Presentazione di PowerPoint

Corso di Storia delle Matematiche
a.a.2003/2004
Realizzato da
Nazarena Di Grigoli
Partendo dalle costruzioni geometriche relative alla sezione aurea,
studiate in Matematica abbiamo scoperto con curiosità che aspetti
così tecnici si ricollegano naturalmente non solo con argomenti di
altre discipline di studio, ma possono essere un’occasione di
crescita di interessi culturali.
La definizione di sezione aurea ci ha condotto alla scoperta che in
alcuni poligoni regolari si incontra continuamente questo rapporto,
tanto che i pitagorici, apprezzandone la bellezza formale, avevano
scelto come loro segno di riconoscimento il pentagono stellato.
Persino la natura, in situazioni anche molto diverse, sembra
utilizzare i numeri della successione di Fibonacci, che si
succedono nel rapporto aureo.
Riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole, la
sezione aurea è stata utilizzata come base per la composizione di
elementi pittorici o architettonici. In realtà vari esperimenti
suggeriscono che la percezione umana mostra una naturale
preferenza per le proporzioni in accordo con la sezione aurea.
Il lavoro è articolato nelle seguenti sezioni:
La sezione aurea e la geometria
In questa sezione si presentano la
definizione di sezione aurea e alcune
costruzioni geometriche significative della
relazione tra la sezione aurea e i poligoni
regolari.
La sezione aurea e l’Aritmetica
In questa sezione si verifica la relazione
tra la successione di Fibonacci e il
rapporto aureo.
LA SEZIONE AUREA E LA GEOMETRIA
- Breve storia della sezione aurea
- Definizione geometrica
- La Sezione Aurea negli Elementi di Euclide
- La misura della sezione aurea
- Il rapporto aureo
- Costruzione di un segmento del quale si conosce la parte
aurea
- La parte aurea della parte aurea di un segmento
- La costruzione di Erone di Alessandria
- Il rettangolo aureo
- La spirale aurea
- Triangolo aureo con angoli di misura: 72°, 72°, 36°.
- Triangolo con angoli di misura: 36°, 36°, 108°.
- Il pentagono e triangoli in esso contenuti
- Il compasso aureo
Breve storia della sezione aurea
Sin dai tempi più antichi, dagli egiziani ai più moderni
frattali, la proporzione divina o aurea è sempre stata presa
in considerazione per ottenere una dimensione armonica
delle cose.
Dalla geometria all'architettura, alla pittura e alla musica
fino
alla
natura
del
creato
possiamo
osservare rappresentazioni della sezione aurea.
La Sezione Aurea fu scoperta fin dall'antichità, tanto che la
si può trovare nel libro VI degli Elementi di Euclide. Nel
tredicesimo secolo Leonardo Fibonacci, diede la definizione
algebrica delle proporzioni auree attraverso la successione
di numeri in serie. Tale rapporto prende il nome dal suo
autore.
Un largo contributo alla conoscenza ed alla
divulgazione di questo metodo di suddivisione
armonica è stato dato dal frate matematico
Luca Pacioli (1445-1510), egli fu il primo ad
esporre in modo chiaro e completo la
"secretissima scientia" del numero d'oro in un
trattato pubblicato nel 1509 dal titolo
significativo: "De Divina Proportione“.
L’aggettivo divina si giustifica perché essa ha diversi caratteri che
appartengono alla divinità: è unica nel suo genere, è trina perché
sono necessari 3 segmenti per la costruzione, indefinibile in
quanto è irrazionale, è invariabile.
I disegni del volume sono opera di Leonardo da Vinci.
Fu intorno al 1885 in Germania che alla "divina proporzione"
venne dato il nome di "sezione aurea".
Definizione geometrica:
“Assegnato il segmento AB dicesi parte aurea di AB il segmento
medio proporzionale tra l’intero segmento e la parte rimanente”.
Vediamo di spiegare meglio questo concetto partendo da Euclide.
La Sezione Aurea negli Elementi di Euclide
La prima trattazione sistematica della sezione aurea si trova
negli Elementi di Euclide, che è di gran lunga il matematico più
conosciuto di tutti i tempi. Purtroppo non sappiamo né l’anno
della sua nascita né quello della morte, ma solo che visse ad
Alessandria d’Egitto sotto il regno di Tolomeo I, insegnando nel
famoso Museo della città, ove fondò la prima scuola di
matematica alessandrina.
Le opere di Euclide pervenute sino a noi sono in tutto cinque: gli
Elementi, i Dati, la Divisione delle figure, i Fenomeni e l’Ottica.
Gli Elementi sono stati tradotti in quasi tutte le lingue conosciute
e sono stati presi a modello da centinaia di matematici per la
compilazione delle loro opere.
I libri originali che formano gli Elementi sono in tutto tredici,
anche se in epoca posteriore ne vennero aggiunti altri due. il
merito maggiore del matematico greco rimane quello di aver
saputo organizzare tutto il complesso delle conoscenze del suo
tempo in una forma che agli occhi dei suoi contemporanei
rappresentò la perfezione del sapere scientifico. I teoremi, dai
più semplici a quelli più profondi, si susseguono con difficoltà
crescente, insieme ai lemmi ed ai corollari, in una
concatenazione ordinata.
Della sezione aurea Euclide tratta una prima volta nel Libro II e
poi nel VI, facendone alcune applicazioni, ma essa viene
utilizzata ampiamente solo nel Libro XIII, l’ultimo degli
Elementi, dedicato allo studio dei cosiddetti poliedri regolari,
cioè dì quei solidi le cui facce sono poligoni regolari uguali e i
cui angoloidi sono pure tutti uguali.
Nella proposizione II. 11 viene posto il seguente problema:
“Dividere una retta data in modo tale che il rettangolo compreso da
tutta la retta e da una delle parti sia uguale al quadrato della parte
rimanente.”
Premesso che con la parola retta Euclide intende segmento di retta,
per visualizzare la costruzione geometrica del punto che divide il
segmento dato nel modo richiesto clicca in un punto qualsiasi della
pagina.
F
A
G
Se AB è il segmento dato, su di esso si
costruisce innanzitutto il quadrato ABCD.
H
Si congiunge poi il punto medio E di AC con
il vertice B e sul prolungamento di AC si
segna il segmento EF di lunghezza uguale ad
EB.
B
Si costruisce quindi il quadrato AFGH, e si
prolunga il lato GH fino a intersecare CD nel
punto K.
Allora, H è il punto cercato, cioè: AB∙BH=AH2.
E
C
K
D
Per dimostrare questa proposizione applichiamo la proposizione II. 6
al segmento CF della figura che ci permette di scrivere
EF2=CE∙FA+EA2
da cui, poiché EF=EB si ottiene
EB2= CF∙FA +EA2.
F
G
H
A
B
E
C
K
D
Applicando la proposizione I. 47 (teorema di
Pitagora) al triangolo rettangolo AEB si ottiene
EB2=AB2+EA2.
Confrontando le due ultime relazioni e
tenendo conto che FA =FG si deduce che
AB2=CF∙FG, con cui si esprime l’equivalenza
tra il rettangolo CFGK e il quadrato ABCD, cioè
che le loro aree hanno lo stesso valore
numerico.
Ma allora basterà sottrarre a queste due figure
la parte che hanno in comune, cioè il
rettangolo CAHK, per ottenere l’equivalenza
tra il quadrato AFGH e il rettangolo KHBD,
ovvero:
AH2=AB∙BH,
che
soddisfa
alla
condizione posta dal problema.
Questo stesso problema della costruzione della sezione aurea viene
riconsiderato da Euclide nel libro VI (che tratta le proprietà dei
poligoni simili) utilizzando la teoria delle proporzioni esposta nel libro
precedente.
All’inizio dello stesso libro nella Definizione 3 parla di sezione aurea
sotto termini di retta divisa in estrema e media ragione:
“Si dice che una retta risulta divisa in estrema e media ragione quando
tutta quanta la retta sta alla parte maggiore di essa come la parte
maggiore sta a quella minore”
Facendo riferimento alla figura, ciò significa che bisogna determinare
il segmento AX che sia medio proporzionale del segmento AB,
ovvero tale che
AB:AX=AX:XB
A
X
B
Dei due segmenti in cui AB viene diviso dal punto X, AX (cioè la parte
maggiore) viene detto la sezione aurea di AB.
La proposizione VI, 30 che affronta nuovamente il problema della
costruzione della sezione aurea viene così enunciata:
“Dividere in estrema e media ragione una retta terminata data”
Per dimostrarla utilizzeremo la proposizione VI, 29 che riguarda la
costruzione di un rettangolo di area data, avente per base la somma di
un segmento dato e di un altro segmento che al tempo stesso deve
essere altezza del rettangolo.
Questa costruzione è sempre possibile, sia algebricamente che
geometricamente, mediante le proposizioni euclidee del Libro II. Infatti
supponendo che il lato dato sia a volendo
costruire su esso un
rettangolo di area Z che abbia una dimensione pari ad (a +x) e l’altra
pari ad x avremo
(a +x) x =Z
Il problema è sempre risolubile dal momento che si può prendere la
retta aggiunta x grande quanto si vuole.
Dopo aver fatto questa precisione possiamo passare alla dimostrazione
della proposizione VI, 30.
Procediamo con la costruzione geometrica che sarà possibile
visualizzare cliccando in un punto qualsiasi della pagina.
Se AB è il segmento dato, si costruisce innanzitutto il quadrato ABHC.
C
F
H
A questo punto Euclide applica la
proposizione VI,29 che ci permette di
costruire un rettangolo equivalente al
quadrato ABHC.
Quindi prolunghiamo il segmento CA di
un tratto AK.
Costruiamo il quadrato AKDE.
A
E
K
D
B
Prolunghiamo il segmento DE fino ad
intersecare CH nel punto F.
In questo modo abbiamo ottenuto il rettangolo CFDK (di base CA+AK
e altezza AK) equivalente al quadrato ABHC.
C
F
H
A
E
K
D
B
Sottraendo sia ad ABHC che a CFDK, il
rettangolo comune AEFC, si otterranno
due figure pure equivalenti, cioè AEDK ed
EBHF.
A queste figure Euclide applica la
proposizione VI,14 che afferma:
“Nei parallelogrammi equivalenti ed aventi
gli angoli rispettivamente uguali, i lati
intorno agli angoli uguali sono
inversamente proporzionali” ,
quindi sussiste la proporzione
FE:ED = AE:EB,
tenendo conto che FE= AB ed ED=AE
risulta AB:AE = AE:EB.
Quindi E è il punto cercato.
La misura della sezione aurea
Il valore numerico della sezione aurea si calcola facilmente. Infatti
riferendoci alla figura
B
A
C
1-x
x
1
se consideriamo la lunghezza a di AC come unitaria, cioè AC=1 e
indichiamo quella di AB con x, allora si può scrivere la proporzione
1:x =x:(1-x)
da cui si ha l’equazione di 2o grado
x2+x-1 =0
la quale ammette due radici:
-1+√5
e
-1-√5
2
2
-1+√5
-1-√5
2
2
La seconda di queste (che vale -1.618...) deve essere scartata perché
un segmento non può avere lunghezza negativa e quindi ci rimane solo
la prima, che rappresenta proprio la misura di AB, sezione aurea di AC
ed è un numero irrazionale che vale all’incirca 0.61803398875.
Analogamente si verifica agevolmente che, se il segmento AC ha
lunghezza a, allora la sua sezione aurea misura
(-1+√5 )a
2
Il reciproco di x (1/x) ha un valore pari a 1,618 e questo numero
prende il nome di rapporto aureo.
Il rapporto aureo
Con riferimento alla fig. 1, si definisce rapporto aureo il rapporto AB/AX,
con AX sezione aurea di AB.
A
X
B
Esso solitamente viene indicato con la lettera greca , in onore del
sommo scultore Fidia, del cui nome è l’iniziale.
Il suo valore si calcola facilmente, infatti tenendo conto del valore
della sezione aurea AX, segue subito
 = AB = 1 = 2
=
AX AX (√5-1)
Razionalizzando otteniamo:
 = 2 ∙ √5+1 = 2(√5+1)
= √5+1 = √5+1- 1= (√5-1) + 1
(√5-1) √5+1 5+√5-√5-1
2
2
2
2
quindi il rapporto aureo sarà:
 = AX+1≈1,618
A
X
B
D’altra parte, la proporzione
AB:AX = AX:XB
può essere scritta come
AB:AX = AX:(AB-AX)
o nella forma di uguaglianza di rapporti come:
AB/AX = AX/(AB-AX),
AX/(AB-AX) lo possiamo scrivere come 1/[(AB-AX)/AX]=1/(AB/AX-1)
AB/AX = 1/[(AB-AX)/AX]=1/(AB/AX-1)
Questa proporzione, essendo  = AB/AX, darà luogo all’equazione
 = 1/( -1), ovvero  2-  -1=0
le cui radici sono:
 = 1+√5
e
’= 1-√5
2
2
la prima radice rappresenta proprio il valore del rapporto aureo.
Proprietà del rapporto aureo
Il numero  è irrazionale, cioè un numero decimale illimitato e
aperiodico, poiché può essere scritto come  = 1/2+ √ 5/2, ed è
quindi dato dalla somma di un numero razionale e di uno
irrazionale.
Senza alcun dubbio, esso è il numero algebrico che gode di
proprietà algebriche e geometriche molto interessanti,come, per
esempio, le seguenti:
a)  è l’unico numero positivo il cui quadrato si ottiene sommando
1 a  stesso : 2=  +1, ( soddisfa l’equazione di 2o grado
x2+x-1 =0)
b)  è l’unico numero positivo il cui inverso si ottiene sottraendo 1
a  stesso  -1=1/ ;
c) altre due relazioni molto interessanti sono quelle che si ricavano
sommando e moltiplicando i valori di  e di ’. Si ottiene:
 ∙ ’=-1
e  + ’=1
Se vuoi sapere di più sull’irrazionalità di 
clicca qui
Costruzione di un segmento del quale si conosce
la parte aurea
La risoluzione di questo problema viene effettuata in tre fasi.
Riferendoci alla figura, se AH è la parte aurea del segmento che si
vuole costruire, si determina innanzitutto la parte aurea AC di AH,
quindi si prolunga AH di un segmento HB =AC. Il segmento AB sarà
quello cercato.
A
C
H
B
La verifica è immediata. Infatti poiché AH:AC =AC:CH, per una
proprietà delle proporzioni si può scrivere:
(AH+AC):AH = (AC+CH):AC
poiché HB =AC avremo
(AH+HB):AH = AH:HB
per cui infine si ottiene il risultato
AB:AH = AH:HB.
La parte aurea della parte aurea di un segmento
A
H
B
Se AH è la parte aurea del segmento AB, sussiste la proporzione
AB:AH =AH:HB .
Per una nota proprietà delle proporzioni si ricava:
(AB-AH):AH = (AH-HB):HB
dalla quale,visto che AB-AH= HB si ottiene
HB:AH = (AH-HB):HB
da cui invertendo i rapporti si ha:
AH:HB = HB:(AH-HB).
E questo per definizione equivale a dire che la parte aurea di AH (che
è parte aurea di AB) non è altro che il segmento restante HB.
Riportando HB su AH, dal punto A, la parte aurea di AH sarà AK.
A
K
H
B
Procedendo allo stesso modo,come è rappresentato in
figura, si otterrà una successione di sezioni auree
all’infinito.
Combinando i segmenti si ottiene una sorta di “regolo aureo”:
La costruzione di Erone di Alessandria
Oltre alle due costruzioni di Euclide, un’altra costruzione
della sezione aurea venne proposta dal matematico
greco Erone di Alessandria (vissuto tra il I e il III secolo
d.C.).
Egli fu anche uno scrittore enciclopedico di matematica e
fisica, le cui opere, giunteci quasi intatte, furono
raccolte in quattro volumi editi a Lipsia tra il 1899 e il
1914, con il titolo Heronis Alexandrini Opera quae
supersunt omnia.
Procediamo con la costruzione geometrica che sarà
visualizzare cliccando in un punto qualsiasi della pagina.
se AB è il segmento dato:
- si traccia la perpendicolare in B ad
AB
- si prende su di essa un punto C tale
che CB sia la metà di AB
Q
R
A
D
C
B
possibile
- si traccia la circonferenza di centro C
e raggio CB che è tangente ad
AB in
B
- si traccia la semiretta AC e si indicano
con R e Q i suoi punti di intersezione
con la circonferenza
- si traccia un arco di circonferenza di
centro A e raggio AR che incontra AB in
D.
Il segmento AD è la sezione aurea di AB.
Proveremo che AD è effettivamente la sezione aurea di AB tramite due
dimostrazioni: la dimostrazione mediante il teorema di Pitagora e la
dimostrazione mediante la teoria delle proporzioni.
Dimostrazione mediante il teorema di Pitagora
La tesi si ottiene subito osservando che per il teorema di Pitagora,
applicato al triangolo rettangolo ABC, si ricava:
AC2 = AB2+BC2 = AB2+(AB/2)2
dalla quale, essendo
AC =AR+RC = AD+CB = AD+AB/2
si ottiene:
(AD+AB/2)2 = AB2+(AB/2)2
sviluppando i quadrati
AD2+(AB/2)2+ (AD∙AB) = AB2+(AB/2)2
dopo brevi passaggi otteniamo
AD2= AB2- (AD∙AB) = AB(AB-AD)
Quindi
e da questa infine
AD∙AD = AB(AB-AD)
AD/(AB-AD) = AB/AD
Tenendo conto che AB-AD= DB si ha che
AB:AD =AD:DB
Dimostrazione mediante la teoria delle proporzioni
Una dimostrazione diversa della validità della costruzione di Erone, ma
altrettanto semplice come la precedente, può essere data mediante la
teoria delle proporzioni. Essendo A un punto esterno alla circonferenza
per il teorema della secante e della tangente condotte da un punto
esterno ad una circonferenza si può scrivere la seguente proporzione:
AQ:AB = AB:AR
Applichiamo ad essa la proprietà dello
scomporre:
(AQ-AB):AB = (AB-AR):AR.
Poiché per costruzione AB =RQ e AR=AD
si ha che:
(AQ-AB) = (AQ-RQ) =AR =AD e (ABAR) = (AB-AD) =DB
La proporzione diventa:
AD:AB = DB:AR.
Invertendo e sostituendo AR =AD otteniamo AB:AD = AD:DB.
Quindi AD è medio proporzionale fra AB e DB.
Dunque AD è la parte aurea del segmento AB.
Il rettangolo aureo
Se disegniamo un rettangolo in cui l’altezza sia la sezione aurea della
base otteniamo il più bello , armonico rettangolo tra gli infiniti rettangoli
che si possano disegnare e questo spiega la frequenza con cui esso
compare in arte
Per visualizzare la costruzione del rettangolo aureo dato un segmento
AC clicca in un punto qualsiasi della pagina
D
A
G
M
C
E
- si disegni il quadrato ADGC
B
- si divide il segmento AC in due
chiamando il punto medio M
- si traccia un arco di circonferenza di
centro M e raggio MG che intersechi il
prolungamento del segmento AC in B
-si segni il segmento BE perpendicolare
ad AB
Il rettangolo ABED è un rettangolo aureo nel quale AB è diviso dal punto
C esattamente nella sezione aurea
AB:AC = AC:CB
AC = AD
Questa costruzione ci permette, avendo a disposizione un segmento
AC, di poter determinare un secondo segmento CB tale che il rapporto
AC/CB sia aureo.
D
G
E
Supponiamo che AC abbia lunghezza
unitaria, avremo che MC=1/2 ed MG per
il teorema di Pitagora sarà uguale a
A
M
C
B
MG=√(MC2+CG2)=√[(1/2)2+(1)2]=√(1/4+1)=√5/4=5/2
Osservando che MG = MG possiamo scrivere
CB = MB-MC = (5/2)-1/2 = (5-1)/2
per cui risulta:
AC/CB = 1/(5-1)/2 = (5+1)/2 = 
Inoltre anche il rapporto AB/AC è aureo,perché si ha
AB/AC = (AC+CB)/AB = 1+[(5-1)/2]/1 = (5+1)/2 = 
Ripetendo la costruzione di un quadrato con lato uguale al lato minore
del rettangolo si ottengono tanti rettangoli in cui il rapporto tra le due
dimensioni è sempre la sezione aurea.
D
E
F
A
C
B
CB=BF
dimostreremo che
BE : BF = BF : FE
Infatti se
AB : AC = AC : CB
CB = AB –AC
AB : AC = AC : ( AB-AC)
invertendo antecedenti e conseguenti
AC : AB = ( AB-AC ) : AC
applicando la proprietà dello scomporre
AC : ( AB-AC) = (AB-AC) : ( AC-CB)
Siccome
AC= BE, AB-AC=BF, CB= BF,
AC-CB = BE-BF=FE
quindi
BE : BF = BF : FE
La spirale aurea
La Spirale Aurea è basata su una serie di quadrati che
possono essere costruiti dentro il rettangolo aureo
Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con
lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza
sarà anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per
almeno cinque volte al fine di avere un effetto visivo adeguato.
Si punti la punta del compasso sul vertice del quadrato che giace
sul lato lungo del rettangolo e si tracci l’arco che unisce i gli
estremi
dei
due
lati
che
formano
l'angolo
scelto.
Si ripete l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da
creare una linea continua.
Triangolo aureo con angoli di misura: 72°, 72°, 36°
Dato un triangolo isoscele ABC i cui angoli alla
base misurano 72° ciascuno, e l’angolo al vertice
misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base
divide il lato obliquo opposto in due segmenti in
modo tale da creare una sezione aurea.
Tracciamo la bisettrice dell’angolo in B fino a farla
intersecare con il lato AC nel punto D.
In questo modo si formeranno due triangoli: il
triangolo ABD, isoscele poiché gli angoli alla base
misurano 36o ciascuno, e il triangolo BCD.
Il triangolo ABC è simile al triangolo BCD infatti anch’esso è un
triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72ociascuno e
l’angolo al vertice misura 36o.
Essendo simili avranno i lati in proporzione, quindi AC:BC = BD:DC
essendo BC = BD = AD avremo
AC:AD = AD:DC
quindi AD è la sezione aurea di AC.
Triangolo con angoli di misura: 36°, 36°, 108°
Dato un triangolo isoscele i cui
angoli alla base misurano 36°
ciascuno, e l’angolo al vertice
misura 108°, il lato obliquo e la
differenza tra la base e il lato
obliquo danno vita a una sezione
aurea. Infatti il triangolo CDE è
simile al triangolo ABD del triangolo
aureo.
Il pentagono stellato
La sezione aurea fu studiata dai Pitagorici
i quali scoprirono che il lato del decagono
regolare inscritto in una circonferenza di
raggio r è la sezione aurea del raggio e
costruirono anche il pentagono regolare
intrecciato o stellato, o stella a 5 punte
che i Pitagorici chiamarono pentagramma
e considerarono simbolo dell’armonia ed
assunsero
come
loro
segno
di
riconoscimento , ottenuto dal decagono
regolare congiungendo un vertice si e uno
no .
A questa figura è stata attribuita per millenni à un’importanza misteriosa
probabilmente per la sua proprietà di generare la sezione aurea da cui è
nata.
Infatti i suoi lati si intersecano sempre secondo la sezione aurea :
AB : AC = AC : CB
Il pentagono e triangoli in esso contenuti
All’interno di un pentagono, ogni lato
forma con due diagonali (il segmento che
unisce due punti non adiacenti) un
triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°,
36°, con le proprietà spiegate in
precedenza.
Ogni lato forma, con il punto d’incontro di
due diagonali consecutive, un triangolo
dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le
proprietà descritte in precedenza.
Cioè il lato del pentagono regolare è la
sezione aurea di una sua diagonale e il
punto d' intersezione tra due diagonali
divide ciascuna di esse in due segmenti
che stanno nel rapporto aureo.
Le
diagonali
del
pentagono
definiscono
inoltre
un
nuovo
pentagono, di cui possiamo ancora
tracciare le diagonali che definiscono
un nuovo pentagono e così via in una
successione senza fine, dove ogni
segmento costruisce con il segmento
di ordine inferiore, un rapporto il cui
valore è sempre il numero d'oro.
Il compasso aureo
Una volta noto il rapporto
aureo,si è cercato di avere
uno strumento pratico che
all’occorrenza
potesse
servire per determinare la
parte aurea di un dato
segmento in modo rapido,
specialmente per i bisogni
immediati
di
un
disegnatore tecnico.
È stato così inventato il
compasso aureo, dovuto
ad Adalbert Göeringer .
Il compasso si costruisce con quattro aste che
denotiamo con DM,MB,CE,EA. Le aste sono
incernierate in M,C ed A in modo che sussistano
le relazioni seguenti:
DM=MB, DM/DC=MB/MA= ,
AB=AE, CE=ED.
le punte delle aste del compasso si fanno
coincidere con gli estremi B e D il punto E
divide la distanza BD in base alla sezione aurea.
Infatti, dalla similitudine dei triangoli DMB e
DCE si ricava:
DB:DE =MB:CE,
dalla quale, in virtù dell’uguaglianza tra CE ed
MA, si ottiene:
DB/DE=MB/MA= 
La cosa si ripete sempre, qualsiasi sia la
distanza tra B e D.
LA SEZIONE AUREA E L’ARITMETICA
- Biografia di Leonardo Fibonacci
- La serie di Fibonacci
- I numeri di Fibonacci nel triangolo di Pascal
- Somma di numeri di Fibonacci
- Massimo comune divisore dei numeri di Fibonacci
- Legame tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo
- Una formula notevole: la formula di Binet
Biografia di Leonardo Fibonacci
Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci nacque a Pisa intorno al
1170. Suo padre era responsabile del commercio pisano presso la
colonia di Bugia, in Algeria. Alcuni anni dopo il 1192, Bonacci portò suo
figlio con lui a Bugia.
Il padre voleva che Leonardo divenisse un mercante e così provvedette
alla sua istruzione nelle tecniche del calcolo, specialmente quelle che
riguardavano le cifre indo-arabiche, che non erano ancora state
introdotte in Europa.
In seguito Bonacci si assicurò l’aiuto di suo figlio per portare avanti il
commercio della repubblica pisana e lo mandò in viaggio in Egitto, Siria,
Grecia, Sicilia e Provenza.
Leonardo colse l’opportunità offertagli dai suoi viaggi all’estero per
studiare e imparare le tecniche matematiche impiegate in queste
regioni.
Intorno al 1200, Fibonacci tornò a Pisa dove per i seguenti 25 anni
lavorò alle sue personali composizioni matematiche.
In tutta la sua produzione l’opera più importante è il "Liber abaci",
comparso attorno al 1228: è un lavoro contenente quasi tutte le
conoscenze aritmetiche e algebriche ed ha avuto una funzione
fondamentale
nello
sviluppo
della
matematica
dell’Europa
occidentale.
In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il posto di
quella latina semplificando notevolmente i commerci extraeuropei,
fu conosciuta in Europa tramite questo libro.
In tale sistema di numerazione, il valore delle cifre dipende dal posto
che occupano: pertanto egli fu costretto ad introdurre un nuovo
simbolo, corrispondente allo zero "0", per indicare le posizioni
vacanti.
La reputazione di Leonardo come matematico divenne così grande
che l’imperatore Federico II gli chiese un’udienza mentre era Pisa nel
1225. Dopo il 1228 non si sa in sostanza niente della vita di
Leonardo tranne il decreto della Repubblica di Pisa che gli conferì il
titolo di "Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo" a
riconoscimento dei grandi progressi cheapportò alla matematica.
Fibonacci morì qualche tempo dopo il 1240, presumibilmente a Pisa.
La serie di Fibonacci
Durante il soggiorno di Federico II a Pisa, si svolse un
singolare torneo dove si sfidano abachisti e algoritmisti armati
di carta, penna e pallottoliere che dimostra in via definitiva
come con le tecniche di calcolo secondo il metodo appreso
dagli arabi si potessero effettuare calcoli complessi più
velocemente che con qualsiasi abaco.
Fibonacci risolve il problema con una velocità tale da far
persino sospettare che la gara fosse truccata.
Il problema posto era il seguente: quante coppie di conigli si
ottengono in 12 mesi posto che ogni coppia dia alla luce una
nuova coppia ogni mese e che le nuove coppie nate siano in
grado di riprodursi già al secondo mese di vita?
La risposta si ricava semplicemente dalla famosa serie di
Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233….dove ogni
nuovo numero rappresenta la somma dei due precedenti.
Vediamo la soluzione proposta da Fibonacci:
Alla fine del primo mese ci
sarà ancora 1 sola coppia.
Alla fine del secondo mese
la femmina genera una
nuova coppia per cui ora si
hanno 2 coppie. Alla fine del
terzo mese la femmina
iniziale genera una nuova
coppia dando luogo a 3
coppie, mentre la femmina
nata il mese precedente
resterà incinta ma partorirà
solo fra un mese.
Numero di
coppie
1
1
2
3
5
Alla fine del quarto mese la femmina iniziale ha generato una nuova
coppia mentre la femmina nata due mesi prima genera la sua prima
coppia. Abbiamo così 5 coppie. Alla fine del quinto mese avremo quindi
3 femmine che generano una nuova coppia portando il totale a 8 coppie
e proseguendo il ragionamento le coppie diventano 13, 21, 34, 55
etc.etc.
Alla fine del dodicesimo mese si arriva a 233 coppie.
Tutto questo potrebbe sembrare una pura curiosità matematica legata
alla particolarità di questo problema ed a fattori puramente casuali. Di
notevole interesse risulta tuttavia la ricorrente presenza di questi numeri
in molteplici situazioni naturali (animali e piante) tali da indurre numerosi
artisti a riconoscere in questi sequenza numerica una sorta di ordine
naturale che ben si accorda con l'armonia indotta dal rapporto di sezione
aurea.
Nella seconda metà del diciannovesimo secolo, un matematico francese
di nome Edouard Lucas riprese lo studio di tale sequenza utilizzando
come valori di partenza 2 e 1. Questa versione dei numeri fu conosciuta
come la sequenza di Lucas.
Quest'ultimo fu colui che rese i numeri di Fibonacci noti a tutti. La serie
di Fibonacci è una successione di interi definita a partire dalla coppia 1, 1
in cui l'elemento successivo è calcolato come somma degli ultimi due.
Una definizione più formale è:
Fib(0) = 1
Fib(1) = 1
Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2) se n>1
il valore della funzione Fib è definito in termini della funzione
stessa.Funzioni di questo tipo sono dette ricorsive e vengono definite da
equazioni dette ricorrenti o alle differenze.
I numeri di Fibonacci nel triangolo di Pascal
Ci accingiamo a determinare una relazione fra i numeri di Fibonacci e il
triangolo di Pascal.
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Il triangolo di Pascal è una
configurazione di numeri interi a
forma di triangolo che prende il nome
dal filosofo, fisico e matematico
francese Blaise Pascal (1632-1662)
che lo usò per ricavare i coefficienti
dello sviluppo binomiale.
La caratteristica più rilevante del
triangolo di Pascal è che ogni
elemento di una riga è la somma dei
due elementi consecutivi che stanno
nella riga precedente, così 6=3+3,
4=3+1…
Questa regola è molto simile a quella
che
genera
la
successione
di
Fibonacci.
Vediamo la relazione che intercorre tra questi numeri. le linee oblique
congiungenti i numeri di questo schema triangolare sono chiamate le
diagonali ascendenti del triangolo di Pascal.
Esempio di tali diagonali è appunto la linea passante per i numeri 1,
4, 3. Notiamo che la somma dei numeri che si trovano su una data
diagonale ascendente è un numero di Fibonacci. Infatti, le prime due
diagonali ascendenti del triangolo di Pascal sono formate dal solo
numero 1.
Somma di numeri di Fibonacci
Consideriamo la serie di Fibonacci A, B, C, D, E, G...
Se si sommano due o più numeri consecutivi di tale serie, sempre a
partire da A, e si aggiunge ulteriormente "1", si ottiene sempre un
altro numero di Fibonacci, che nella sequenza segue di due posti
l'ultimo termine della somma:
( A+B+C+1 = E )
Esempi:
Consideriamo la serie di Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233….
Sommiamo i primi cinque numeri di Fibonacci e aggiungiamo uno
1+1+2+3+5+1 = 13
otteniamo il settimo numero della sequenza.
Stavolta sommiamo i primi undici numeri e aggiungiamo uno
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+1=233
in questo caso si è ottenuto il tredicesimo numero della sequenza.
Inoltre se si prendono due numeri di Fibonacci consecutivi e
se ne fa il quadrato, la somma fra i quadrati è un altro
numero di Fibonacci che nella sequenza occupa il posto
risultante dalla somma delle posizioni dei due termini di
partenza.
Esempi:
Consideriamo
la
serie
di
Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233….
32+52=34
In questo caso si sono presi il quarto e il quinto numero
della sequenza, se ne è fatto il quadrato e la somma fra i
quadrati è risultata essere il nono numero di Fibonacci.
82+132= 233
In questo caso si sono presi il sesto e il settimo numero
della sequenza e la somma fra i loro quadrati ha dato il
tredicesimo numero di Fibonacci.
Massimo comune divisore dei numeri di
Fibonacci
Facciamo ora alcune semplici considerazioni di teoria dei numeri.
Mostriamo come si determina tramite l’algoritmo euclideo delle divisioni
successive il massimo comune divisore di due numeri a e b, facenti
parte della serie di Fibonacci.
Algoritmo euclideo delle divisioni successive
Dividiamo a per b ottenendo per quoziente q1 e per resto r1.
Le divisioni si succederanno fino a quando il resto non sarà nullo.
Otteniamo:
a = bq1 + r1
con 0 < r1 < b
b = r1q2 + r2
0 < r2 < r1
r1= r2q3 + r3
0 < r3 < r2
:
:
rn-2= rn-1qn + rn
0 < rn < rn-1
rn-1= rnqn+1 + 0
rn è l’ultimo resto non nullo e quindi il M.C.D. tra a e b.
Consideriamo
la
serie
di
Fibonacci:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1
597,2584,4181,6765,10946………
Prendiamo come esempio i seguenti numeri di
Fibonacci: 6765 e 610
6765 = 610 x 11 + 55
610 = 55 x 11 + 5
55 = 5 x 11
il massimo comune divisore è l’ultimo resto non
nullo,quindi 5.
Il fatto che il massimo comune divisore di questi
due numeri di Fibonacci sia ancora un numero della
serie di Fibonacci, il 5, non è pura coincidenza.
Per saperne di più su questa ed altre proprietà dei
numeri di Fibonacci clicca qui.
Legame tra i numeri di Fibonacci e il
rapporto aureo
Un’osservazione di tipo pratico che collega la successione di
Fibonacci con la sezione aurea è la seguente: se ciascun numero
diviene l'area d'un quadrato, è possibile accostarli ottenendo tanti
rettangoli aurei,quindi rettangoli in cui il rapporto tra le due
dimensioni è sempre la sezione aurea.
Robert Simson nel 1735 notò che facendo il rapporto fra due
numeri di Fibonacci consecutivi, esso si avvicinava sempre più a
1,61803, valore noto anche con il nome di rapporto aureo.
Calcoliamo il rapporto tra due termini successivi della successione
e disponiamo i risultati in due colonne
2/1
2
34 / 21
1,61905..
3/2
1,5
55 / 34
1,61765..
5/3
1,66666…
89 / 55
1,61818..
8/5
1,6
144 / 89
1,61798..
13 / 8
1,625
233 / 144
1,61806..
21 / 13
1,61538...
377 / 233
1,61803..
la prima colonna decresce e la seconda cresce ma entrambe tendono a
1,618033988 che è il valore del rapporto aureo .
Ciò può essere espresso in modo più rigoroso con una formula
lim
Fib (n  1)
=  (con n che tende ad infinito)
Fib (n)
Una formula notevole: la formula di Binet
La formula ricorsiva che governa la legge di formazione dei
numeri di Fibonacci non è per nulla agevole per il calcolo dei
vari termini della successione, in quanto per calcolare un
termine qualsiasi è necessario conoscere i due termini che lo
precedono.
Fortunatamente è stata trovata una formula notevole, la
formula di Binet, che lega l’n-simo termine della successione
con il posto n in cui esso si trova:
ove  è il valore del Rapporto Aureo, pari a
La formula di Binet ci permette di dimostrare che:
lim Fib (n  1) =  = 1  5
2
Fib (n)
lim Fib (n  1) =lim
Fib (n)
lim
con n che tende a infinito
n 1
n 1






1 1 5
1 5
 
 




 
2
2

5 


 

n
n
1  1  5   1  5  
 
 




5  2   2  


n 1
n 1
1 5   1 5 
 2  

  


 2   1   2    1  5  

 

  

n
1 5   2 
  
1  


 2  1 5 
=lim
n
 1 5 
poiché -1< 1  5 < 1 allora  1  5 


1 5
=lim
  1  5  n 1 

 
n 1 

1 5 
  2  


n 1 
 2   1 




 1 5  
  2  =
 
 
 1  5 n 

 
n 

 1  5    2  


n 
 2   1 



 
1 5 

  2  
 
 
n 1
1 5   1 5  

  
 
 2   1   1  5  

  
 
 1  5 n 
 
1  

  1  5  


n 1
n
0
Fib (n  1) 1  5
 lim Fib (n) = 2
,
 1 5 


 1 5   0


=