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Le equazioni
Definizione e caratteristiche
Chiamiamo equazione l’uguaglianza tra due espressioni algebriche, funzioni delle stesse variabili, che è
verificata solo per particolari valori che vengono attribuiti a tali variabili.
L’espressione che si trova a sinistra del simbolo di uguaglianza si chiama primo membro, quella che si
trova a destra si chiama secondo membro.
Le variabili delle due espressioni si chiamano incognite.
ESEMPIO
2x – 3
I membro
= x+1
II membro
Incognita: è la lettera x
Dominio : è l’insieme dei valori che si possono attribuire a x
Soluzione: è il valore di x che rende vera l’uguaglianza
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Le equazioni
Definizione e caratteristiche
EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI
Un equazione di dominio D si dice:
 determinata se ha un numero finito di soluzioni in D;
 indeterminata se ne ha un numero infinito;
 impossibile se non ha soluzioni in D.
ESEMPI
x–2=3
L’equazione è determinata perché ha come
sola soluzione 5.
1 – 2x = (x – 1)2 – x2
L’equazione è indeterminata perché il primo
membro è sempre uguale al secondo.
x+4=x
L’equazione è impossibile perché non esiste
un valore di x che sommato a 4 dia ancora x.
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Le equazioni
Diversi tipi di equazioni
L’equazione può contenere altre lettere oltre all’incognita; queste lettere si chiamano parametri.
Per convenzione le incognite delle equazioni vengono indicate con le ultime lettere dell’alfabeto
internazionale, quindi x, y, z; i parametri con le prime, quindi a, b, c e così via.
Parametro
Parametro: è una lettera che
compare nell’equazione, ma che si
suppone abbia un valore fisso
anche se non noto a priori.
ax – 2 = 3x + a
Incognita
Incognita: è la lettera di cui si
vuole trovare il valore che
soddisfa l’equazione.
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Le equazioni
Diversi tipi di equazioni
CLASSIFICHIAMO LE EQUAZIONI
 Equazioni numeriche:
oltre alla x, non contengono altre lettere
1+x =
 Equazioni letterali :
oltre alla x contengono anche dei parametri
 Equazioni intere:
l’incognita non compare al denominatore
 Equazioni frazionarie:
l’incognita si trova in almeno uno dei denominatori
2x – 1
3
ax + 2 = (a – 1) x + a
x+1
3
–
x–1
x+1
1
x =
2
2x – 1
3
2x + 3
–
=1
4
4
Le equazioni
Principi di equivalenza
Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
ESEMPIO
3x = 6
e
x+3=5
Esse sono diverse nella forma, ma entrambe determinate con la stessa soluzione x = 2:
3x = 6
2
32=6
x+3=5
2
2+3=5
5
Le equazioni
Principi di equivalenza
PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Teorema. Se si aggiunge ai due membri di un’equazione una stessa espressione algebrica P, che ha lo
stesso dominio dell’equazione data, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
A
=
B
A + P = B + P
6
Le equazioni
Principi di equivalenza
L’applicazione di questo principio ci permette di passare da un’equazione ad un’altra equivalente via via
più semplice, che permette di determinare il valore di x.
2x – 5 = x – 2
Applichiamo il primo principio di equivalenza
Aggiungiamo
+5
ad entrambi i membri
Riduciamo i termini simili
Sottraiamo
x ad entrambi i membri
Riduciamo i termini simili e otteniamo
2x – 5
2x
=
2x
–x
=
x–2
= x+3
–x
+5
+5
x+3
x = +3
che è la soluzione cercata
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Le equazioni
Principi di equivalenza
CONSEGUENZE DEL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Regola del trasporto. Si può spostare un termine da un membro all’altro di un’equazione purché gli si
cambi segno.
Di conseguenza una qualunque equazione si può sempre scrivere nella forma E(x) = 0, dove E(x) è
l’espressione che si ottiene spostando tutti i termini al primo membro.
ESEMPIO
2x + 1 = 4 – x
2x + 1 + x = 4
2x + 1 + x – 4 = 0
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Le equazioni
Principi di equivalenza
Regola di cancellazione. Se nei due membri di un’equazione compaiono due addendi uguali, uno per
ogni membro, questi possono essere soppressi.
ESEMPIO
2x + 3 = 5x + 3
Sono uguali
2x = 5x
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Le equazioni
Principi di equivalenza
SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Teorema. Se si moltiplicano i due membri per una stessa espressione P, che abbia lo stesso dominio
dell’equazione e che in quel dominio sia sempre diversa da zero, si ottiene un’equazione equivalente a
quella data.
A
A
=
B
P = B
P
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Le equazioni
Principi di equivalenza
CONSEGUENZE DEL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Regola di semplificazione. Si possono semplificare tutti i termini di un’equazione per uno stesso fattore
comune, purché diverso da zero.
ESEMPIO
3x – 6 = 9
Tutti i termini sono divisibili per 3.
3x – 6
9
=
3
3
3
x–2 =3
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Le equazioni
Principi di equivalenza
Regola del cambio dei segni. Se si cambiano i segni a tutti i termini di un’equazione, in entrambi i
membri, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
ESEMPIO
– 2x – 3 = x – 1
2x + 3 = – x + 1
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Le equazioni
Principi di equivalenza
Regola della riduzione a coefficienti interi. Da un’equazione a coefficienti frazionari si può passare ad
un’equazione a coefficienti interi moltiplicando entrambi i membri per il m.c.m. fra i denominatori di tutte le
frazioni.
ESEMPIO
1
1
1
x + 1=
x –
2
6
3
6
(
2x + 6
6
) (
=
3x – 1
6
m.c.m. (3, 2, 6) = 6
)
6
2x + 6 = 3x – 1
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Le equazioni
Equazioni numeriche intere
IL GRADO DI UN’EQUAZIONE
Un’equazione intera si può sempre scrivere in forma normale come E(x) = 0, dove E(x) è un polinomio.
Quando un’equazione è scritta in questa forma, si dice grado dell’equazione il grado complessivo del
polinomio E(x). Ad esempio:
2x – 3 = 0
È un’equazione di primo grado.
4x2 – 6x + 3 = 0
È un’equazione di secondo grado.
6x3 – 7x + 1 = 0
È un’equazione di terzo grado.
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Le equazioni
Equazioni numeriche intere
LE EQUAZIONI LINEARI
Un’equazione di primo grado si dice anche lineare ed ha la forma:
ax + b = 0
Termine noto
a è il coefficiente del termine di primo grado, b è il termine noto dell’equazione.
Il dominio di un’equazione lineare è sempre R.
Possiamo dire di avere risolto un’equazione lineare quando riusciamo a scriverla nella forma
x=k
In questo caso diciamo che k è la soluzione e che S={k} è l’insieme delle soluzioni.
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Le equazioni
Equazioni numeriche intere
PROCEDURA DI RISOLUZIONE
ax + b = 0
Data l’equazione
ax = – b
Si porta il termine noto al secondo membro
a≠0
Si analizza il coefficiente a
b
x= –
S=
{
–
a=0
a
b
a
}
b=0
b≠0
Indeterminata
S=R
Impossibile
S=
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Le equazioni
Equazioni numeriche frazionarie
Nelle equazioni frazionarie il dominio non è più R, perché bisogna escludere quei valori che, annullando
qualche denominatore, fanno perdere significato all’equazione.
REGOLA PER DETERMINARE IL DOMINIO
1) si esegue, se necessario, la scomposizione dei polinomi ai denominatori;
2) si impone che ciascun fattore al denominatore sia diverso da zero;
3) si risolvono le condizioni di esistenza con la stessa procedura usata per risolvere le equazioni intere.
Il dominio è l’insieme R – {valori trovati al punto 3}
Determinato il dominio, si procede alla risoluzione dell’equazione applicando i principi di equivalenza.
Una volta trovata la soluzione si deve confrontare il valore trovato con quelli esclusi dal dominio.
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Le equazioni
Equazioni numeriche frazionarie
ESEMPIO
1
3
5
–
=
2
x –4
x–2
x+2
3
5
–
=
x–2
x+2
(x – 2) (x + 2)
1
Poiché deve essere x + 2 ≠ 0 ∧ x – 2 ≠ 0
ossia x ≠ – 2
∧
x≠2
Il dominio è l’insieme D = R – {– 2; 2}
1 – 3 (x + 2)
=
5 (x – 2)
(x – 2) (x + 2) (x – 2) (x + 2)
continua
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Le equazioni
(x – 2) (x + 2)
Equazioni numeriche frazionarie
1 – 3 (x + 2)
=
5 (x – 2)
(x – 2) (x + 2) (x – 2) (x + 2)
(x – 2) (x + 2)
1 – 3 (x + 2) = 5 (x – 2)
1 – 3x – 6 = 5x – 10
– 3x – 5x = – 10 + 6 – 1
– 8x = – 5
Poiché
5
8
x= +
5
8
non coincide con uno dei valori esclusi dal domino, la soluzione è accettabile: S =
{
5
8
}
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Le equazioni
Equazioni letterali
In un’equazione letterale si può sempre:
 trasportare i termini da un membro all’altro dell’equazione cambiando loro di segno;
 cambiare tutti i segni dei termini ai due membri;
 moltiplicare o dividere entrambi i membri per un coefficiente numerico diverso da zero.
Non è invece possibile:
 moltiplicare o dividere per un coefficiente letterale senza avere posto le condizioni di
diversità da zero di tale coefficiente.
In un’equazione letterale bisogna distinguere:
• il dominio, determinato rispetto all’incognita x
• le condizioni sul parametro
2a
1
+
=2
x–1
a
x≠1
D = R – {1}
a≠0
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Le equazioni
Equazioni letterali
Discutere un’equazione significa analizzare come cambia l’insieme delle soluzioni al variare dei
parametri.
ESEMPIO
x (3a – 1) = a
Per trovare la soluzione dividiamo entrambi i membri per 3a – 1; si presentano quindi i seguenti casi:
Se
Se
a= 1
3
a ≠ 1
3
l’equazione diventa
S=
{ }
x0=
a
3a – 1
1
3
che è impossibile
S =
21