f(x)

Definizione (rigorosa) di limite
Si dice che per x tendente a x0 la funzione
tende al limite finito l e si scrive :
f ( x ) l
lim
x x
0
Se
f ( x)  l   per 0  x  x0   
Se x0 è arbitrariamente grande
Si dice che per x tendente a x0 la funzione
tende al limite finito l (converge) e si
+∞
scrive :
+∞
f ( x ) l
lim
x 
Se
x
0
f ( x)  l   per 0  x  x0   
x  K , K  0
Definizione (rigorosa) di limite
f ( x ) l
lim
x
se   0 K  0 | x : x  K
f ( x)  l  
1
0.8
Asintoto orizzontale
0.6
0.4
0.2
In questo caso la retta orizzontale di equazione
y=l si dice asintoto orizzontale
per la funzione f(x) per x→+ ∞
5
10
15
20
Se x0 è arbitrariamente grande e negativo
Si dice che per x tendente a - ∞ la
funzione tende al limite finito l
(converge) e si scrive :
f ( x ) l
lim
x
Se
f ( x)  l   per 0  x  x0   
x  K , K  0
Definizione (rigorosa) di limite
f ( x ) l
lim
x
se   0 K  0 | x : x   K
f ( x)  l  
1
8.0
Asintoto orizzontale
6.0
4.0
2.0
In questo caso la retta orizzontale di equazione
y=l si dice asintoto orizzontale
per la funzione f(x) per x→- ∞
02
51
01
5
Se x0 è arbitrariamente grande o positivo o negativo
Si dice che per x tendente a ∞
la funzione tende al limite finito l e si
scrive :
f ( x ) l
lim
x
Se
f ( x)  l   per
x  K, K  0
Equivale a
x>K se x>0 e x<-K se x<0
Definizione (rigorosa) di limite
f ( x ) l
lim
x
se   0 K  0 | x : x  K
f ( x)  l  
1
1
8.0
0.8
Asintoto orizzontale
6.0
0.6
4.0
0.4
2.0
0.2
02
51
01
5
5
10
In questo caso la retta orizzontale di equazione
y=l si dice asintoto orizzontale
per la funzione f(x) per x→ ∞
5
5
0.2
0.2
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
0.8
1
10
15
15
20
20
1
10
15
20
Se l è arbitrariamente grande e positivo
Si dice che per x tendente a x0 la funzione
(diverge positivamente) tende a + ∞ e si
scrive :
f ( x ) 
lim
x x
0
Se
f (x
)  l   per 00
f(x)>M
 xxx0x0 M

Asintoto verticale (p.154)
f ( x ) 
lim
x x
0
se M  0  M  0 | x : 0  x  x0   M
f ( x)  M
1
1
8.0
0.8
6.0
0.6
4.0
0.4
2.0
0.2
02
51
01
5
5
10
15
20
Se l è arbitrariamente grande e negativo
Si dice che per x tendente a x0 la funzione
tende a - ∞ (diverge negativamente) e si
scrive :
f ( x ) 
lim
x x
0
Se
xxx0   
f ( x)  l   per 00

x
f(x)<-M
0
M

Asintoto verticale (p.154)
f ( x ) 
lim
x x
0
se M  0  M  0 | x : 0  x  x0   M
f ( x)   M
5
5
0.2
0.2
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
0.8
1
10
15
20
1
10
15
20
Se l è arbitrariamente grande
Si dice che per x tendente a x0 la funzione
tende a ∞ (diverge) e si scrive :
f ( x ) 
lim
x x
0
Se
f (|f(x)|>M
x)  l   per 00
 xxx0x0 M

Asintoto verticale (p.154)
f ( x ) 
lim
x x
0
se M  0  M  0 | x : 0  x  x0   M
1
f ( x)  M
0.8
0.6
0.4
0.2
5
5
10
10
15
20
0.2
0.4
0.6
1
0.8
1
8.0
0.8
1
6.0
0.6
4.0
0.4
2.0
0.2
1
02
51
01
5
5
10
15
20
8.0
6.0
5
5
10
15
4.0
20
2.0
0.2
0.2
5
0.4
0.4
02
51
01
5
0.2
0.6
0.6
0.4
0.8
0.8
0.6
1
0.8
1
10
15
20
15
20
1
10
15
20
Se x0 e l sono arbitrariamente grande
Si dice che per x tendente a ∞
tende a ∞ e si scrive :
la funzione
f ( x ) 
lim
x
Se
x
K
x0   
f (|f(x)|>M
x)  l   per 0  x
M
Limite sinistro, destro (p.151)
(
x0  
x0
Il limite sinistro si ottiene considerando l’avvicinamento solo da sinistra.
Per ricordarlo si scrive
lim f ( x )
x x0
se   
| x : x0    x  x0
...
Limite sinistro, destro (p.151)
)
x0
x0  
Il limite destro si ottiene considerando l’avvicinamento solo da destra.
Per ricordarlo si scrive
lim f ( x )
x x0
se 
| x : x0  x  x0  
...
Teorema: se il limite esiste, allora esistono
anche il limite sinistro, il limite destro e coincidono.
Conseguenze:
Il limite non esiste se:
• il limite sinistro non esiste
• il limite destro non esiste
• esistono entrambe, ma hanno valori
diversi.
Asintoti obliqui
Un asintoto obliquo è una retta non
orizzontale e non verticale cui la funzione
si avvicina indefinitivamente per x che
tende
oa+∞
o a –∞
o in entrambe i casi
Asintoti obliqui
• L’asintoto obliquo ha equazione
y=mx+n
La funzione f(x) ha un asintoto obliquo se
risulta:
Possiamo trovare m ed n nel modo
seguente
Asintoti obliqui
• Dal limite
Dividendo per x abbiamo
Portando n a destra abbiamo
N.B. il discorso vale anche per x→-∞
Proprietà dei limiti (p.155)
• Teorema della permanenza del segno
• In forma diretta
Se per x tendente a x0 la funzione tende ad
un limite finito l diverso da zero, allora
esiste un intorno di x0 nel quale la f(x) ha
lo stesso segno di l
l
x0
Proprietà dei limiti (p.155)
• Teorema della permanenza del segno
• In forma inversa:
Se in tutti i punti vicini ad x0 la funzione è
strettamente positiva allora il limite è non
negativo
(esempio: parabola)
x0
Proprietà dei limiti (p.155)
• Teorema carabinieri
Se due funzioni f(x) e g(x) per x tendente a x0
ammettono lo stesso limite l e se in un intorno di
x0 si ha
f(x) h(x)  g(x)
x0
allora anche h(x) converge a l in x0
Proprietà dei limiti (p.155)
• Il limite di somma, differenza, prodotto,
quoziente di due funzioni
È dato da
• somma, differenza, prodotto, quoziente dei
limiti
(eccetto il caso in cui il limite della funzione
al denominatore è nullo)
Teorema del confronto
Sia f:A→R e g:B → R,
sia x0 punto di accumulazione per A.
Se esiste un intorno di x0 nel quale le funzioni sono entrambe
definite tale che
f(x)g(x), x in un intorno di x0
ed esistono i limiti
f ( x ) L
lim
x x
0
Allora
g ( x ) M
lim
x x
0
LM
Attenzione: nel teorema si chiede che esistano entrambi i limiti.
L’esistenza del limite deve quindi essere nota a priori.
Osservazione: ci sono due casi in cui l’esistenza
del limite segue dal teorema precedente:
Se L=+ ∞ allora g ha limite ed esso è + ∞
Se M=- ∞ allora g ha limite ed esso è - ∞
Metodi per il calcolo dei limiti
Funzioni continue
Definizione
Una funzione f:A→R, con A R si dice continua in x0 punto
di accumulazione di A se esiste
f ( x ) f ( x )
lim
x x
0
0
Se x0 è un punto isolato (e quindi non è di accumulazione)
allora, per convenzione, la funzione è continua.
Se vale soltanto
lim f ( x ) f ( x0 )
x x 0
allora la funzione si dice continua da destra
Se vale soltanto
lim f ( x ) f ( x0 )
x x 0
allora la funzione si dice continua da sinistra
Le seguenti funzioni sono continue
(p.136)
• Bisogna dimostrare che è verificata la
definizione di funzione continua
f(x)=k
f(x)=2x-3 (p.135)
f(x)=mx+n (tutte le rette)
f(x)=x^2
Le potenze
I polinomi
Le funzioni razionali fratte con l’eccezione dei punti in cui il denominatore si
annulla
Teorema di Weierstrass
• Se f(x) è continua un [a,b] allora è sempre
dotata di minimo e di massimo ed assume
tutti i valori compresi tra il minimo ed il
massimo
• Osservazione: [a,b] è un intervallo chiuso
e limitato. Tali intervalli prendono il nome
di compatti.