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Le equazioni di secondo grado
Forma dell’equazione
Un’equazione di secondo grado si può sempre ricondurre alla sua forma normale
ax 2 + bx + c = 0
con
a¹0
(se a = 0 l’equazione bx + c = 0 è di primo grado)
Termine noto
Se i coefficienti b e c sono diversi da zero l’equazione si dice completa.
Se i coefficienti b o c sono nulli l’equazione si dice incompleta.
Un’equazione incompleta può quindi avere la forma
ax 2 + bx = 0
se b ≠ 0 e c = 0 in questo caso si dice spuria
ax 2 + c = 0
se b = 0 e c ≠ 0 in questo caso si dice pura
ax 2 = 0
se b = 0 e c = 0 in questo caso si dice monomia
1
Le equazioni di secondo grado
Forma dell’equazione
ESEMPIO
4x 2 - 3x +1= 0
dove è
a = 4, b = −3, c = 1
È incompleta spuria l’equazione
3x 2 - 5x = 0
dove è
a = 3, b = −5, c = 0
È incompleta pura l’equazione
x2 - 6 = 0
dove è
a = 1, b = 0, c = −6
7x 2 = 0
dove è
a = 7, b = 0, c = 0
È completa l’equazione
È monomia l’equazione
2
Le equazioni di secondo grado
Risoluzione di equazioni incomplete
Regole generali per la risoluzione delle equazioni di secondo grado incomplete.
 Equazione della forma
Si raccoglie x a fattore comune:
Si applica la legge di
annullamento del prodotto:
ax 2 + bx = 0
x (ax + b) = 0
x = 0 Ú ax + b = 0
b
x =0 Ú x =a
L’equazione spuria ammette sempre
due soluzioni di cui una è zero.
ESEMPIO
3x 2 - 4x = 0
x (3x - 4) = 0
x =0 Ú
ì 4ü
S = í0, ý
î 3þ
3
Le equazioni di secondo grado
Risoluzione di equazioni incomplete
ax 2 + c = 0
 Equazione della forma
Primo metodo
Si scompone il polinomio, se possibile, e si applica la legge di annullamento del prodotto.
Secondo metodo
Dopo aver scritto l’equazione nella forma
c
x =a
2
x2 = -
c
a
si calcola la radice quadrata dei due membri:
c
- ³0
a
c
x= a
c
- <0
a
l’equazione è impossibile
 Equazione della forma monomia
c
x =± a
ax 2 = 0
L’unica soluzione è x = 0.
4
Le equazioni di secondo grado
Risoluzione di equazioni incomplete
ESEMPI
x2 - 4 = 0
Primo metodo
Secondo metodo
( x - 2) ( x + 2) = 0
x2 = 4
x -2= 0 x = 2
x + 2 = 0 x = -2
x =± 4
x = ±2
x2 + 4 = 0
Primo metodo
La somma di due quadrati
non è scomponibile e non
si annulla mai.
equazione impossibile
Secondo metodo
x 2 = -4
x = ± -4
equazione impossibile
5
Le equazioni di secondo grado
Formula risolutiva
L’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0, nell’ipotesi che sia a ≠ 0 ∧ b2 − 4ac ≥ 0,
ammette come soluzioni i numeri reali dati dalle seguenti espressioni
-b - b2 - 4ac
2a
∨
-b + b2 - 4ac
2a
L’espressione Δ = b2 − 4ac è il discriminante dell’equazione e si verifica che:
• se Δ > 0 l’equazione ammette come soluzioni due numeri reali diversi (si dice che le soluzioni sono
reali distinte)
• se Δ = 0 l’equazione ammette come soluzione due numeri reali uguali (si dice che le soluzioni sono
reali coincidenti)
• se Δ < 0 l’equazione non ammette soluzioni reali.
6
Le equazioni di secondo grado
Risoluzione equazioni complete
ESEMPI
1.
Risolviamo l’equazione
x=
2x 2 + x - 6 = 0
-1± 12 - 4 × 2× (-6)
2× 2
=
nella quale a = 2; b = 1; c = −6
-1± 49 -1± 7
=
=
4
4
-1- 7
= -2
4
-1+ 7 3
=
4
2
ì
3ü
S = í-2, ý
2þ
î
7
Le equazioni di secondo grado
Risoluzione equazioni complete
ESEMPI
2.
Risolviamo l’equazione
x 2 + 8x +16 = 0 nella quale
-8 ± 82 - 4 ×1×16 -8 ± 0
x=
=
= -4
2×1
2
3.
Risolviamo l’equazione
x 2 - 3x + 8 = 0
3 ± 32 - 4 ×1× 8 3 ± -23
x=
=
2×1
2
a = 1; b = 8; c = 16
S = {-4}
nella quale a = 1; b = −3; c = 8
S=Æ
8
Le equazioni di secondo grado
Formula risolutiva
Se il coefficiente b dell’equazione ax2 + bx + c = 0 è un numero pari, si può utilizzare la formula
ridotta:
æ b ö2
b
- ± ç ÷ - ac
2
è 2ø
x=
a
ESEMPIO
3x 2 + 4x -1= 0
x=
-2 ± 4 + 3
=
3
-2 - 7
3
-2 + 7
3
9
Le equazioni di secondo grado
Equazioni frazionarie
Nel caso di equazione frazionaria seguiamo la seguente procedura:
• determinazione del dominio D;
• riduzione dell’equazione alla forma intera;
• applicazione della formula risolutiva se è completa o degli algoritmi specifici se è incompleta.
ESEMPIO
3
- +x =2
x
Il dominio dell’equazione è D = R − {0}
Scriviamo l’equazione in forma normale
Applichiamo la formula ridotta:
x = 1± 1+ 3 = 1± 2
-3 + x 2 = 2x
x = -1
x =3
x 2 - 2x - 3 = 0
S = {-1, 3}
10
Le equazioni di secondo grado
Equazioni letterali
Quando un’equazione contiene dei parametri è necessario discutere che cosa accade all’insieme
delle soluzioni al variare di tali parametri.
Procedura risolutiva generale da seguire
 Bisogna stabilire qual è il dominio dell’equazione, cioè l’insieme dei valori che può assumere
l’incognita: il dominio è in genere R se l’equazione è intera, è R esclusi i valori che rendono nulli i
denominatori se l’equazione è frazionaria.
Per esempio:
x+a
x = 3a
2
ha dominio R
x + a x +1
=1
x -2 x -a
poiché deve essere x ≠ 2 e x ≠ a, ha dominio R − {2, a}
2
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Le equazioni di secondo grado
Equazioni letterali
 Se l’equazione ha dei denominatori letterali, è necessario che questi non siano nulli.
Per esempio nell’equazione
x2 - 2 x +1
= a -1
a+1 a - 2
si deve porre a ≠ −1 ∧ a ≠ 2
Attenzione a non confondere il dominio di un’equazione con le condizioni che devono essere
imposte al parametro: l’equazione precedente è intera e quindi il suo dominio è R, le condizioni
sul parametro sono poste affinché l’equazione non perda significato.
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Le equazioni di secondo grado
Equazioni letterali
 Si devono applicare correttamente i principi di equivalenza delle equazioni; per esempio si deve
essere certi che, quando si dividono entrambi i membri di un ’ equazione per una stessa
espressione letterale, questa non sia nulla:
3x 2 - 6ax + 9a2 = 0
ax 2 - 4a2 x + 6a3 = 0
si può dividere per 3
x 2 - 2ax + 3a = 0
x 2 - 4ax + 6a2 = 0
si può dividere per a solo se a ≠ 0
 Quando si applica la formula risolutiva, si deve essere certi che il coefficiente a di x2 non sia nullo
perché, in caso contrario, la formula non si può applicare.
3x 2 - 2ax - a2 = 0
2
a
-1
x
( ) - ax + 1= 0
Si può applicare la
formula (ridotta)
Si può applicare la
formula solo se a ≠ 1
1
- a
3
a ± a + 3a
x=
=
3
2
2
a ± a - 4(a -1)
a
1
2
x=
2(a -1)
=
a-1
2
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Le equazioni di secondo grado
Equazioni letterali
L’insieme dei ragionamenti che si fanno sul parametro per stabilire quante e quali sono le soluzioni
di un’equazione rappresenta la discussione dell’equazione. Uno schema generale su come
procedere è il seguente.
 Caso dell’equazione intera
Il dominio è R, non ci sono condizioni sull’incognita; possono però esserci condizioni iniziali sul
parametro. Arrivati alla forma normale:
 si pone il coefficiente di x2 diverso da zero (questa operazione non è necessaria se tale
coefficiente è numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve
l’equazione;
 si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi
al punto precedente.
Inoltre, quando il discriminante è letterale e non è un quadrato perfetto, l’equazione ammette
soluzioni reali solo se vale la condizione Δ ≥ 0.
Esempio:
x 2 - 2x + a = 0
x = 1± 1- a
e deve essere 1 − a ≥ 0
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Le equazioni di secondo grado
Equazioni letterali
ESEMPIO
D=R
bx 2 -1= 3x 2 + 8
Riscriviamo l’equazione in forma normale:
( b - 3) x 2 - 9 = 0
L’equazione è incompleta e per risolverla ricaviamo l’espressione di x2:
• se b ≠ 3
9
x =
b-3
2
x2 = ±
3
3 b-3
=±
b-3
b-3
Le soluzioni sono reali se b − 3 > 0, cioè b > 3
• se b = 3 l’equazione diventa:
che è impossibile
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Le equazioni di secondo grado
Equazioni letterali
 Caso dell’equazione frazionaria
Il dominio è R, ad esclusione dei valori dell’incognita che annullano i denominatori; possono anche
esserci condizioni iniziali sul parametro.
Arrivati alla forma normale:
 si pone il coefficiente di x2 diverso da zero (questa operazione non è necessaria se tale
coefficiente è numerico o se la condizione coincide con una di quelle iniziali) e si risolve
l’equazione; trovate le soluzioni si procede al confronto con le condizioni imposte dal dominio;
 si verifica che cosa accade quando il parametro assume quel o quei valori che sono stati esclusi
al punto precedente.
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Le equazioni di secondo grado
ESEMPIO
5( x + 2)
2
Equazioni letterali
b b
+ + =0
2 x
L’equazione è frazionaria e deve essere x ≠ 0 quindi D = R − {0}
Scriviamola in forma normale:
5x ( x + 2) + bx + 2b = 0 5x 2 + (10 + b) x + 2b = 0
Calcoliamo il discriminante:
Il coefficiente di x2 è numerico, troviamo subito le soluzioni:
x=
-10 - b ± (10 - b)
10
-
20
= -2
10
=
2b
b
=10
5
continua
17
Le equazioni di secondo grado
Equazioni letterali
Vediamo se le soluzioni trovate sono accettabili:
• la soluzione −2 appartiene sicuramente al dominio;
• dobbiamo invece confrontare la soluzione
Quindi se b = 0 la soluzione
Riassumendo:
se b ≠ 0
se b = 0
-
b
-
b
con 0:
5
-
b
5
¹0
se
b¹0
non è accettabile e deve essere scartata.
5
ì
bü
S = í-2, - ý
5þ
î
{ }
S = -2
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Le equazioni di secondo grado
Relazioni tra coefficienti e soluzioni
Fra le soluzioni x1 e x2 di un’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0 e i suoi coefficienti a,
b e c sussistono le seguenti relazioni:
x1 + x2 = -
b
a
S
S: somma delle soluzioni.
x1 × x 2 = -
c
a
P
P: prodotto delle soluzioni.
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Le equazioni di secondo grado
Relazioni tra coefficienti e soluzioni
Mediante l’utilizzo di tali relazioni è possibile risolvere i seguenti problemi:
1.
Trovare le soluzioni di un’equazione senza applicare la formula risolutiva.
Per trovare le soluzioni dell’equazione x2 − 4x − 5 = 0 senza utilizzare la formula risolutiva basta
calcolare:
b
x1 + x2 = - = +4
a
c -5
x1 × x2 = =
= -5
a 1
Dobbiamo trovare due numeri la cui somma è 4 e il cui prodotto è −5:
x1 = −1 e x2 = 5
infatti
−1 + 5 = 4 e −1  5 = −5
20
Le equazioni di secondo grado
2.
Relazioni tra coefficienti e soluzioni
Individuare due numeri conoscendo la loro somma e il loro prodotto.
Per determinare due numeri di cui si conoscono somma s e prodotto p basta risolvere l’equazione
x2 − sx + p = 0
Le sue soluzioni sono i numeri richiesti.
Se
s=
1
15
e
p=-
2
15
-
1± 1+ 120
x=
=
30
x2 -
1
2
x- =0
15
15
1
3
I due numeri sono
2
5
15x 2 - x - 2 = 0
1
3
e
2
5
21
Le equazioni di secondo grado
3.
Relazioni tra coefficienti e soluzioni
Scrivere l’equazione che ha per soluzioni due numeri assegnati.
Indichiamo con x1 e x2 i due numeri; se s è la loro somma e p è il loro prodotto, essi sono
soluzione dell’equazione
x 2 - sx + p = 0
se
1
x1 = 3
calcoliamo
e
7
x2 =
2
1 7 19
s = x1 + x2 = - + =
3 2 6
L’equazione ha quindi la forma
x2 -
19
7
x- =0
6
6
1 7
7
p = x1 × x2 = - × = 3 2
6
oppure
6x 2 -19x - 7 = 0
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Le equazioni di secondo grado
Relazioni tra coefficienti e soluzioni
Scomposizione del trinomio di secondo grado
Se ax2 + bx + c è un trinomio di secondo grado con a ≠ 0 e se x1 e x2 sono le eventuali radici (cioè
le soluzioni reali dell’equazione associata ax2 + bx + c = 0), si ha che:
• se Δ > 0
ax2 + bx + c = a (x − x1)(x − x2)
• se Δ = 0
ax2 + bx + c = a (x − x1)2
• se Δ < 0
ax2 + bx + c è irriducibile
ESEMPIO
Scomponiamo:
Si ha quindi che:
3x - 7x + 2
2
Risolviamo l’equazione
associata:
7 ± 49 - 24
x=
=
6
æ
1ö
3x - 7x + 2 = 3ç x - ÷( x - 2) = (3x -1) ( x - 2)
3ø
è
1
3
2
2
23