Ĥ (hamiltoniano), Â (generico operatore associato a
un’osservabile) si scrive:
σ2(Ĥ)σ2(Â)
≥
[(1/2i)<[Ĥ,Â]>]2
Considerando i due operatori indipendenti dal tempo,
la (*) mi dice che
dℏ
<[Ĥ,Â]>=
<Â(t)>⇒
i dt
σ2(Ĥ)σ2(Â)
≥
[(1/2i)
d
<Â(t)>]2
dt
=(ℏ/2)2[
σ(Ĥ)σ(Â)≥
d
ℏ
<Â(t)>]2=
i dt
d
(ℏ/2) | <Â(t)>|
dt
Adesso pongo:
ΔE≡σ(Ĥ) e Δt≡
σ(Â)
| d <Â(t)> dt |
ΔE≡σ(Ĥ) e Δt≡
σ(Â)
E’ del tipo spazio/velocità
| d <Â(t)> dt |
Questo è solo un cambiamento di nome
Mi dice quanto devo aspettare prima che <Â(t)> cambi di
un σ(Â), insomma è una misura sensata di un tempo caratteristico che provoca un
cambiamento non trascurabile di valore in <Â(t)>. Come tale, dipenderà
criticamente dall’osservabile in questione.
Notare che è una definizione di “Δ” concettualmente diversa da quelle date finora in
termini di deviazione standard. In effetti, il tempo NON è una osservabile fisica.
NON sto parlando di una deviazione standard su una distribuzione di probabilità
dell’osservabile tempo.
σ(Ĥ)σ(Â)≥
d
(ℏ/2) | <Â(t)>|
dt
σ(Â)
ΔE≡σ(Ĥ) e Δt≡
| d <Â(t)> dt |
ΔEΔt ≥ ℏ/2
Principio di indeterminazione
energia-tempo.
Esercizio (già svolto): Si
la densità
di probabilità lineare
per la funzione
d’onda
Ψ calcoli
dalla combinazione
degli stati
(x,t) data
stazionari
Ψ1 (x,t) e Ψ2
(x,t). Si considero tutte e tre le funzioni d’onda reali
-i Eit
Ψ (x,t)=c1 Ψ1 (x,t)+ c2 Ψ (x,t)
2
| Ψ (x,t)|2=
Ψ (x,t)= Φ (x) e
i
i
c12 Φ12 + c22 Φ 22 +2c1c2 Φ1 Φ2
>
<Ψ| Â(x,p) Ψ
i=1,2
cos[(E1-E2)t/ ]
In generale sarà dipendente dal tempo se
la
NON è stazionaria.
Ψ
Ok, ma da quello che abbiamo appena visto, se Â≡Ĥ
<Ψ|ĤΨ>
non deve dipendere dal tempo, nonostante
lo stato NON sia stazionario.
-i Eit
Ψ (x,t)=c1 Ψ1 (x,t)+ c2 Ψ (x,t)
2
Ψ (x,t)= Φ (x) e
i
i
ĤΦ =EiΦi
i
| Ψ (x,t)|2=
c12 Φ12 + c22 Φ 22 +2c1c2 Φ1 Φ2
Ok, dimostriamolo esplicitamente ...
cos[(E1-E2)t/ ]
i=1,2
Ok, ma da quello che abbiamo appena visto, se Â≡Ĥ
<Ψ|ĤΨ>
non deve dipendere dal tempo, nonostante
lo stato NON sia stazionario.
<[c1Φ1(x)e(-itE1/ℏ)+ c2Φ2(x)e(-itE2/ℏ)] | Ĥ[c1Φ1(x)e(-itE1/ℏ)+ c2Φ2(x)e(-itE2/ℏ)]>
<[c1Φ1(x)e(-itE1/ℏ)+ c2Φ2(x)e(-itE2/ℏ)] | E1c1Φ1(x)e(-itE1/ℏ)+E2c2Φ2(x)e(-itE2/ℏ)>
<c1Φ1(x)e(-itE1/ℏ)| E1c1Φ1(x)e(-itE1/ℏ)>=E1|c1|2 dato che <Φ1(x)|Φ1(x)>=1
<c1Φ1(x)e(-itE1/ℏ)| E2c2Φ2(x)e(-itE2/ℏ)>=0 dato che <Φ1(x)|Φ2(x)>=0 ...
<Ψ|ĤΨ>=E1|c1|2+E2|c2|2 indipendente da t
Generalizziamo!
-i Eit
Ψ (x,t)= Φ (x) e
i
i
i=1,2,3,.....,∞
ĤΦ =EiΦi
i
Un generico stato può sempre(*) essere scritto come
Ψ(x,t)=∑iciΦi(x)e(-itEi/ℏ)
<Ψ|ĤΨ>=<∑iciΦi(x)e(-itEi/ℏ)|Ĥ∑jcjΦj(x)e(-itEj/ℏ)>
(*)In realtà per gli operatori hamiltoniani che ammettono (anche) spettro continuo occorre un’estensione, la vedremo!
<Ψ|ĤΨ>=<∑iciΦi(x)e(-itEi/ℏ)|Ĥ∑jcjΦj(x)e(-itEj/ℏ)>
<Ψ|ĤΨ>=∑i,j<ciΦi(x)e(-itEi/ℏ)|EjcjΦj(x)e(-itEj/ℏ)>
<Ψ|ĤΨ>=∑i,j ci*Ejcj e(itEi/ℏ) e(-itEj/ℏ) <Φi(x)|Φj(x)>
<Ψ|ĤΨ>=∑i,j ci*Ejcj e(itEi/ℏ) e(-itEj/ℏ)δij
<Ψ|ĤΨ>=∑i |ci|2Ei
<Ψ|ĤΨ>=<∑iciΦi(x)e(-itEi/ℏ)|Ĥ∑jcjΦj(x)e(-itEj/ℏ)>
<Ψ|ĤΨ>=∑i |ci|2Ei
All’interno di una qualunque teoria probabilistica, se Pi è la
probabilità di ottenere il risultato (E=Ei), allora
<E>=∑i PiEi=1, con ∑iPi =1.
E’ quindi normale interpretare |ci|2 come
probabilità di trovare il sistema nello stato
i-esimo. Ovviamente, vale ∑i |ci|2 = 1, infatti:
1=<Ψ|Ψ>=<∑iciΦi(x)e(-itEi/ℏ)|∑jcjΦj(x)e(-itEj/ℏ)>
1=∑i,j ci*cj* e(itEi/ℏ) e(-itEj/ℏ) <Φi(x)|Φj(x)>
E
*
*
(it
1=∑i,j ci cj e i/ℏ)
E
(-it
e j/ℏ)δij
1=∑i |ci|2
<Ψ|ĤΨ>=∑i |ci|2Ei
<Ψ|ĤΨ>=∑i |ci|2Ei
Se un sistema fisico si trova in un generico stato, una misura della
sua energia darà sempre un valore corrispondente ad un autovalore
dell’energia stessa, e il sistema, subito dopo la misura, si troverà
nell’autostato corrispondente. Ma se preparo tanti sistemi identici in
modi identici e, a tempi uguali, effettuo la stessa misura, diverse
misure forniranno autovalori diversi. L’energia media è calcolata come
(valore possibile di energia Ei)x(probabilità |ci|2 di trovare il sistema
con quell’energia in una singola misura)
Sistemi identici preparati nello stesso stato
ψ(x,t)
ψ(x,t)
ψ(x,t)
ψ(x,t)
ψ(x,t)
Misura: valor medio
di energia nello stato iniziale
= media dei valori ottenuti
E1
ψ1(x,t)
E5
ψ5(x,t)
E3
E2
ψ3(x,t)
ψ2(x,t)
E1
ψ1(x,t)
Dopo la misura cambia tutto: i singoli sistemi non si trovano più nello stesso stato, ma
nell’autostato corrispondente al valore di E misurato.
Matematicamente, l’effetto di una misura è quello di selezionare una sola componente della
funazione d’onda, il che matematicamente
viene ottenuto proiettandola sull’autostato
E
(-it
ψ(x,t)=∑iciΦi(x)e i/ℏ)
<Φk(x)|ψ(x,t)>=ck
=[∑ici<Φi(x)|Φi(x)>e(-itEi/ℏ)]Φk(x)=ckΦk(x)
lo stato finale normalizzato sarà dato da:
<Φk(x)|ψ(x,t)>Φk(x)
<Φk(x)|ψ(x,t)>
=Φk(x)
Sistemi identici preparati nello stesso autostato
ψ3(x,t)
ψ3(x,t)
ψ3(x,t)
ψ3(x,t)
ψ3(x,t)
Misura: valor medio
di energia nello stato iniziale
= media dei valori ottenuti
= risultato singola misura
E3
E3
E3
E3
ψ3(x,t)
ψ3(x,t)
ψ3(x,t)
ψ3(x,t)
E3
ψ3(x,t)
Generalizzazione: preso un operatore  associato a un’osservabile fisica, le
sue autofunzioni:
Âfi(x)=aifi(x)
sono un sistema ortonormale completo, per cui posso sempre scrivere:
ψ(x,t)=∑ici(t)fi(x)
Rispetto al caso Â=Ĥ, la dipendenza dal tempo non è esplicitata,
ma racchiusa nei coefficienti (immaginate di ripetere uno
sviluppo ad ogni tempo fissato). Ripetendo i conti fatti prima si verifica subito che:
ci(t)=<fi(x)|ψ(x,t)> con
1=∑i |ci|2
Âfi(x)=aifi(x)
ψ(x,t)=∑ici(t)fi(x)
ci(t)=<fi(x)|ψ(x,t)> con
1=∑i |ci|2
Probabilità di trovare il sistema nell’autostato i-esimo di Â.
Se misuro l’osservabile, lo stato immediatamente dopo la misura
coincide con l’autostato corrispondente. Se ripeto tante misura
su sistemi identici preparati allo stesso modo, trovo (dim come prima):
<Ψ|ÂΨ>=∑i |ci(t)|2ai
<Ψ|ÂΨ>=∑i |ci(t)|2ai
<Ψ|ĤΨ>=∑i |ci|2Ei
Se Â=Ĥ i coefficienti non dipendono dal tempo, perchè Ĥ è una costante
del moto. La dipendenza dal tempo si perde per ogni costante del moto,
ovvero per ogni operatore (indipendente dal tempo) tale da soddisfare:
[Â,Ĥ]=0
Sulle osservabili compatibili ....
Due operatori hermitiani  e Ĉ commutano ([Â,Ĉ]=0) sse possiedono un
sonc di autovettori comuni:
Âφrs(x)=arφrs(x);
Ĉφrs(x)=csφrs(x); dove r ed s sono indici interi.
E’ equivalente al risultato visto durante il ripasso di Algebra Lineare: due
matrici commutano sse possono
essere diagonalizzate simultaneamente (la matrice che realizza il
cambiamento di base è quella degli autovettori).
No dim, lo capiremo meglio con un esempio importante.
Postulati della Meccanica Quantistica.
(i) Ad ogni sistema fisico C è associabile un opportuno spazio di Hilbert. Ogni stato
del sistema fisico può essere rappresentato mediante un opportuno elemento dello
spazio di Hilbert, con norma unitaria. L’evoluzione temporale di tale stato è
determinata dall’Equazione di Schrödinger.
(ii) Ad ogni osservabile A corrisponde un operatore autoaggiunto  (o hermitiano)
che opera nello spazio di Hilbert associato al sistema. I valori misurabili della
grandezza A
corrispondono ai suoi autovalori.
(iii) Effettuare una misura di un’osservabile equivale a proiettare lo stato del sistema
sull’autostato (opportunamente
normalizzato) relativo all’autovalore della grandezza corrispondente alla misura.
