Equazioni di 1 grado

ax  b
EQUAZIONI E PROBLEMI
DI 1° GRADO
Percorso docente
Percorso studente
Ideata da: Filardo Pietro, Gentile Giacomo e Sciortino Andrea
INTRODUZIONE
Gli argomenti presentati in questo modulo costituiscono un ampio corpo centrale di un itinerario didattico riferito
all’algebra.
Questo percorso ha una sua specificità ed organicità, in un progetto curricolare variamente articolato, quale può
essere quello che scaturisce dai programmi di matematica per il biennio.
La trattazione della teoria delle equazioni di 1° grado deve seguire quella degli insiemi numerici, del calcolo letterale,
delle nozioni di base sugli insiemi e sulle relazioni, il piano cartesiano, la funzione lineare, mentre per quanto
riguarda i problemi è richiesta la conoscenza di argomenti che trattano la geometria razionale.
L’obiettivo fondamentale di questo modulo, comunque, è quello di trasmettere le abilità necessarie per risolvere
equazioni e problemi di 1° grado, i quali sono spesso un modello algebrico di problemi reali.
Abbiamo scelto di affrontare la ricerca delle soluzioni dell’equazioni di 1° grado utilizzando un processo mentale
costruito passo per passo sulla base dell’analisi dei dati elaborati, nel tentativo di indurre gli studenti a sfruttare le
conoscenze che hanno acquisito in precedenza.
Contemporaneamente si procede all’interpretazione geometrica delle equazioni di 1° grado utilizzando la retta.
Inoltre i problemi proposti saranno di varie tipologie: concreti, ideali, a carattere geometrico e algebrico e saranno
proposti in ordine di difficoltà. I primi problemi saranno molto semplici, tanto che potranno essere risolti anche "a
mente" o per tentativi. Aumentando via via la difficoltà dei problemi, l'idea è quella di mettere gli studenti in
condizione di non potersi più servire dei suddetti metodi risolutori ("a mente" e per tentativi) e di guidarli verso
una risoluzione algebrica che grafica. In questo tipo di attività l’insegnante assume un ruolo di conduttore e di
moderatore nel caso in cui si generino delle discussioni tra gli studenti.
INTRODUZIONE
In generale, un’equazione nasce dalla formulazione di un problema nel quale figura una
quantità sconosciuta. L’equazione non fa altro che tradurla in termini algebrici e la sua risoluzione consente di
trovare il valore di quella quantità, detta anche incognita.
“Marco ha una quantità di euro nel portafoglio tale che moltiplicandola per tre e sottraendo nove dà come
risultato quindici. Quanti soldi ha Marco?”
Chiamando x gli euro che Marco ha nel portafoglio, l’enunciato di questo problema diventa:
3x-9=15
Questo webquest ti permetterà di rispondere a questo quesito e a risolvere tanti tipi di problemi, fornendoti
le conoscenze e le competenze necessarie per affrontare e risolvere sia algebricamente che graficamente
l'equazioni di primo grado.
L'equazioni di primo grado costituiscono uno degli argomenti di algebra più importanti del tuo percorso di
studi.
Buona lettura e buon lavoro.
Ricorda che per affrontare correttamente l’argomento devi prima aver studiato:
I numeri interi relativi
I numeri razionali
Calcolo letterale
Il piano cartesiano
COMPITI
1.
2.
3.
4.
5.
Dal problema all’equazione
Individua alcuni problemi aventi come modello algebrico un’equazione di 1° grado.
Caratteristiche dell’equazione di 1° grado
Classifica le equazioni di 1° grado al variare dei coefficienti a e b.
Studia le relative soluzioni nei vari casi.
Come risolvere un’equazione di 1° grado
a. metodo algebrico
b. metodo grafico
Applicazione dell’equazione di 1° grado alla risoluzione di problemi
Relazioni tra coefficienti e soluzioni
Problema 1 Scrivere l’equazione che ha come soluzione un intero positivo.
Problema 2 Scrivere l’equazione che ha come soluzione un intero negativo.
Problema 3 Scrivere l’equazione che ha come soluzione un numero razionale.
PROCEDIMENTO
Fase 1 (ore 0,5)
La classe si divide in tre gruppi
Fase 2 (ore 1,5)
I capigruppo prendono visione del webquest in modo da organizzare la divisione dei ruoli dei loro
compagni all’interno di ogni gruppo
Fase 3 (ore 6)
Lavoro nei gruppi
I gruppo individua alcuni problemi aventi come modello algebrico un’equazione di 1° grado.
Raccoglie informazioni riguardanti le equazioni di 1° grado e la loro classificazione in
relazione ai coefficienti;
II gruppo studia il metodo di risoluzione algebrico delle equazioni di 1° grado;
III gruppo studia il metodo di risoluzione grafica delle equazioni di 1° grado;
Fase 4 ( ore 3)
I componenti del gruppo si riuniscono ed illustrano ai compagni i risultati delle loro ricerche.
Confronto dei vari metodi risolutivi e scelta motivata di uno tra i metodi studiati per la risoluzione
delle equazioni.
Fase 5 (ore 4)
Esposizione delle attività del gruppo all’intera classe mediante la smart board; Tutti i componenti
del gruppo saranno coinvolti nell’esposizione del lavoro svolto.
Fase 6 (ore 6)
Ogni componente del gruppo risolve indipendentemente le equazioni proposte; usa per ogni
equazione un metodo differente ed indica il metodo scelto. Risolve inoltre i problemi proposti dai
vari gruppi.
Dopo avere risolto le equazioni, ogni elemento del gruppo paragona la sua risoluzione con quella
dei compagni. Se le soluzioni a cui siete pervenuti non sono uguali riguardate i metodi scelti, i
procedimenti seguiti e scegliete la soluzione che ritenete corretta. Giustificare i motivi per la
scelta del metodo che avete usato per risolvere le equazioni.
Usando le conoscenze recentemente acquisite, siete ora in grado di risolvere problemi di primo
grado ad una incognita?
Fase 7 ( ore 6)
Ogni componente del gruppo risolve indipendentemente i problemi proposti dall’insegnante. Si
confrontano le soluzioni trovate.
Fase 8 (ore 3)
Esposizione delle attività del gruppo all’intera classe mediante la smart board;
APPROFONDIMENTO 1
Un problema di geometria
In un rettangolo la base supera di tre metri il triplo dell’altezza e il perimetro è
di metri 62. Determinare l’area della figura.
D
C
A
B
Ponendo AD  x si deduce che AB  3x  3 .
Pertanto, sapendo che il perimetro è AB  BC  CD  AD  62 ha senso scrivere:
AB  AD  31
Sostituendo si ottiene:
3x  3  x  31
Ossia:
4x  28
Cioè:
x7
Quindi l’altezza AD  7 metri mentre la base AB  24 metri.
L’area del rettangolo è AB  AD  24  7  168 metri al quadrato.
APPROFONDIMENTO 2
Interpretazione geometrica della soluzione di un’equazione di primo grado
Per i Greci la soluzione dell’equazione
2x  16
scritta nel modo seguente
2x  4 2
equivale a determinare la misura incognita di un lato del rettangolo,
con una dimensione uguale a 2 ed equivalente ad un quadrato di lato 4.
=
2
x
4
La soluzione dell’equazione è 8.
Le due figure hanno la stessa area.
LINKS E RISORSE
Usare i seguenti collegamenti per la vostra ricerca:
I numeri interi relativi
I numeri razionali
Appunti sui monomi
Appunti sui polinomi
Il piano cartesiano
Teoria sulle equazioni di primo grado
Risoluzione algebrica in Excel
Risoluzione grafica in GeoGebra
Risoluzione grafica in Excel
Esercizi svolti sulle equazioni di primo grado
Esercizi sulle equazioni di primo grado
Esercizi sulle equazioni di primo grado con frazioni
Test sulle equazioni di primo grado
Problemi di primo grado ad una incognita
Una poesia che diventa equazione
Cenni storici 1 (Equazioni di primo grado di Diofanto)
Cenni storici 2 (Equazioni di primo grado di Tartaglia e di Bombelli)
VALUTAZIONE
Punteggio totale
___________/80
Valutazione
___________/10
Grado di sicurezza nel
calcolo
Fa tanti errori di calcolo
Fa qualche errore di calcolo
Esegue esattamente i calcoli
O-4 Obiettivo non raggiunto
5-6 Obiettivo parzialmente raggiunto
7-10 Obiettivo raggiunto
Chiarezza grafica
Scrive e impagina in modo disordinato
Un po’ disordinata
Ordinata
O-4 Obiettivo non raggiunto
5-6 Obiettivo parzialmente raggiunto
7-10 Obiettivo raggiunto
Proprietà di linguaggio
Non usa il linguaggio appropriato
E’ incerto nell’uso dei termini specifici
Usa bene il linguaggio matematico
O-4 Obiettivo non raggiunto
5-6 Obiettivo parzialmente raggiunto
7-10 Obiettivo raggiunto
Quantità del lavoro
svolto
Non svolge nulla del lavoro assegnato
Esegue parzialmente quanto richiesto
Esegue tutto il lavoro assegnato
O-4 Obiettivo non raggiunto
5-6 Obiettivo parzialmente raggiunto
7-10 Obiettivo raggiunto
Qualità del lavoro
svolto
Difficoltà ad interpretare il testo e impostare il lavoro
Non sempre riesce ad essere autonomo
Imposta correttamente il lavoro
O-4 Obiettivo non raggiunto
5-6 Obiettivo parzialmente raggiunto
7-10 Obiettivo raggiunto
Lavoro di gruppo
Non collabora e disturba i compagni
Vuole imporsi e non sempre accetta le proposte degli altri
Il suo apporto è costruttivo
O-4 Obiettivo non raggiunto
5-6 Obiettivo parzialmente raggiunto
7-10 Obiettivo raggiunto
Impegno personale
Non lavora mai da solo
Saltuario
Costante
O-4 Obiettivo non raggiunto
5-6 Obiettivo parzialmente raggiunto
7-10 Obiettivo raggiunto
Ragionamento
Non è in grado di giustificare i procedimenti
Sa giustificare i procedimenti, ma deve essere guidato
Sa spiegare in modo logico le proprie scelte
O-4 Obiettivo non raggiunto
5-6 Obiettivo parzialmente raggiunto
7-10 Obiettivo raggiunto
CONCLUSIONE
CERTIFICAZIONI DELLE MINIME COMPETENZE
Al termine dell’unità didattica lo studente deve:
Saper classificare le equazioni di primo grado.
Saper risolvere le equazioni di primo grado con il metodo algebrico.
Saper risolvere le equazioni di primo grado con il metodo grafico.
Interpretare la retta come rappresentazione di una funzione di 1° grado.
Saper applicare le equazioni di primo grado alla risoluzione di
problemi.
Esercizi proposti
b
x
a
Risolvi le seguenti equazioni:
4x  x  6  19
3x - 5  x  7
- 2x  9  5x - 1  x - 3 - 3x
1
3
2
0,2x  1,2  0
2x -
2,5x  3,2  1,8
 x - 2   x  3 
x  4 - x - 5x  5  0
2
2
2
x  2 2x  1
1

 x
4
3
3
x  1  x  3x  2  x 2  3   36x  2  19
2

4
4
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Problemi proposti
Problema 1
Trovare un numero che sommato alla sua metà e alla sua terza parte dia 55.
Problema 2
Trovare tre numeri consecutivi sapendo che la loro somma è 39.
Problema 3
Di quanto deve diminuire il numero 1,5 per ottenere il suo reciproco?
Problema 4
Qual è il numero il cui quadruplo supera di 14 i suoi 5/3?
Problema 5
Trovare un numero tale che la somma della sua quarta parte con i suoi 5/2
sia 110.
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