Esercitazioni

Esercitazioni numeriche del corso di GENETICA
AA 2010/2011
LEZIONE N°1
Probabilità
Definizione classica di probabilità:
La probabilità di un dato evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al suo
verificarsi e il numero dei casi possibili, purchè essi siano tutti egualmente possibili
Dato un evento E, siano h ed n rispettivamente i casi favorevoli e quelli possibili, allora
la probabilità che si manifesti l’evento E (detta successo) è indicata con:
p = Pr (E) = h/n
Moneta : P(testa) = ½ = 0.5
Dado : P(sei) = 1/6 = 0.1666666
La probabilità che non si manifesti l’evento E (detta insuccesso) è indicata con:
q = Pr (non E) = (n – h)/n = 1 – h/n = 1 – Pr(E)
Quindi:
p + q = 1, ovvero Pr (E) + Pr (non E) = 1
Moneta : P(non testa) = q = (2 - 1)/2 = 1 – ½ = 1/2
Dado: P(non sei) = q = (6 – 1)/6 = 1 – 1/6 = 5/6
La somma dell successo e dell’insuccesso è sempre
uguale ad 1
Anche per la moneta e il dado la regola è verificabile:
Infatti:
Moneta : Pr (testa) = ½; Pr (non testa) = ½
½ + ½ =1
Dado: Pr (sei) = 1/6; Pr (non sei) = 5/6
1/6 + 5/6 = 1
La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1
Se un evento non può presentarsi, la sua probabilità è 0
Se è certo, la sua probabilità è 1
Regola del Prodotto
• La probabilità che eventi
indipendenti si verifichino
contemporaneamente è il prodotto
delle probabilità degli eventi singoli
N.B. - Per eventi indipendenti si intende che il verificarsi dell’uno
non influenza il verificarsi dell’altro
– Esempio = La probabilità di ottenere due
quattro lanciando due dadi è 1/6 x 1/6 =
1/36
Probabilità Condizionata. Eventi indipendenti
Esempio : Se la probabilità che A sia vivo tra venti anni è 0,5
e che B sia vivo tra venti anni è 0,7, allora la probabilità che
tra venti anni sia A che B siano vivi è:
0,5 x 0,7 = 0,35
Ma che succede se i due eventi sono dipendenti tra loro?????
Probabilità Condizionata. eventi dipendenti
Esempio 2: Supponiamo che una scatola contenga 3 palline bianche e 2 nere. Sia E1
l’evento “la prima pallina estratta è nera” ed E2 l’evento “la seconda pallina estratta è
nera”. Le palline non vengono reintrodotte dopo essere state estratte quindi gli eventi in
questo caso sono dipendenti.
Pr (E1) = 2 / (3 + 2) = 2/5 = probabilità che la prima pallina estratta sia nera
Pr(E2) = 1 / (3 + 1) = 1/4 = probabilità che la seconda pallina sia nera
Allora la probabilità che entrambe le palline estratte siano nere è:
Pr(E1E2) = Pr (E1) Pr (E2|E1) = 2/5 x 1/4 = 1/10
Eventi indipendenti e dipendenti
La probabilità di estrarre due palline nere nelle prime due
estrazioni cambia se reintroduciamo la prima pallina
estratta oppure no nell’urna
Se reintroduciamo:
Probabilità di estrarre le due palline nere in due estrazioni
è:
Pr(estrarre nera) x Pr (estrarre nera) = 2/5 x 2/5 = 0.16
(Esempio di eventi indipendenti)
Se non reintroduciamo:
Probabilità di estrarre le due palline nere in due
estrazioni è:
Pr(estrarre nera) x Pr (estrarre nera) = 2/5 x 1/4 = 0.1
(Esempio di eventi dipendenti)
Regola della Somma
• La probabilità che si realizzino l’uno o
l’altro di due eventi mutualmente
esclusivi è la somma delle loro
probabilità individuali.
• Esempio: Probabilità lanciando due dadi
di fare o due 4 o due 5 = 1/36 + 1/36 =
1/18
Regola della Somma
Se E1 + E2 indica l’evento che gli evnti E1 ed E2 si presentino o l’uno o l’altro o
entrambi, allora:
Pr (E1 + E2) = Pr (E1) + Pr(E2) – Pr(E1E2)
Eventi che si ecludono a vicenda
Si dice che due eventi si escludono a vicenda se il presentarsi di uno di essi
esclude il presentarsi degli altri. Così, se E1 ed E2 sono eventi escludentesi a
vicenda, allora:
Pr (E1E2) = 0
Nel caso di eventi che si escludono a vicenda Pr (E1E2) = 0
Pr (E1 + E2) = Pr (E1) + Pr(E2)
Eventi che si ecludono a vicenda
Esempio 1: Se E1 è l’evento “estrazione di una asso da un mazzo di carte” e E2 è
l’evento “estrazione di un re” allora:
Pr (E1) = 4/52 = 1/13
Pr(E2) = 4/52 =1/13
Quindi la probabilità di estrarre un
asso o un re in una sola estrazione è:
Pr (E1 + E2) = Pr(E1) + Pr(E2) = 1/13
+ 1/13 = 2/13
E questo poichè l’asso ed il re non
possono essere estratti insieme in
una sola estrazione e quindi sono
eventi escludentisi a vicenda
Eventi che non si ecludono a vicenda
Esempio 2: Se E1 è l’evento “estrazione di una asso da un mazzo di carte” e E2 è
l’evento “estrazione di una carta di cuori” allora E1 ed E2 non si escludono a
vicenda, dato che è possibile estrarre una asso di cuori. Allora la probabiliti di
estrarre o un asso o una carta di cuori o un asso di cuori è:
Pr (E1 + E2) = Pr(E1) + Pr(E2) – Pr (E1E2) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 =4/13
Analisi combinatoria
Nell’ottenere la probabilità di eventi complessi, l’enumerazione dei casi può
spesso risultare difficile o tediosa. Per facilitare il lavoro, si fa uso dei principi su
cui è basata la materia chiamata analisi combinatoria
Se un evento può presentarsi in uno qualinque di n1 modi e se, quando tale
evento si è presentato, un altro evento può presentarsi in uno qualunque di n2
modi, allora il numero di modi in cui entrambi gli eventi possono presentarsi
nell’ordine specificato è n1 x n2
Esempio: se ci sono tre candidati per la carica di prefetto e cinque per la carica di
sindaco, i due incarichi possono essere occupati in 3 x 5 = 15 modi
nFattoriale
n fattoriale, indicato con n!, è definito come:
n! = n(n-1)(n-2).....1
Così:
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
4! X 3! = (4 x 3 x 2 x 1) x (3 x 2 x 1) = 144
0! = 1 (per convenzione)
Combinazioni
Le combinazioni di n oggetti diversi presi x alla volta sono i gruppi di x elementi
che si possono formare con gli n elementi di partenza in modo che ciscun gruppo
sia diverso dagli altri per un elemento. Il numero di combinazioni di n oggetti presi
r alla volta è denotato con:
C(n, x), nCx , oppure Cn,x ed è dato da:
nCx
= [n(n-1) (n-2).....(n-x+1)] / x! =
n!
x! (n - x)!
n!
se (n – x) = y
allora:
x! y!
Esempio 1: Il numero di combinazioni delle lettere a, b, c prese due alla volta è
C (3, 2) =
3!
2! (3-2)!
3x2x1
2 x 1 x (1)
= 3. Tali combinazioni sono ab, ac e bc
Formula binomiale
n!
x! y!
Modi in cui possiamo
dividere un gruppo di n
oggetti in due classi distinte
in modo da ottenere x
oggetti nella classe P e y
nella classe Q
n
y
pxq
p = probabilità di un oggetto di appartenere
alla classe P
q = probabilità di un oggetto di appertenere
alla classe Q
Nel complesso la formula ci restituisce la probabilità di ottenere x oggetti
nella classe P (con probabilità p) e y nella classe Q (con probabilità q)
Esempio 1
Probabilità che su sei figli almeno 4 siano femmine?
P( 4femm 2 maschi) =
6!
4! 2!
P( 5femm 1 maschio) =
P( 6femm 0 maschi) =
4
2
(½) (½)
6/64
1/64
Totale = 22/64
= 15/64
Due individui eterozigoti per un gene responsabile di una data malattia genetica
vogliono conoscere qual’è la probabilità che:
-Il loro primo figlio sia sano
-I loro primi due figli siano sani
-I loro primi tre figli siano sani
-Che il loro primo figlio sia maschio e sano
-Che dei loro primi 5 figli 3 siano sani
F
f
F
FF
Ff
f
Ff
ff
-¾
- ¾ x ¾ = 9/16
- ¾ x ¾ x ¾ = 27/64
- ½ x ¾ = 3/8
5!
3! x 2!
(3/4)3 x (1/4)2
= 10 x 27/64 x 1/16 = 270/1024 = 0,26