T - Unife

Alcuni modelli probabilistici

La distribuzione di Bernoulli
Si consideri un esperimento caratterizzato da una sola estrazione ed il cui
risultato possa essere di due tipi soltanto: successo-insuccesso
x  0  insuccesso
x  1  successo
Distribuzione di probabilità di massa (PMF) della variabile x
se x  1
p
pX  x   
1  p
se x  0
Media e varianza
mX  E  X    xp X  x   1 p  0  1  p   p
2
2
2
2
 X2  E  X  mX      x  mX  p X  x   1  p  p   0  p  1  p   1  p  p



La distribuzione Binomiale
Si consideri una sequenza di esperimenti di Bernoulli, ipotizzando che i risultati
degli esperimenti siano mutuamente indipendenti e che la probabilità di successo
rimanga inalterata durante la sequenza.
Es: Dimensionamento opera di difesa fluviale con vita economica valutata in 30
anni.
Il manifestarsi o meno, in ciascun anno, di una portata maggiore o uguale a
quella di progetto rappresenta di fatto una sequenza di 30 esperimenti (uno per
anno), posto che i valori della portata massima annuale siano fra loro
indipendenti e che la probabilità di successo p (successo=superamento della
portata di progetto) rimanga inalterata durante i 30 anni.
Consideriamo adesso per semplicità ad esempio n=3 esperimenti in ciascuno dei
quali la probabilità di successo sia uguale a p.
Indichiamo con Y il numero di successi in una sequenza di n=3 esperimenti
Y=numero di successi su n esperimenti

La distribuzione Binomiale
Consideriamo il caso
Y=0
P Y  0  1  p 1  p 1  p   1  p 
Consideriamo il caso
Y=1
Seq.1 Seq.2 Seq.3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3

La distribuzione Binomiale
Ogni singola sequenza rappresenta un evento di probabilità pari a
p 1  p 1  p   p 1  p 
2
D’altronde l’evento Y=1 è rappresentato ugualmente dalla Seq. 1 o dalla seq. 2 o
dalla seq. 3, quindi
P Y  1  3 p 1  p 
2

La distribuzione Binomiale
Consideriamo il caso
Y=2
Seq.1 Seq.2 Seq.3
1
0
1
1
1
0
0
1
1
Ogni singola sequenza rappresenta un evento di probabilità pari a
p 2 1  p 
D’altronde l’evento Y=2 è rappresentato ugualmente dalla Seq. 1 o dalla seq. 2 o
dalla seq. 3, quindi
P Y  2  3 p2 1  p 

La distribuzione Binomiale
Consideriamo il caso
Y=3
P Y  3  p3
Tali risultati sono sintetizzabili in:
3  y
3!
3 y
3 y
pY  y     p 1  p  
p y 1  p 
y ! 3  y !
 y
Coefficiente binomiale
Ovvero, per un generico n intero:
n y
n!
n y
n y
y
pY  y     p 1  p  
p 1  p 
y ! n  y  !
 y
0≤p≤1
y=1,2,….,n

La distribuzione Binomiale
La variabile Y è la somma di n variabili X, ciascuna delle quali rappresentativa di
un esperimento di Bernoulli. Per cui la media e la varianza di Y possono essere
calcolate come:
n
 n
 n
mY  E Y   E   X i    E  X i    p  np
i 1
 i 1  i 1
n
n


 Y2  Var Y   Var   X i   Var  X i   np 1  p 
 i 1  i 1

La distribuzione Geometrica
La distribuzione binomiale consente di rispondere alla domanda «Quanti
successi Y avremo su n esperimenti Bernoulliani?». D’altronde può essere di
interesse anche chiedersi in termini probabilistici «dopo quanti esperimenti
Bernoulliani vi sarà il primo successo?»
Sia N il numero di esperimenti che precedono il primo successo; sia p la
probabilità di successo al generico esperimento; gli esperimenti siano sempre
indipendenti.
Il primo successo arriva all’ennesimo esperimento quando è preceduto da n-1
insuccessi.
La probabilità di osservare n-1 insuccessi e un successo subito dopo è pari a
(1-p)n-1p.
Pertanto la probabilità di avere il primo successo all’ennesimo esperimento è:
P  N  n   pN  n   1  p 
n 1
p
Funzione di probabilità di massa

La distribuzione Geometrica
La funzione di probabilità cumulata è:
n
n
FN (n)   pN  j    1  p 
j 1
j 1
p  1  1  p 
n 1
Rappresenta la probabilità che
il successo si manifesti in un
numero N≤n di anni,
Es. probabilità che almeno un
esondazione si verifichi nei
prossimi n anni
Media e varianza
E  N    np 1  p 
Rischio idrologico
j 1
Formula della somma di una
progressione geometrica

n
n 1

1
p
Var  N   E  N 2   E 2  N  
1 p
p2
La distribuzione Geometrica

Media
EN 
1
p
valore atteso del numero di esperimenti
che precedono il primo successo
esperimenti sono ipotizzati
indipendenti gli uni dagli altri
valore atteso del numero di esperimenti che
intercorrono fra due successi consecutivi
1
Tr 
p
Tempo di ritorno: numero medio di anni che intercorre
tra due successive manifestazioni di un evento

La distribuzione di Poisson
Si consideri la distribuzione Binomiale dove n rappresenta il numero di
esperimenti, p la probabilità di avere successo nel generico esperimento e con x
il numero di successi su n esperimenti:
n!
n x
pX 
p x 1  p  ;
x ! n  x !
x =0,1,2,3,...,n
Immaginiamo adesso che ogni esperimento sia cadenzato nel tempo (ad esempio
ogni secondo).
Dunque con n esperimenti si copre un determinato intervallo di tempo.
Se, fermo l’intervallo di tempo complessivo, eseguiamo gli esperimenti con maggior
frequenza, n tende ad aumentare e p a diminuire ma il loro prodotto, che rappresenta
il valore atteso dei successi sull’intervallo di tempo complessivo, resta invariato.
Posto 
 pn si ha:

La distribuzione di Poisson
n!
 
pX 
 
x ! n  x  !  n 

x 

1  
x!  n 
n
x
 
1  
 n
n!
 n  x !
n x

1
 
n x 1  
 n
x




n 
 x     n  n  1 n  2  n  3 ....  n  x  1 
 1  
x

x!  n  
   


 n 1  n  

 


Per n -> 




n
n

1
n

2
n

3
....
n

x

1






nx


Il termine 
si comporta come x e quindi tende a 1
x

n
   


n
1

  n 



 
 
lim 1    exp   
n 
 n
n

La distribuzione di Poisson
Quindi per n ->  :
pX 
Posto
  t
si ha:
mX   x
 X2   x
x!
exp   
(numero di esperimenti -> tempo)
pX  x 
Media e varianza
x
t 


e  t
x!
x

La distribuzione Esponenziale
La distribuzione esponenziale corrisponde nel continuo alla distribuzione
geometrica. Essa descrive il tempo intercorrente tra due eventi successivi.
Indichiamo quindi con T il tempo intercorrente fra due eventi successivi.
La probabilità che T ecceda un assegnato valore t equivale alla probabilità
che nessuno evento si manifesti in tale intervallo. Quindi:
1  FT  t  
  t 

t
e
 
probabilità che
T ecceda un
assegnato
valore t
0
0!
 e   t 
t0
nessuno evento si manifesta in tale
intervallo
x  t
pX  x 
t 


e
x!
con x=0

La distribuzione Esponenziale
pertanto
FT  t   1  exp  t  ;
fT  t  
dFT  t 
dt
  exp  t  ;
Media e varianza


1
0
0

E T   mT   tfT  t  dt   t  e  t dt 
Var T     
2
T

0
 t  mT  fT  t  dt 
2
1
2