VariabiliAleatorie

Variabili aleatorie
Una variabile aleatoria (o casuale) è un’etichetta di tipo numerico
che si assegna al risultato di un esperimento.
Definizione:
Sia E un esperimento ideale e S lo spazio campionario dei
possibili esiti  . Una variabile aleatoria è una funzione:
: S  ,
  ()
In alcuni casi gli esiti di un esperimento possono essere considerati numeri naturali
in modo naturale.
Esempio:
lancio di un dado
S={1,2,3,4,5,6}
X(k)=k,
k=1,2,…,6
In atri casi si definisce un’opportuna codifica.
Esempio:
lancio di una moneta
S={C,T}
(C)=0
(T)=1
Variabili aleatorie
Consideriamo due tipi di variabili aleatorie (v.a.)
V.a. discrete
v.a. che assumono un numero
finito o numerabile di valori
v. a. continue
v.a. che assumono un insieme di valori
che “ha la potenza del continuo”
Ad esempio i valori assunti
da tali variabili possono essere tutti i
numeri reali  , solo un intervallo
[a,b] o una semiretta [a,+oo[
2
v.a. discrete
Esempi
v.a. che assumono un numero
finito o numerabile di valori
Esperimento
Lancio della moneta
due possibili realizzazioni
TESTA o CROCE
Lancio di un dado equo
Il numero di telefonate in un call
center in un prefissato intervallo
di tempo T sapendo che in media
arriva una telefonata ogni 20 secondi
V.a. discreta
V.a. di Bernoulli (1654-1705)
Variabile dicotomica con due
possibili realizzazioni 0 e 1 e con
rispettive probabilità p e 1-p.
V.a. uniforme discreta
Variabile con k possibili
realizzazioni equiprobabili
con rispettive probabilità p= 1/k
V.a. di Poisson
Variabile che assume tutti
i valori naturali.
Legge degli eventi rari.
3
v. a. continue
v.a. che assumono un insieme di valori che
“ha la potenza del continuo
Esempi
Esperimento
Far ruotare una bottiglia e
misurare l’angolo che forma rispetto
ad una prefissata direzione
(tutti i valori tra 0 e 360 gradi escluso
sono equiprobabili )
Si esegue una delle seguenti misure
- la lunghezza di una trave,
- la densità dell’azoto,
- il peso di un individuo
V.a. continua
V.a. uniforme continua
Variabile con un continuo di
possibili realizzazioni tutte
equiprobabili
V.a. normale o gaussiana
Variabile che ammette come realizzazioni
tutti i valori reali. Fissato un valore centrale
μ, la probabilità di una valore dipende solo
dalla distanza da μ. Valori più vicini sono
molto più probabili
4
v. a. continue
v.a. che assumono un insieme di valori che
“ha la potenza del continuo”
Esempi
Esperimento
Supponiamo che in un certo negozio
(aperto 6 ore) entrino in medie 18 persone
al giorno . Ovvero in media 3 persone
ogni ora. Quanto tempo passa tra
l’entrata di un cliente e il successivo?
V.a. continua
V.a. esponenziale o
esponenziale negativa
Variabile che ammette come
realizzazioni solo valori reali positivi. Valo
troppo grandi meno probabili
Il numero di telefonate medio in un
call center è di una telefonata ogni 20 secondi.
Supponendo di aver appena ricevuto una
telefonata tra quanto tempo avverrà la prossima?
V.a. esponenziale o
esponenziale negativa
5
Funzioni di distribuzione
Come si associano le
probabilità alle variabili
casuali?
Definizione:
: S  x=()I
Ad ogni v.a. si assegnano le probabilità
mediante una funzione che è detta
funzione di ripartizione o
funzione di distribuzione
Sia E un esperimento ideale, S lo spazio campionario dei
possibili esiti  e P una funzione di probabilità definita su S.
La funzione di distribuzione F di una v.a. X associa a ciascun valore x
la probabilità che la v.a. assuma valori non superiori a x
F:   [0, 1]
F (x)=P(X()≤x)
6
Funzioni di distribuzione
Proprietà:
FX è una funzione di ripartizione se
FX ( x) è non decrescente
FX x è continua a destra x  
0  FX x  1
lim FX x   0
x  
lim FX x   1
x  
7
Funzioni di distribuzione
Proprietà:
Posto
 
FX x  lim FX t 

t x
Si dimostra che
P(a  X  b)  FX (b)  FX (a)
P(a  X  b)  FX (b)  FX (a  )


Probabilità
intervalli
P(a  X  b)  FX (b )  FX (a )
P(a  X  b)  FX (b  )  FX (a)
P( X  b)  1  P( X  b)  1  FX (b)
P( X  b)  1  P( X  b)  1  FX (b  )
Probabilità
semirette
8
Funzioni di distribuzione per v.a. discrete
Per variabili aleatorie discrete la funzione di distribuzione Fx è data da:
FX x   P X    x    P X    xi    pxi 
xi  x
xi  x
dove p è detta funzione di probabilità ed è definita in modo che
pxi   P X    xi 
funzione di probabilità
9
variabile aleatoria di
BERNOULLI
Esperimento
lancio di una
moneta truccata
S={T,C}
Variabile aleatoria
: {T,C}  {0,1}
C  0
T  1
P(T)=p(1)=p
P(C)=p(0)=q=1-p
Funzione di distribuzione
F:   [0, 1]
x <0  F(x)=0
0 ≤ x <1  F(x)=q
1≤x
 F(x)=1
Esempio
F(-2)=Prob(X≤-2 )=0
F(0.36)=Prob(X≤0.36 )=q
La funzione di distribuzione è una a (due) gradini
1
F
q
0
1
10
V.a. UNIFORME DISCRETA
Esperimento
lancio di un dado
S={1,2,3,4,5,6}
La funzione di distribuzione
è una funzione a sei (k)
gradini
Funzione di
distribuzione
F:   [0, 1]
x <1  F(x)=0
1 ≤ x <2  F(x)=1/6
2 ≤ x <2  F(x)=2/6
3 ≤ x <2  F(x)=3/6
4 ≤ x <2  F(x)=4/6
5 ≤ x <2  F(x)=5/6
6≤x
 F(x)=1
P(
P(
)=1/6=1/k
)=1/6=1/k
P(
P(
)=1/6=1/k
)=1/6=1/k
P(
P(
)=1/6=1/k
)=1/6=1/k
Variabile aleatoria
: {
}
 {1,2,3,4,5,6}
1
5/6
4/6
3/6
F
2/6
1/6
0 1 2
3 4 5 6
Esempio
F(3.1)=Prob(X≤3.1 )=3/6
11
V.a. poissoniana o
distribuzione di Poisson
Esempio (inventato)
Supponiamo di voler calcolare la probabilità che una persona di Napoli abbia
bisogna del meccanico in un fissato anno esattamente k=0,1,…,n volte
Dati rilevati a Napoli nel 2003
interventi dal
meccanico
Quante persone
Tot interventi
0
166
0
1
297
297
2
267
534
3
160
480
4
74
296
5
26
130
6
7
42
7
3
21
1000
1800
totale
12
Graficamente …
V.a. poissoniana o
distribuzione di Poisson
Il grafico delle frequenza assolute
somiglia al grafico della successione
di punti Poissoniana
p(n)= e-a(an/n!)
V.a. poissoniana o
distribuzione di Poisson
funzione di probabilità
p(x)=(ax/x!)e-a
Variabile aleatoria
: {persona di Napoli}  N numero naturale
a è detto
parametro della legge di Poisson
e rappresenta la frequenza media di
accadimento dell'evento osservato
Esempio
Supponiamo di voler calcolare la probabilità che una persona di Napoli vada dal
meccanico da 2 a 4 volte, sapendo che a la frequenza media è data da
a=1800/1000
p(2)=(a2/2!)e-a= 0.2678
p(3)=(a3/3!)e-a =0.1607
p(4)=(a4/4!)e-a =0.0723
p(2≤X≤4)= p(2) + p(3) + p(4)=
0.5008= 50.08%
14
Parametri di una v.a. discreta
La distribuzione dei valori assunti da una v.a. si può
caratterizzare attraverso differenti parametri
media
varianza
deviazione standard
media (valor medio, valore atteso, aspettazione )
 X  EX    xk pxk 
k
varianza ( dispersione )


 X2  VarX   E  X   X 2   xk   X 2 pxk 
deviazione standard
k

DevStd[ X ]   X   X2  E  X   X 
2

15
Parametri di una v.a. discreta
variabile aleatoria di
BERNOULLI
Funzione di probabilità
media
 X   xk pxk   0q  1 p  p
p(1)=p
p(0)=q=1-p
k
varianza
   xk   X  pxk   (0  p) 2 q  (1  p) 2 p  p 2 q  q 2 p  pq
2
X
2
k
deviazione standard
DevStd[ X ]   X2 
pq
16
Parametri di una v.a. discreta
V.a. UNIFORME DISCRETA
Funzione di probabilità
p(k)=1/n k=1,…,n
media
1
1
1
(n  1)
 X   xk p  xk   1  2    n 1 
k
n
n
n
2
varianza
    xk   X 
2
X
2
k
n² - 1
p  xk  
12
deviazione standard
DevStd[ X ]  
2
X
n² - 1

12
17
Parametri di una v.a. discreta
V.a. poissoniana o
distribuzione di Poisson
Funzione di probabilità
p(k)=(ak/k!)e-k
media


a k a
a 0 a 
a k a
 X   k  pk    k   e  0   e   k   e 
k!
0!
k!
k 0
x 0
k 1
k 1

a  a k 1 a
a
 k 
 e  a  e a  k 

k!
k!
k 1
k 1

k 1
a
 a  e a 
 a  e a e a  a
k 1 k  1!

18
Parametri di una v.a. discreta
V.a. poissoniana o
distribuzione di Poisson
varianza
Dalla proprietà
Funzione di probabilità
p(k)=(ak/k!)e-k
 
VarX   E X 2  EX 
2
segue

   k 2  pk   a 2  a 2  a  a 2  a
2
X
k 0
deviazione standard
DevStd[ X ]   X2  a
19
Funzioni di distribuzione per v.a. continue
Per variabili aleatorie continue la funzione di distribuzione Fx è data da:
FX  x   P  X    x  
x
 f t dt

dove p è detta funzione di densità di probabilità ed è tale che
f xi   P X    xi 
densità di probabilità
P(a  X  b)  FX (b)  FX (a)
20
Funzioni di distribuzione per v.a. continue
Ricordando che
P(a  X  b)  FX (b)  FX (a)
Risulta
b
Pa  X    b    f t dt
a
La probabilità che una v.a. assuma valore in un
intervallo è calcolabile mediante un integrale definito
21
Parametri di una v.a. continua
Anche per le v.a. continue la distribuzione dei valori assunti si può
caratterizzare attraverso gli stessi parametri che per le v.a discrete
media

xi pxi  se X è discreta


 i
 X  EX   
  xf x dx se X è continua



2
varianza


x


pxi  se X è discreta

i
X


 X2   i
2


x


f x dx se X è continua

X


deviazione standard
DevStd[ X ]   X2
22
Parametri di una v.a. proprietà
Anche nel caso di v.a. continue per media varianza e deviazione
standard valgono tutte le proprietà discusse nel caso discreto
EaX  b  aEX   b
EX  Y   EX   EY 
 
VarX   E X 2  EX 
2
VarcX   c 2VarX  c  
23
Parametri di una v.a. proprietà
Inoltre
VarX  Y   VarX   VarY   2Cov[ X , Y ]
Cov[ X , Y ]  E[( X   X )(Y  Y )]
Se X e Y sono indipendenti
Cov[ X , Y ]  0
da cui
VarX  Y   VarX   VarY 
24
Esperimento
V.a. esponenziale o
esponenziale negativa
Il numero di telefonate medio in un call center
è di una telefonata ogni 20 secondi. Supponendo
di aver appena ricevuto una telefonata tra quanto
tempo avverrà la prossima?
Variabile aleatoria
: S  [0, +∞[
ti  X(ti)
continua
La variabile casuale continua X(t) associa ad ogni telefonata ti il tempo che la divide
dalla precedente. Si assume che la probabilità di aspettare più di un fissato tempo T
decada esponenzialmente con T. Da cui
La densità di probabilità è data da
 e  t se t  0
f t   
se t  0
0
con  parametro pari alla frequenza
media osservata per il fenomeno
FX x  
x



x
f t dt    e t dt 
 e

 t x
0
0
 1  e x
25
Esperimento
V.a. esponenziale o
esponenziale negativa
Il numero di telefonate medio in un call center
è di una telefonata ogni 20 secondi. Supponendo
di aver appena ricevuto una telefonata tra quanto
tempo avverrà la prossima?
Variabile aleatoria
: S  [0, +∞[
ti  X(ti)
continua
FX
FX x   1  e  x
1
0
Esperimento
V.a. esponenziale o
esponenziale negativa
Il numero di telefonate medio in un call center
è di una telefonata ogni 20 secondi. Supponendo
di aver appena ricevuto una telefonata tra quanto
tempo avverrà la prossima?
Variabile aleatoria
: S  [0, +∞[
ti  X(ti)
continua
Esempio
Supponiamo di voler calcolare la probabilità la prossima telefonata arrivi non
prima di t1=10 secondi e non dopo t2= 15. Allora sapendo che la frequenza
media è data da
λ=1/20=0.05
15
P10  X    15    e t dt 
10
 e 10  e 15  0.6065 - 0.4724  0.1341  13.41%
Parametri di una v.a. continua
densità di probabilità
variabile aleatoria
ESPONENZIALE
 e  t se t  0
f t   
se t  0
0
media


 X  EX    xf x dx   xe dx 

varianza 0
0
varianza
  E X  EX 
2
X
2
2

x
1
(per parti)
2
1
1 (per parti)

 x
   x   e dx  2


0
deviazione standard
DevStd[ X ]  
2
X

1

28
V.a. normale o gaussiana
Esperimento
Si eseguono 2000 misure xi della
lunghezza di una trave. Ogni prova
fornisce un risultato diverso.
Assumendo che esiste un unico
valore vero μ=6m per la misura
della trave i valori ottenuti sono
tutti errati: xi= μ +ei
Si assume che
- gli errori ei possono essere sia positivi
che negativi con uguale probabilità.
- errori grandi sono molto meno probabili
(frequenti) degli errori piccoli
- L’errore quadratico medio è dato dal parametro σ=5 cm
Diremo che la misura della trave è
μ ±σ. Con questo si assume che gran parte delle misure
ottenute cade nell’intervallo di estremi μ -σ e μ +σ
In figura il grafico delle
frequenze assolute ottenute
per le duemila misure
V.a. normale o gaussiana
Si dimostra che la distribuzione di
probabilità più adatta a descrivere il
comportamento degli errori accidentali
in tali situazioni è la v.a. gaussiana
detta anche curva di Gauss, Campana
di Gauss o curva degli errori.
densità di probabilità
f N x  


1
e
 2
1  x 
 

2  
2
la media è il centro di simmetria di f(x)
la deviazione standard è la distanza tra la
media e i punti di flesso di f(x)
± 
fN(x)
sono i punti i punti di flesso

Variabile aleatoria
N: S  

x
Parametri di una v.a. continua
densità di probabilità
v.a. normale
o gaussiana
 e  t se t  0
f t   
se t  0
0
media


1
E[ N ]   xf  x dx   x
e

   2
varianza
1  x 
 

2  
2
dx  
(per parti)
varianza

1
Var[ N ]    x   
e
 2

2
1  x 
 

2  
2
dx   2
(per parti)
deviazione standard
DevStd[ X ]  
31
V.a. normale o gaussiana
PROBLEMA
L’altezza dei marziani M è una v.a. gaussiana di media 150 cm e deviazione
standard 10 cm. Che probabilità c’è che un marziano sia alto tra i 170 e i 180 cm ?
Sol.
180
1
P170  M  180  FN (180)  FN (170)  
e
17010 2
1  x 150 
 

2  10 
2
dx
Come calcolare gli integrali
(generalizzati) del tipo
2
1  x 
x



1
FN  x   
e 2    dx
2
 
In generale la valutazione degli integrali?
che coinvolgono la distribuzione di Gauss
si esegue in due passi:
1. si riformula il problema in termini di un’altra
v.a. detta Gaussiana standard o normale standard
2. Il calcolo dell’integrale si fa usando opportune tabelle
V.a. normale standard o
gaussiana standard
La distribuzione Gaussiana Standard è una distribuzione gaussiana
con media =0 e varianza 2=1.

1  x 


2  

x2
2
2
f NS  x  
FNS x  


1
e
2
dx 
x2
2
1
e
2
densità di
probabilità Gaussiana Standard
1
f N x  
e
 2
densità di
probabilità Gaussiana
x

1
2
x
e

x2
2
dx
fNS(x)

=1
=0
x
33
V.a. normale standard o
gaussiana standard
La distribuzione Gaussiana Standard è una distribuzione gaussiana
con media =0 e varianza 2=1.
La v.a. normale standard è la variabile
standardizzata che si ottiene dalla gaussiana
sottrendo la media la media  e dividendo per 
N(,2)
NS(0,1)
N(-,2/2)
Pa  N  b   Pa    N    b    
a 
a N  a 
a
 P


 NS 
  P


 
 
 
 
34
V.a. normale o gaussiana
1. si riformula il problema in termini di un’altra
v.a. detta Gaussiana standard o normale standard
Sol.
180  150 
 170  150
P170  M  180  P
 NS 
  P2  N S  3 
10 
 10
3
1
e
2

2

x2
2
3
1
e
2
dx  
0

x2
2
dx 
1
2
2
e

x2
2
dx
0
2. Il calcolo dell’integrale si fa usando opportune tabelle della funzione ERF(x)
dove erf ( x) 
2

P170  M  180 
x
t
e
 dt
2
1
1
erf (3 / 2 )  erf (2 / 2 ) 
2
2
0
si dimostra (mediante
sostituzione)
che
2
1
2
x
e
0

t
2
1
dt  erf ( x /
2
2)
P  0.0214  0.21%
V.a. normale o gaussiana
si dimostra inoltre che vale la proprietà
FNS  x  
x


1
e
2

t2
2
dt 
1 1
 erf ( x /
2 2
2)
da cui ad esempio segue che
1 1
P N S  1.2    erf (1.2 /
2 2
2 )  0.8849  88.49%
V.a. normale o gaussiana
si dimostra inoltre che vale la proprietà
erf (  z )  erf ( z )
cioè erf è funzione dispari
da cui ad esempio segue che per calcolare la probabilità di un
intervallo simmetrico [-x,x] basta calcolare erf (x /
P  x  N S  x  
1
erf ( x /
2
2) 
1
erf ( x /
2
1
erf ( x /
2
2) 
2 ) , infatti
1
erf (  x /
2
2 )  erf ( x /
2) 
2)
da cui ad esempio segue che per calcolare la probabilità di un
intervallo [a,b] con a NEGATIVO basta calcolare
1
erf (b /
2
2) 
1
erf ( a /
2
2) 
1
erf (b /
2
Pa  N S  b  
2) 
1
erf (  a /
2
2)
Esempio
P 0.7  N S  1.2 
1
1
erf (1.2 / 2 )  erf (0.7 / 2 )  0.6429  64.29%
2
2
Tavola di 1 erf ( x / 2 )
Tavola dell'area fra 0 e x della
2
normale standard, ovvero valori
1
di
x si ottiene sommando il valore sulla colonna e sulla riga.
erf ( x / 2 )
2
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.0000
0.0040
0.0080
0.0120
0.0160
0.0199
0.0239
0.0279
0.0319
0.0359
0.1
0.0398
0.0438
0.0478
0.0517
0.0557
0.0596
0.0636
0.0675
0.0714
0.0753
0.2
0.0793
0.0832
0.0871
0.0910
0.0948
0.0987
0.1026
0.1064
0.1103
0.1141
0.3
0.1179
0.1217
0.1255
0.1293
0.1331
0.1368
0.1406
0.1443
0.1480
0.1517
0.4
0.1554
0.1591
0.1628
0.1664
0.1700
0.1736
0.1772
0.1808
0.1844
0.1879
0.5
0.1915
0.1950
0.1985
0.2019
0.2054
0.2088
0.2123
0.2157
0.2190
0.2224
0.6
0.2257
0.2291
0.2324
0.2357
0.2389
0.2422
0.2454
0.2486
0.2517
0.2549
0.7
0.2580
0.2611
0.2642
0.2673
0.2704
0.2734
0.2764
0.2794
0.2823
0.2852
0.8
0.2881
0.2910
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.3051
0.3078
0.3106
0.3133
0.9
0.3159
0.3186
0.3212
0.3238
0.3264
0.3289
0.3315
0.3340
0.3365
0.3389
1.0
0.3413
0.3438
0.3461
0.3485
0.3508
0.3531
0.3554
0.3577
0.3599
0.3621
1.1
0.3643
0.3665
0.3686
0.3708
0.3729
0.3749
0.3770
0.3790
0.3810
0.3830
1.2
0.3849
0.3869
0.3888
0.3907
0.3925
0.3944
0.3962
0.3980
0.3997
0.4015
1.3
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.4099
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162
0.4177
1.4
0.4192
0.4207
0.4222
0.4236
0.4251
0.4265
0.4279
0.4292
0.4306
0.4319
1.5
0.4332
0.4345
0.4357
0.4370
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
0.4441
Esempio dalla nona riga e terza colonna si ha
0.82
t2

2
1
1
1
1
P0  N SP 0erf
.82(1.2 / 2 )e erf
dt 
/ 2)  
0.2939
(0.7erf
/ (20).82
 0.6429
64.29%
2
2 0 2
2
Tavola di 1 erf ( x / 2 )
Tavola dell'area fra 0 e x della
2
normale standard, ovvero valori
1
di
x si ottiene sommando il valore sulla colonna e sulla riga.
erf ( x / 2 )
2
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
1.6
0.4452
0.4463
0.4474
0.4484
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535
0.4545
1.7
0.4554
0.4564
0.4573
0.4582
0.4591
0.4599
0.4608
0.4616
0.4625
0.4633
1.8
0.4641
0.4649
0.4656
0.4664
0.4671
0.4678
0.4686
0.4693
0.4699
0.4706
1.9
0.4713
0.4719
0.4726
0.4732
0.4738
0.4744
0.4750
0.4756
0.4761
0.4767
2.0
0.4772
0.4778
0.4783
0.4788
0.4793
0.4798
0.4803
0.4808
0.4812
0.4817
2.1
0.4821
0.4826
0.4830
0.4834
0.4838
0.4842
0.4846
0.4850
0.4854
0.4857
2.2
0.4861
0.4864
0.4868
0.4871
0.4875
0.4878
0.4881
0.4884
0.4887
0.4890
2.3
0.4893
0.4896
0.4898
0.4901
0.4904
0.4906
0.4909
0.4911
0.4913
0.4916
2.4
0.4918
0.4920
0.4922
0.4925
0.4927
0.4929
0.4931
0.4932
0.4934
0.4936
2.5
0.4938
0.4940
0.4941
0.4943
0.4945
0.4946
0.4948
0.4949
0.4951
0.4952
2.6
0.4953
0.4955
0.4956
0.4957
0.4959
0.4960
0.4961
0.4962
0.4963
0.4964
2.7
0.4965
0.4966
0.4967
0.4968
0.4969
0.4970
0.4971
0.4972
0.4973
0.4974
2.8
0.4974
0.4975
0.4976
0.4977
0.4977
0.4978
0.4979
0.4979
0.4980
0.4981
2.9
0.4981
0.4982
0.4982
0.4983
0.4984
0.4984
0.4985
0.4985
0.4986
0.4986
3.0
0.4987
0.4987
0.4987
0.4988
0.4988
0.4989
0.4989
0.4989
0.4990
0.4990
Esempio dalla prima riga e ottava colonna si ha
P0  N S  1.68 
1
2
1.68

0
e
t2

2
dt 
1
erf (1.68 / 2 )  0.4535
2