Cap_I_ElScatt_QED

Capitolo I
Richiami di teoria dei processi di diffusione.
QuantoElettroDinamica.
Diffusione elastica elettrone-nucleone; fattori
di forma elastici del nucleone.
Bibliografia:
- F.Halzen, A.D.Martin , “Quarks & leptons”, Wiley & Sons, 1984
cap.5, 6, e 8
- D.H. Perkins, “Introduction to High Energy Physics”, Addison-Wesley ,1987
cap.6
1
QED : brevi richiami
E’ il “prototipo” di teoria quantistica di campo di gauge (basata
sul gruppo abeliano U1):
descrive l’ interazione elettromagnetica tra particelle cariche
‘point-like’ di Spin ½ ( e.g. elettroni, muoni, quarks…
la cui equazione del moto ‘libera’ e’ data dall’ eq. di Dirac)
mediata dal fotone, il quanto del campo elettromagnetico.
L’ interazione e.m. elettrone-fotone e’ introdotta nell’ eq. di Dirac
per una particelle libera:
(i     m)  0 (1.1)
 matrici di Dirac:
[ k matrici di Pauli:
 0
k  
  k
0 1 

1 0
1  
k 
0 
0  i 
2  

i 0 
1 0 
0  

0

1


1 0 

0  1
3  
inserendo nell’ eq. del moto la “derivata covariante”:
i   D  i   eA
(1.2)
]
2
Richiami di QED (II)
L’ eq. del moto di un elettrone (carica elettrica -e ) in presenza di
un campo e.m. e’ quindi :
(1.3)
[  (i   eA )  m]  0
dove A = ( F, A) e’ il quadri-potenziale del campo e.m. :
  
B   A



A
E  F 
t
(1.4)
(ricordiamo che i campi E, B sono invarianti rispetto ad una
“trasformazione di gauge” del potenziale:

 
A  A   ( x, t )
 ( x, t )
FF
t
A  A    (x)
(1.5)
con (x) funzione scalare qualsiasi delle quadri-coordinate ;3
Richiami di QED
La forma dell’ eq. (1.2) discende dalla richiesta di rendere
invariante la descrizione dell’ interazione rispetto a una
trasformazione “locale” (=dipendente dalle coordinate) di gauge
(x), data dalla (1.4) per il campo A(x) e, contestualmente,
da una arbitrario cambiamento di fase dello spinore
dell’ elettrone:
 ( x)  eie ( x ) ( x)
(1.5’)
[  gli osservabili fisici, come la sezione d’urto di diffusione
derivabile dalla ampiezza di transizione che si ottiene dalla (1.3),
sono invarianti rispetto alla trasformazione (1.5), (1.5’) ]
E’ interessante ricordare come gia’ in meccanica quantistica non
relativistica, la prescrizione di invarianza di gauge porti
‘naturalmente’ alla descrizione dell’ interazione e.m. tra particelle
4
cariche e campi (forza di Lorentz)
Richiami di QED

t


p  i  
E  i
[ Nel formalismo operatoriale:
che in meccanica quantistica (non relativistica), dall’
Hamiltoniana di una particella in un potenziale elettrostatico F(x):
porta all’ eq. di Schroedinger:
la prescrizione di derivata
covariante (1.2) diviene:
1 2

   eF  i
2m
t
i   D  i   eA
L’ hamiltoniana viene modificata:
La lagrangiana associata
all ‘ hamiltoniana e’:
(1.7)

(1.6)
H  E  U pot



p  p  eA
p2

 eF
2m
(1.2’)
p2
1   2
H
 eF  H 
( p  eA)  eF
2m
2m
 
p2
L
 ev  A  eF
2m
(v= velocita’ della
particella)
dxi
L


xi  L( xi , xi ) , con:
xi 
( ricordiamo che : H  


x
dt
i
i
L d  L 
  0 (1.8)
 
L’ eq. del moto di Eulero-Lagrange:

xi dt  xi 
)
applicata alla lagrangiana (1.8) coincide con l’eq. del moto di una particella carica sotto l’ azione
della forza di Lorentz (utilizzando le relazioni (1.4)):
 
dxi
m
 e( Ei  (v  B) i )
dt
per una completa discussione, cfr.: 5
Goldstein, ”Meccanica Classica”
]
Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark
Siamo interessati al processo di diffusione tra due fermioni carichi
puntiformi, ad esempio: e-e-  e-e-, e-- e-, e q  e q
(q=quark)
Nella teoria perturbativa dello scattering da un potenziale, la
ampiezza di transizione tra uno stato iniziale (spinore i con
4-impulso (Ei,pi) ) ad uno stato finale (spinore f con
4-impulso (Ef,pf) ) e’ data da:
Tif   f ( x)V ( x) i ( x)d 4 x
(1.9)
dove V(x) e’ il potenziale che perturba l’ hamiltoniana di particella
libera Ho : H = H0 + V
e si e’ introdotto lo spinore coniugato
   
     0
(la quantita’
una densita’ di probabilita’)

0
e’ definita positiva e ha il significato di
6
Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark
In QED, per la quale l’eq. del moto e’:
(1.3’) (  i   m)  e  A  V ( x)
il potenziale e’:
V ( x)  e  A
ossia:
Tif  e  f ( x)  A ( x) i ( x)d 4 x
(1.10)
   j ( x) A ( x)d x
i(x)
4
e-
dove si e’ introdotta la “corrente elettro-magnetica”:
(1.11)
f (x)
eA(x)
j ( x)  e f ( x)  i ( x)
7
Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark
[ che j ( x)  e f ( x)  i ( x) abbia il significato fisico di densita’
di 4-corrente j=(r,j) deriva dal fatto che vale l’eq. di
continuita’:  j  0 , come si puo’ verificare dall’eq. di
 
Dirac e dalla sua equazione aggiunta per lo spinore coniugato;
cfr., ad es., Halzen-Martin, pg.103 ]
Nello scattering e-quark, il campo A e’
il 4-potenziale del campo e.m. associato
alla presenza del quark: la ‘sorgente’ del campo e’
la corrente e.m. del quark:
j
quark
( x)  eq q ( x)  q ( x)
2
1
eq   e, e
3
3
(vedremo successivamente come gli
esperimenti giustificano questa assegnazione)
e- i(x)
k
4-impulso
iniziale dell’elettr.
q(x)
p
4-impulso
iniziale del quark
f (x)
ek’
A(x)
p’
8
4-impulso finale
Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark
La relazione tra il campo e la sua sorgente jquark e’ data
dall’ eq. di Maxwell (nella gauge di Lorentz:   A  0 ):
(1.12)
2
(  2 ) A  jquark ( x)
t
2
(c = 1)
Al primo ordine della teoria perturbativa, possiamo prendere per
jquark la soluzione del campo q che viene dalla eq. libera di Dirac:
 q ( x)  uq ( p)eipx
ossia:
j
quark
 
( px  p x  Et  p  x )
( x)  eq q ( x)  q ( x)  equq ( p' )  uq ( p)ei ( p ' p ) x
Nota: la conserv. del 4-impulso: k+ p = k’+p’
implica:
q = p’-p = k-k’
= q (4-momento
trasferito nel processo)
9
Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark
Da tale soluzione libera, si vede che:
2
quark
(  2 ) j
 q 2 jquark ( x)
t
2
 2 2 
quark
2
quark


(

j
/
q
)

j
( x)



2
t 

e confrontando con (1.12):
A ( x)   j
quark
( x) / q 2
L’ ampiezza di transizione , al primo ordine perturbativo, e’ allora:
Tif    j ( x) A ( x)d 4 x  
j ( x) j quark ( x)
q2
d 4x
10
Richiami di QED: scattering e-e, e-, e-quark
Esprimendo anche la corrente dell’ elettrone j ( x)  e ( x)  ( x)
in termini di soluzione dell’ eq. libera di Dirac:
 ikx
quark
si ha: T  j ( x) j
if

q2

( x)
  eue (k ' )  ue (k )e
 ( x )  u e ( k )e
d 4x 
i ( k ' k ) x
 1 
 2 eq u q ( p ' )  uq ( p )e i ( p ' p ) x d 4 x 
q 
 1 
 eeq (2 )  (k ' p 'k  p )ue (k ' )  ue (k ) 2 uq ( p ' )  u q ( p ) 
q 
 (2 ) 4  4 (k ' p 'k  p ) M if
4
4
dove si e’ definito l’ elemento di matrice di transizione:
(1.13)
 eeq 
M if   2 [ue (k ' )  ue (k )][uq ( p' )  uq ( p)]
q 
11
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
In un processo di diffusione, la quantita’ osservabile sperimentalmente e’ la
sezione d’urto differenziale per avere, ad esempio, l’elettrone diffuso ad un certo
angolo solido dW=2sinqdq;
essa e’ legata all’ elemento di matrice Mif dalla “regola d’oro” di Fermi
[cfr. Perkins, app. E] :
 2
d  
 

 M if

2
dN
dE
No di stati finali disponibili
che competono all’ energia E
dello scattering:

d 3 p p 2 dp sin dd p 2 dpdW
dN  3 

h
h3
h3
(frequenza normalizzata ad un flusso
unitario di particelle incidenti)
 2 
d    M if
  
2
p 2 dp
dW
3
h dE
d
1

M if
2
dW (2 )
2
q
p
2
p dp
 4 dE
f
12
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
L’ espressione data per d/dW non e’ Lorentz-invariante;
la sua espressione Lorentz-invariante dipende dalla normalizzazione
delle funzioni d’onda spinoriali e, quark che compaiono in Mif.
Se nel rest-frame della particella la densita’ di probabilita’ e’:
 dV  1
in un altro sistema di riferimento (ad es., quello del C.M. della collisione)
in cui l’ energia della particella e’ E = m, il volume viene contratto:
dV  dV ' 
la densita’ osservata diviene:
(ossia cresce di un fattore E/m)
dV

 dV
m
E
 dV   
E
E
dV ' 
m
m
La sezione d’urto va allora normalizzata per un fattore m / E
per ognuna delle funzioni d’onda che compaiono nell’interazione.
13
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
d
1

M if
2
dW (2 )
2
2
me mq2
( in unita’ naturali:
)
 1
dp
p
Ee Eq E 'e E 'q
dE
2
In genere, lo stato finale osservato e’ quello che si ottiene mediando sugli stati
iniziali di spin dell’ elettrone e del quark; in definitiva:
d
1

M if
2
dW (2 )
2
2
me mq2
Ee Eq E 'e E 'q
p2
dp
dE
(1.14)
[cfr. Perkins, app.F e G ]
dp 1

dE 2
Nel CM dello scattering, il momento dell’ elettrone diffuso e’ p=E/2
(1.14’)
2
2
d
1 M if me m

dW (2 ) 2
s
[ trascurando le masse:
2
q
p2/EeEq=1,
dove si e’ introdotta la
variabile di Mandelstam:
[  esercizio
2
s  ( pe  pq )2  ECM
1.1 ]
EeEq=E’eE’q=ECM2/4=s/4,
14
ECM=2Ee]
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
Inseriamo ora nell’ espressione generale (1.14) per la sezione d’urto l’elemento
di matrice (1.13) derivato dalla dinamica della QED; utilizzando l’algebra delle
matrici di Dirac [ la cosa e’ laboriosa… per una discussione completa si vedano
Perkins, app.G ; Halzen-Martin, cap. 6 ] :
2
e
2
q
m m M if
2

(1.15)
 e 2e 2 q 
  4 2[( k ' p' )( kp)  (k ' p)( kp' )  mq2 kk' ]
 q 
dove si e’ trascurata la massa me
(ma non quella del quark)
ek
4-impulso
iniziale dell’elettr.
ek’
p’
quark
p
15
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
L’ espressione (1.15) e’ Lorentz-invariante; e’ interessante esprimerla nel sistema
del laboratorio, nel quale viene misurato l’ angolo di scattering dell’ elettrone
diffuso:
k=(E,k),
k’ = (E’, k’), p = (M,0)
(M=mq)
Si ottiene, utilizzando la conservazione del 4-impulso, k+p = k’+p’ [  es.1.3]:
(1.15’)
me2 mq2  M if
spin
2
 e 2e 2 q 
 2

q2
2
  4  2 EE ' M  cos  / 2 
sin  / 2 
2
2M
 q 


dove il quadrato del momento trasferito e’ esprimibile in funzione dell’angolo
di scattering nel laboratorio [  es.1.2]: :
k’
q 2  (k 'k ) 2  4 EE' sin 2 ( / 2)
(me  0)
ek
M
q
16
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
Inserendo (1.15’) in (1.14), si ottiene infine il risultato finale per lo scattering di
QED di un elettrone su una targhetta ‘point-like’di spin ½ e massa M:

d 4 2 e 2 q E '2 ( E ' / E )  2
q2
2

cos
(

/
2
)

sin
(

/
2
)


4
2
q
2M


(1.16) dW

 2e 2 q ( E ' / E )  2
q2
2
( “sezione d’urto

sin ( / 2)
cos ( / 2) 
2
4
2
4 E sin ( / 2) 
2M
di Mott” )

dove si e’ introdotta la costante di struttura fine:
  e 2 / 4
2 1
e


,
e la carica del quark e’ ora espressa in unita’ di carica dell’elettrone: q
3 3
Nell’ ultima espressione di (1.16), si e’ di nuovo usata la q 2  4 EE' sin 2 ( / 2)
d
 2e 2 q ( E ' / E )  2
2 EE ' 4
In definitiva:


cos
(

/
2
)

sin
(

/
2
)

2
4
2


dW 4 E sin ( / 2) 
M

(1.16’)  d 
2 EE ' 4
 2


cos
(

/
2
)

sin
(

/
2
)



M2
 dW  Rutherford 

17
(sezione d’urto “classica” per lo scattering
coulombiano di particelle non relativistiche prive di spin)
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
E’ importante sottolineare che per un fissato valore dell’ energia incidente E,
la sezione d’ urto e’ solo funzione dell’ angolo di scattering q, essendo
[vedi es.1.4]:
2
E '  E /[1  (2 E / m) sin ( / 2)]
Infine, e’ utile esprimere la sezione d’urto elementare di Mott in forma
Lorentz-invariante, utilizzando le variabili di Mandelstam:
s  (k  p ) 2  (k ' p' ) 2  2kp  2k ' p'
t  (k  k ' ) 2  q 2
k
k’
u  (k  p' ) 2  (k ' p ) 2  2kp'  2k ' p
Dalla forma Lorentz-invariante (1.15) dell’ ampiezza
di transizione (trascurando la massa del quark):
2 2
2

e
e q
2 2
me mq  M if   4 2[( k ' p ' )( kp)  (k ' p )( kp' )] 
spin
 q 
e 2e 2 q
 2
t
 s 2 u 2  e 2e 2 q  s 2  u 2 
2   
 2 
4
4
2


 t

p
p’
k’
k
e
q
quark
p
18
Sezione d’ urto per lo scattering di QED e-q
Inserendo nella (1.14):
2
d
1

dW (2 ) 2
2
q
me m
M
spin
4s
2
if
e 2eq2  s 2  u 2 



(2 ) 2 8s  t 2 
1
si ha :
(1.16’’)
2 2
2 2
2
2
e
e

eq  s 2  u 2 


d

1
s

u


q



 2 
 2 
2
d
W
(
4

)
2
s
t
2
s

eqeq


 t

  e 2 / 4
(nell’ ultima espressione la carica del quark si intende espressa
2 1)
in unita’ di carica elementare:
eq   ,
3 3
Utilizzeremo questa espressione nella discussione del
processo di ‘Deep Inelastic Scattering” elettrone-nucleone.
19
La costante di struttura fine
La costante fondamentale dell’ interazione e.m.:
  e 2 / 4
detta “costante di struttura fine” (si misura con grande precisione osservando
la struttura fine dei livelli energetici atomici) e’ espressa in unita naturali
(  c  1) nel sistema di unita’ di misura “razionalizzato” di HeavisideLorentz, nel quale la 1a eq.di Maxwell per il campo E (la legge di Gauss)
e’ espressa nella forma:  
E  r
 
  E  r / e0
(ossia e0=1 ; nel S.I. invece:
) , o equivalentemente la
legge di Coulomb che definisce il valore della carica elettrica e’: F  e 2 / 4r 2
La costante  e’ adimensionale: essa entra in (1.16) [eq. espressa in unita’
naturali ] , come rapporto tra una sezione d’ urto ( dimensione: [] = m2)
e l’ inverso del quadrato di un’ energia ( [1/s] = J-2 ) ; queste quantita’
sono tra loro omogenee, essendo: [h] = Js e [c] = m s-1.
Nel S.I., l’ espressione di  e’:
  e 2 / 4e0 c
20
La costante di struttura fine
Infatti:
 e2 
2
   N m  J m
e 0 
(dalla legge di Coulomb)
c  J  s  m  s 1  J  m
e quindi la combinazione
  e 2 / 4e0 c
e’ adimensionale.
Numericamente:
(1.6 1019 ) 2
1
2

 0,73 10 
12
34
8
4 8,85 10 1,05 10  2,997 10
137
21
Scattering elastico elettrone-nucleone
Il processo di scattering elettromagnetico epep non e’ un
processo point-like (come eq eq o e e)
La sezione d’urto di Mott, che nel sistema del laboratorio e’
data dalla (1.16):
 2

d  d 
q2
2

sin ( / 2)

cos ( / 2) 
2
dW  dW  Rutherford 
2M

va modificata.
eLa corrente adronica viene modificata:
j
j
quark
hadr
 equq ( p' )  uq ( p)
ik


 eu p ( p ' )  F1 (q 2 )  
F2 (q 2 )  q u p ( p )
2M


   i (         ) / 2
con:
ed M e’ ora la massa del nucleone.
ek’
k
p’
protone
(1.17)
p
22
Scattering elastico e-N
Si dimostra che il termine entro parentesi nella corrente (1.17) e’ il piu’
generale 4-vettore che puo’ essere costruito dalle matrici di Dirac e dai
4-momenti in gioco p, p’ e q=p’-p, tenendo conto che la 4-corrente jhadr deve
essere conservata:
  j  0 , ossia qj = 0.
[ per una completa discussione, vedi Halzen-Martin, es. 8.5 ]
Le funzioni F1(q2), F2(q2) parametrizzano la nostra ignoranza della struttura
dell’ adrone, e devono essere determinate sperimentalmente, come verra’
discusso in seguito.
Notiamo che il fattore ek/2M che moltiplica F2(q2) e’ il momento magnetico
del nucleone ( k e’ il “momento magnetico anomalo”: misura il rapporto tra
il momento magnetico del nucleone e quello e/2M di una particella point-like
di spin ½ come l’ elettrone).
23
Scattering elastico e-N
In effetti si dimostra che nel limite non relativistico, l’interazione (1.10) tra
una corrente e il 4-potenziale:
Tif    j ( x) A ( x)d 4 x
(1.10)
si decompone in una parte elettrica e una magnetica. Cio’ discende dalla
eguaglianza (“decomposizione di Gordon” della corrente):
(1.18)
e
j  eu f ( p' )  ui ( p) 
u f ( p' )( p' p)   i  ( p' p) ui ( p)
2M
e dal fatto che il 2o termine in (1.18) inserito in (1.10) da’, nel limite non
relativistico:
e
e  
 2M
 f i  ( p' p)  i A d 4 x   f( 2) 



  B  i( 2) d 3 x
 2M

dove
e’ uno spinore bidimensionale,   ( 1 ,  2 ,  3 ) sono le matrici di
Pauli; il termine a destra da’ l’interazione B di una particella di momento
magnetico =e/2M col campo magnetico B
(2)
[per maggiori dettagli, vedi Halzen-Martin, cap.6.2]
24
Scattering elastico e-N
Se si inserisce jhadr nell’ elemento di matrice (1.13):
M if  j
elettr
 1  hadr
 2  j
q 
elettr
(ricordiamo che: j
 e[ue (k ' )  ue (k )] )
la sezione d’urto che si ottiene e’ data dalla “formula di Rosenbluth”:

d  d   2 k 2 q 2 2  2
q2
2
2



F

F
cos
(

/
2
)

(
F

kF
)
sin
(

/
2
)
  1

1
2
2 2 
2
4M
2M

(1.19) dW  dW  Ruth. 

 d 
2
2
2
2

 cos ( / 2) A(q )  B(q ) tan ( / 2)
 dW  Ruth.


dove ora M e’ la massa del nucleone.
25
Scattering elastico e-N
E’ utile introdurre le combinazioni lineari:
GM (q 2 )  F1 (q 2 )  kF2 (q 2 )
(1.20)
2
kq
2
GE (q 2 )  F1 (q 2 ) 
F
(
q
)
2 2
4M
che sono, come vedremo, interpretabili come ‘fattori di forma’ magnetico
ed elettrico del nucleone: esse sono la trasformata di Fourier delle
distribuzioni di carica elettrica e di momento magnetico nel nucleone.
La formula di Rosenbluth viene riscritta:
(1.19’)
 2 q 2 2
 GE 
GM

2
d  d 
2
4M

 cos ( / 2) 
2
2
dW  dW  Ruth.
 1  q / 4M




2

q
2
2

GM tan ( / 2)
2
 2M


26

Scattering elastico e-N
Negli esperimenti di scattering elastico su targhetta fissa, il
momento trasferito e’ determinato dalla misura dell’ energia E’
dell’ elettrone diffuso e dall’ angolo di diffusione:
E’
q
q 2  (k 'k ) 2  4 EE' sin 2 ( / 2)
eE M
Nel “diagramma di Rosenbluth” costruito selezionando dati a q2 fissato:

d  d 
2
/ 
cos
(

/
2
)


dW  dW  Ruth.

[ da: Perkins fig.6.4]
tan 2 ( / 2)
la pendenza misura direttamente il fattore di forma magnetico GM(q2)
al valore scelto di q2; dall’ intercetta A(q2) si determina GE(q2).
27
Scattering elastico e-N
Esperimenti allo Stanford Linear Accelerator (SLAC) sono stati fatti su targhette
di idrogeno (=> protoni) e su deuterio (=>neutroni+protoni)). Per sottrazione,
da questi ultimi e’ possibile ottenere la sezione d’urto su neutroni:
d
 d 
 d 




dW enen  dW ed ed  dW ep ep
e quindi determinare i fattori di forma anche del neutrone.
GE,Mp,n(q2) sono stati misurati in un esteso intervallo di momenti trasferiti
[vedi, e.g., Phys.Rev.139B(458),1965]
2.79
[da: Burkam-Jobes
Fig.12.8]
2.0
G Mp
GMn/(1.91)
1.0
GEp
G En
28
Scattering elastico e-N
Tutti i dati sono descritti da un unico andamento di dipolo:
(1.21)
1
GMp (q 2 ) GMn (q 2 )
G (q ) 


2
2 2
(1  q / m )
p
n
p
E
2
GEn (q 2 )  0
dove il fit ai dati sperimentali da’: m2= 0.71 GeV2
e le quantita’:
 p  GMp (q 2  0)
n  GMn (q 2  0)
misurano i momenti magnetici del protone e del neutrone:
e


 3.15 10 14 Mev  J 1
[ N
e
 p  2.79 N  2.79
2m N
(1.22)
2m N
n  1.91 N
“magnetone di Bhor” vale:
e’ il ‘magnetone nucleare’, momento
magnetico di una particelle di Dirac point-like
di massa mN ; si ricordi che il
e
B 
 1836  mN  5.79 10 11 Mev  J 1 29
2me
Scattering elastico e-N
Come detto, GE e GM sono i ‘fattori di forma’ elettrico e magnetico
del nucleone, sono cioe’ in relazione con la sua distribuzione di densita’
di carica elettrica e di momento magnetico .
Osserviamo infatti che dalla (1.20):
2
GE (q 2 ) q


F
(
q
)
2
1
0
e inoltre, dalla formula di Rosenbluth (1.19’), per q2  0 :
(1.23)
d
 d 
2
2
2

 cos ( / 2)  GE (q )
dW epep  dW  Ruth.
A bassi q2( basse velocita’), l’ elettrone ‘vede’ solo il potenziale
elettrostatico (la parte magnetica e’ trascurabile), ossia nell’ ampiezza
di scattering
4
Tif    j ( x) A ( x)d x
possiamo porre:
A  (f ( x),0)


con f ( x)  f (r , t )  f (r )
30
Scattering elastico e-N
Tif    j0 ( x)f ( x)d 4 x  eu (k ' ) 0u (k )  ei ( k k ') xf ( x)d 4 x 
  
 3
i ( E  E ') t
i ( k  k ') r
 eu (k ' ) 0u (k )  e
dt  e
f (r )d r
2 ( E ' E )
F(x) non dipende
dal tempo
 3
Tif  eu (k ' ) 0u (k )2 ( E ' E )  e f (r )d r

iq r
Utilizzando l’ integrazione per parti:
 f e
2

iq  r
(
dove:
  
q  k 'k
)




2
iq  r
3
2 iq  r 3 
d r    f  e d r   f (r )   e d r 
(f  e
3
)

iqr 

0
2
 iqr 3 
  q  f (r )  e d r

2

f

r
(
r
)
e l’ eq. di Poisson per il potenziale:
( r e’ la densita’ 31
di carica elettrica)
Scattering elastico e-N
 iqr 3 
1
 f (r )  e d r   q 2
 iqr 3 
 r (r )  e d r
Inserendo in Tif tale espressione si ottiene:
 iqr 3 
eu (k ' ) 0u (k )
Tif  
2 ( E ' E )  r (r )e d r  2 ( E ' E ) M if
2
q
con:
 iqr 3 
eu (k ' ) 0u (k )
M if  
r ( r )e d r
2

q
Se inserisce questa espressione di Mif nel calcolo della sezione d’urto:
d
1

M if
2
dW (2 )
2
p 2 dp
 4 dE
 iqr 3  2
d
 d 
2
si ottiene:

 cos ( / 2)  e r (r )e d r
dW epep  dW  Ruth.
(1.24)
32
Scattering elastico e-N
e confrontando con (1.23) si vede che:
 iqr 3 
GE ( q )  e  r ( r ) e d r
2
(1.25)
ossia il fattore di forma elettrico GE(q2) e’ la trasformata di Fourier
della densita’ di carica elettrica er(r) del nucleone.
Sperimentalmente, abbiamo visto che :
GEp (q 2 ) 
1
(1  q 2 / m 2 ) 2
Con m2=0.71 GeV2; questo risultato puo’ essere direttamente messo in
relazione con le dimensioni del nucleone.

 mr
r
(
r
)

r
(
r
)

Ae
Consideriamo una distribuzione a simmetria sferica:
(la costante di normalizzazione e’ A=m3/8, imponendo:  r (r )4r 2 dr  1
Dalla (1.25)
si ha:
GE (q 2 )  e r (r )e

iq r

d 3r  2
2 sin r 2 ddr


r 0

dr  eiqr cos r 2 dr sin d
 0
-dcosq
33
)
Scattering elastico e-N
1

2  iqr



r
(
r
)
r
2
2
iqrx
z

GE (q )  2  r (r )r   e dx dr  2 
e dz dr 


iqr  iqr
r 0
r 0
 1




e iqr  e iqr
 2  r (r )r
dr
iqr
r 0
2
con:
x  cos 

q q
 mr
In definitiva, inserendo r (r )  Ae
si ottiene:




2

A
2
 ( m iq ) r
 ( m  iq ) r
GE ( q ) 
rdr   e
rdr  
 e
iq r 0
r 0


A  m3 / 8
 2A
2A 
1
1
4iqm
1



iq  (m  iq ) 2 (m  iq ) 2  iq (m 2  i 2 q 2 ) 2 (1  q 2 / m 2 ) 2
dove per brevita’ negli integrali si e’ sempre inteso q=|q| e quindi q2= |q|2 >0;
nell’ espressione
1
p
2
GE ( q ) 
(1  q 2 / m 2 ) 2
con q2 si intende invece il modulo quadro del 4-impulso trasferito
34
2
2
q=(k’-k): q -2kk’=-|q| <0, e quindi le due espressioni coincidono.
Scattering elastico e-N
Il valore m2=0.71 GeV2 e’ quindi legato al “raggio” R della distribuzione
di carica:
 mr
r / R
r (r )  Ae
R
 Ae
1
1

 0.235 fm
2
m
0.71GeV
(vedi Es. 1.5)
Il raggio del nucleone misurato dal fattore di forma elettrico del
protone e’ dell’ ordine di qualche frazione di Fermi.
Piu’ precisamente, il valor medio del quadrato del raggio della distribuzione
di carica e’:
m3  mr
 r   r r (r )4r dr  
e 4r 4 dr 
8
m3  mr 4
12

e
r
dr

SLAC,
2 
m2
Hofstadter
=(4!) / m5
e collab.
2
2
rrms   r 2  
2
12
 0.80 fm
m
35
Es.1.1: variabile s di Mandelstam
 
s  ( pe  pq )  pe  pq  2 pe pq  m  m  2( Ee Eq  pe  pq ) 
2
2
2
2
 2( p 2  p 2 cos  )  4 p 2  ECM
2
e
2
q
essendo ECM=2p
per me, mq << E
In un esperimento su taghetta fissa: pq=(m,0)
s  2 Ee m
ECM  2 Ee m
Ad esempio, negli esperimenti a SLAC:
Ee=20 GeV, m= mN=0.94 GeV ECM  6 GeV
epe
epe’
pq’
Ad un collisore con fasci “simmetrici” invece:
pq
ECM = 2 Ebeam
(esempio: LEP1 ,2 : Ebeam:44-47 GeV, 80 -105 GeV; Tevatrone: 0.9 TeV );
con fasci asimmetrici di energie E1, E2 :
ECM  2 E1E2
(esempio: collisore e-p HERA (Desy,Amburgo):
Ee=27.5 GeV, Ep=920 GeV  ECM  320 GeV )
36
Es.1.2: momento trasferito e angolo di
scattering
Dimostrare che:
E’
q 2  (k 'k ) 2  4 EE' sin 2 ( / 2)
eE
Si ha:
q
M
q 2  (k 'k ) 2  k 2  k '2 2kk' 
 2 EE' (1  cos  )  4 EE' sin 2 ( / 2)
angolo di scattering
nel laboratorio
1
(1  cos  )  sin 2 ( / 2)
2
37
Es.1.3: formula di Mott
Dimostrare che:
2


q
2
2
2
2
A  [( k ' p' )( kp)  (k ' p)( kp' )  mq kk' ]  2M EE' cos  / 2 
sin  / 2
2
2M


Utilizzando la conserv. del 4-impulso: p’= p+q = p + k - k’ , si ha:
[k ' (k  k ' p )]( kp)  (k ' p )[ k (k  k ' p )]  M 2 kk' 
q2=(k-k’)2  -2kk’
q2
 [k ' k  k '  k ' p ]( kp)  (k ' p )[ k  kk' kp]  M

2
0
0
2
q2
q2
q
 [  k ' p ]( kp)  (k ' p )[  kp]  M 2

2
2
2
2
q2
2 q
  (kp  k ' p )  2(k ' p )( kp)  M

2
2
Nel laboratorio:
2
p=( M, 0)
q2
q
k=( E , k)
  M ( E  E ' )  2M 2 E ' E  M 2
38
2
2
k’=(E’, k’)
2
2
2
Es.1.3: formula di Mott (cont.)
Allora:
2
q2
q
A   M ( E  E ' )  2M 2 E ' E  M 2

2
2
2
2


q
M
(
E

E
'
)
q
2
 2 M EE ' 
1

2
4 EE ' 
 2 M 2 EE '
q 2  4 EE' sin 2 ( / 2)
2
[es. 1.2]


q
2
2
 2 M 2 EE ' 
sin

/
2

1

sin
 / 2
2
 2M

M (E  E' )
 sin 2  / 2
2 EE '
q 2  4 EE ' sin 2 ( / 2) 
 2qp  2(k  k ' ) p  2( E  E ' ) M
[si osservi: q  p  p '
In definitiva:
q 2  p 2  2kp  p'2  0
q 2  2kp ]
0
 2

q2
2
A  2M EE' cos  / 2 
sin

/
2

2
2
M


2
39
Es.1.4: energia dell’ elettrone uscente nello
scattering elastico e-p
Dimostrare:
E '  E /[1  (2 E / m) sin 2 ( / 2)]
Abbiamo visto che [es. 1.3]:
q 2  4 EE ' sin 2 ( / 2) 
 2qp  2(k  k ' ) p  2( E  E ' ) M
Allora:
E  E' 
2 EE ' 2
sin  / 2
M
E'
1

E 1  2 E sin 2  / 2
M
[Hofstadter e collab.,
1956]
M (E  E' )
 sin 2  / 2
2 EE '
E
2E
1 
sin 2  / 2
E'
M
Esperimento a SLAC:
E= 401 MeV, q=75o
M=939 MeV
(targhetta di idrogeno)
 E’ = 305 MeV
40
Es.1.5: raggio del nucleone
Ricordiamo che in “unita’ naturali”:
  1,05 10 34 J  s  1
1s  0,95 1034 J 1
c  3 108 m / s  1
1m  0,33 108 s
inoltre:
1GeV  1,6 1010 J
1J 1  1,6 1010 GeV 1
Pertanto:
1m  0,33 108 s  0,33 1080,95 10341,6 1010 GeV 1
1m  5,07 1015 GeV 1
GeV 1 
1
10 15 m
5,07
GeV 1  0,197 fm
2
GeV
 0,388mb
[nota: un altro utile fattore di conversione e’ il seguente:
infatti: 1 barn = 10-24 cm2= 10-28 m2  1 mb = 10-31 m2 = 0.1 fm2 ]
1
1
1
Allora:
R 

GeV 1  0.235 fm
m
0.71
0.71GeV 2
Come gia’ discusso:
rrms   r 2  
12
 0.80 fm
m
41
Esperimenti di scattering elastico e-N a Stanford
LINAC da 550 MeV di energia massima entrato in funzione a
Stanford (California) a meta’ degli anni ’50:
contatore di
elettroni
Spettrometro su
piattaforma rotante
[R.Taylor,J.Friedman,
W.Kendall
Lectures for Nobel Prize,
1990;
Rev.Mod.Phys63 (1991),573]
42
Lo Stanford Linear Accelerator (SLAC)
Alla fine degli anni ’60, e’ entrato in funzione l’ acceleratore
Lineare lungo 2 Miglia: Ebeam=20 GeV
- l’intervallo di q2 e’ stato notevolmente esteso
- si ha accesso allo scattering inelastico (il nucleone viene spaccato con
produzione di adroni nello stato finale)
Furono realizzati
3 spettrometri
dedicati per
elettroni da 1.6,
8 e 20 GeV
43
Gli esperimenti a SLAC
Spettrometri a piccola
accettanza angolare
(dW 1 msterad)
posizionabili a diversi
angoli di diffusione
(1,5 - 250 per E=20 GeV)
44
Gli esperimenti a SLAC
separatore e/
Esperimenti precedenti:
45
2
Gli esperimenti a SLAC (II)
Spettrometro da
20 GeV
Primo uso massiccio
di computer nel
controllo on-line…
46