Introduzione alla Trigonometria

La
trigonometria
Nell’Encyclopédie
(XVIII secolo) si legge:
"Trigonometria è l’arte
di trovare le parti
incognite di un
triangolo mediante
quelle che si
conoscono"
Perspective: una tavola dell’Encyclopédie
La trigonometria ha una storia lunga e
complessa.
Il termine, coniato in latino dal
matematico e teologo tedesco Pitiscus
(1561-1613) nel 1595 a partire dai
termini greci trigonos (triangolo) e
metron (misura), mette in gioco diversi
aspetti della matematica aventi però tutti
l’esigenza di far intervenire gli angoli.
I problemi specifici della trigonometria
piana hanno avuto un’applicazione
pratica in agrimensura, topografia…ma
la trigonometria fino al 1450 significò
soprattutto trigonometria sferica, ossia
una “geometria” applicata
all’Astronomia.
Era questa la trigonometria di Ipparco, Menelao e Tolomeo, motivata dal desiderio di
prevedere i moti e le posizioni dei corpi celesti per la compilazione di calendari, per la
navigazione e la geografia. Questa trigonometria di cui Ipparco, vissuto a Rodi e
Alessandria e morto nel 125 a.C. fu il fondatore, raggiunse un alto livello di sviluppo con il
capolavoro Sphaerica di Menelao (morto nel 98 d.C.) e con l’opera Almagesto
dell’egiziano Claudio Tolomeo morto nel 168 d.C.
Anche gli Arabi studiarono e compirono progressi in trigonometria: Tabit ibn Qorra e
l’astronomo al Battari (859-929) introdussero l’uso dei seni, della tangente, della
cotangente e del teorema dei seni.
La sistemazione della trigonometria in un’opera
indipendente dall’astronomia fu fatta da Nasir –
Eddin (1201-1274) nel suo Trattato sul
quadrilatero, ma quest’opera arrivò agli Europei
solo nel 1450 e fino ad allora la trigonometria
rimase un’appendice dell’astronomia sia nei testi
che nelle applicazioni. A partire da quel periodo
cominciò a diventare importante anche per
l’agrimensura.
Le nuove ricerche vennero fatte da alcuni tedeschi
tra la fine del XV e l’inizio del XVI secolo. Nelle
ricche e prospere città della lega anseatica i
mercanti patrocinavano le opere di molti studiosi:
il lavoro sulla trigonometria era motivato dalla navigazione, dal calendario e
dall’astronomia con la creazione della nuova teoria eliocentrica.
Da questo periodo furono anche note le opere degli arabi
orientali Abu’l –Wafa e Nasir –Eddin.
Regiomontano fu abile a raccogliere nel De
triangulis(1462-1463) tutte le conoscenze disponibili di
trigonometria piana e trigonometria sferica e a farne un
sistema organico.
Risoluzione di triangoli
rettangoli
PROBLEMI CHE MOTIVANO LA RICERCA DI RELAZIONI TRA LATI ED ANGOLI DI UN
TRIANGOLO RETTANGOLO
ESERCIZIO 1
Siamo in Grecia nel II sec.a.C. e Aristarco di Samo, appassionato studioso del cielo, riesce a fissare il
rapporto tra le distanze Terra-Sole e Terra-Luna. “Quando la Luna si presenta come una perfetta
mezzaluna, l’angolo fra le visuali del Sole e della Luna è inferiore ad un angolo retto per un trentesimo di
quadrante: quanto è più lontano dalla Terra il Sole rispetto alla Luna?”
Poiché al tempo di Aristarco non
c’era un uso della misura degli
angoli in gradi il problema descritto
è di difficile comprensione.
Usando la misura dell’angolo in
gradi il “quadrante” di Aristarco
equivale ad un angolo di 90° e un
trentesimo di quadrante corrisponde
ad un angolo ampio 3°.
L’angolo indicato da Aristarco sarà ampio: 90°-3°=87°. Il problema può essere schematizzato nel
triangolo LTS di cui si conosce l’angolo LTS=87° e si vuole calcolare il rapporto fra la istanza TerraLuna (ovvero il cateto LT) e la distanza Terra-Sole (ovvero l’ipotenusa TS). Ma quale relazione lega
l’angolo LTS al rapporto LT/TS?
ESERCIZIO 2
Siamo nel 1621 quando l’olandese Willebord Snell e dopo di lui il francese René Descartes (Cartesio),
formulano la legge matematica che descrive il fenomeno della rifrazione subita dalla luce, passando da
un mezzo trasparente ad un altro.
In figura a lato è stato fotografato il
cammino di un raggio laser che passa
dall’aria al vetro.
Si nota che il raggio incidente, raggio
rifratto e normale si trovano sullo stesso
piano, ma dall’esperienza risulta che
l’angolo di incidenza e l’angolo di rifrazione
sono diseguali. All’aumentare di i, aumenta
anche r, ma tali angoli non sono
direttamente proporzionali!
Misurando le semicorde che si formano tra
la normale e le intersezioni tra i raggi e la
circonferenza si nota che il loro rapporto rimane costante.
Ma c’è una legge tra l’angolo di incidenza e quello di
rifrazione che non obbliga ad utilizzare sempre un cerchio
graduato?
Si dovranno esaminare triangoli con la stessa ipotenusa (il
raggio della circonferenza) e scoprire come un cateto è
legato all’angolo opposto. Questo problema somiglia a
quello di Aristarco, lo risolveremo più avanti.
In lavorazione……..