Esercizi
(attrito trascurabile)
1)
Due masse puntiformi si trovano al tempo t = 0 nell’estremo A di un
piano liscio, inclinato di un angolo rispetto al livello orizzontale.
Lasciando cadere verticalmente una delle masse con velocità
iniziale nulla e lanciando l’altra lungo il piano con velocità iniziale
v0, calcolare il valore di detta velocità affinché entrambe le masse
arrivino contemporaneamente al livello orizzontale. Il punto A sia
ad altezza h dalla base del piano inclinato.
Siano e le due masse puntiformi che iniziano a muoversi (una
scivolando lungo il piano, l’altra cadendo verticalmente) dal punto
A. La massa possiede un’accelerazione pari a quella di gravità g;
la massa possiede un’accelerazione proporzionale a quella di
gravità g, che ha direzione normale rispetto il livello orizzontale.
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1
Poiché le due masse arrivano contemporaneamente al livello
orizzontale, i due spazi percorsi ( AB e AC) sono compiuti impiegando
lo stesso tempo t. I due sistemi di equazioni, che descrivono il moto
uniformemente accelerato delle masse sono
1 2
h
1
2
AC
h
g
t
AB
v
t
g
t
0
2
sin
2 AB
v g t 2g h
v 2 v 0 g AB t
1
Ricavando il tempo dalla prima equazione del sistema e
sostituendolo nella prima del si ottiene la velocità iniziale
g h cos 2
v0
2 sin
mentre le velocità delle due masse, quando raggiungono il medesimo
livello orizzontale, valgono rispettivamente
v1 2 gh
v 2 v 0 sin 2gh
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2
2)
Dagli estremi di una guida liscia di lunghezza AB = s, inclinata di un
angolo rispetto all’orizzontale, due masse puntiformi iniziano
contemporaneamente a muoversi: la viene lanciata da A con
velocità iniziale v0 (parallela alla guida) e la inizia a scivolare da
B con velocità iniziale nulla. Determinare l’angolo di inclinazione
affinché le due masse si incontrino nel punto medio C della guida.
Lo spazio percorso dalle due masse vale
AC BC
s
2
B
gt
v0
C
g
A
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3
ed il tempo impiegato a percorrerlo dalle due masse è il medesimo.
L’accelerazione delle due masse è uguale al valore della componente
dell’accelerazione di gravità g lungo la guida, ossia
gt gsin
La massa compie un moto uniformemente decelerato, la uno
uniformemente accelerato e le rispettive equazioni del moto sono
s
1 2
AC
v
t
gtt
0
2
2
v v g t v 2 2g s
0
0
t
1
2
s 1 2
BC
gtt
2 2
v g t 2g s
t
t
2
2
Ricavando il tempo dalla prima equazione di e sostituendo nella
prima di si ricava l’angolo
v 02
arcsin
gs
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4
e le due masse si incontreranno in C con velocità rispettivamente
v1 v 02 2g sin
s
2
v 2 2g sin
s
2
Attenzione: dovendo essere sin 1, vale la disuguaglianza
v 02
1
gs
v 0 gs
che impone un valore massimo limite al modulo della velocità iniziale
della massa .
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5
Esercizi
(con attrito)
3)
La massa m viene lanciata su un piano scabro, inclinato di un
angolo rispetto al livello orizzontale, con velocità iniziale v0
parallela al piano. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico
vale fd, determinare a quale altezza (rispetto al livello di partenza) si
arresterà la massa sul piano.
La presenza della forza di attrito dinamico, agente sulla massa in
moto, significa che esiste una interazione fra piano inclinato e massa
che non può essere descritta usando un procedimento puramente
cinematico.
─ Scelta del sistema di riferimento: sistema a due assi, uno parallelo
al piano e concorde con la direzione del moto (direzione
tangenziale); l’altro normale a questo.
─ Diagramma di corpo libero e analisi delle forze
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6
N
B
Fd
m
Pt
h
v0
C
A
P
Pn
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7
la forza peso ha direzione normale all’orizzontale e presenta due
componenti rispetto agli assi del riferimento
componente tangenziale : Pt Psin m gsin
componente normale
: Pn Pcos m gcos
l’azione esercitata dalla massa sul piano è pari a Pn e la reazione
del piano sulla massa è uguale a Pn, ma di verso opposto
N Pn mgcos
la forza di attrito dinamico vale
Fd fd N fdmgcos
─ Descrizione analitica del moto: la forza peso è una forza
conservativa, la forza di attrito non lo è. L’applicazione del
teorema dell’energia cinetica permette di risolvere il problema: il
lavoro totale delle forze agenti sulla massa, quando si sposta dalla
posizione iniziale A a quella finale B, è uguale alla variazione di
energia cinetica calcolata alla posizione finale ed iniziale. Si osservi
che in B la massa si ferma, quindi TB = 0
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8
1
L AB L(Pt ) L(Fd ) TB TA 0 mv 02
2
h
lavoro di Pt : L(Pt ) Pt AB m g sin
mgh
sin
h
lavoro di Fd : L(Fd ) Fd AB fdm g cos
f dm g hcot
sin
Sostituendo i valori nel teorema si ricava la quota raggiunta dalla
massa, rispetto al livello iniziale
v 02
h
2g 1 fd cot
alla quale corrisponde lo spazio
v 02
h
1
AB
sin 2g sin fd cos
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9
─ Se la forza di attrito fosse trascurabile (Fd = 0), i due valori
v 02
h
2g
v 02 1
AB
2g sin
corrisponderebbero a quelli ottenibili lanciando verticalmente la
massa con la stessa velocità iniziale (infatti la forza peso è
conservativa ed il suo lavoro è indipendente dal tipo di traiettoria
percorsa).
─ Il valore della decelerazione si ricava applicando la II legge della
dinamica
m gsin fd m gsin m a
dalla quale si ricava
a g sin fd cos
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10
4)
Risolvere il problema 1) nel caso di un piano inclinato scabro con
coefficiente di attrito dinamico fd.
Facendo riferimento al disegno delle vignetta 2, le due masse sono
─ = m1 (con accelerazione g, moto rettilineo verticale),
─ = m2 (con accelerazione a2 proporzionale a g, moto rettilineo
uniformemente accelerato).
Arrivando contemporaneamente al livello orizzontale, il tempo
impiegato a percorrere le due traiettorie AB e AC è lo stesso.
Le equazioni del moto sono
1 2
AC
h
gt
2
v g t 2gh
1
h
1 2
AB sin v 0t 2 a 2t
v v a t v 2 2a AB
0
2
0
2
2
Dalla prima equazione di si ricavi il tempo e lo si sostituisca nella
prima di ottenendo
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11
1
t
2h
g
v0
h g
a
2g sin 2
La determinazione dell’accelerazione a2 non può essere fatta tramite
un procedimento puramente cinematico, a causa della presenza della
forza di attrito dinamico che agisce durante il moto di m2.
─ Diagramma di corpo libero per m2 e analisi dinamica del moto: si
consideri un riferimento bidimensionale con un asse parallelo al
piano e verso concorde con la direzione del moto (direzione
tangenziale) e l’altro normale (direzione
normale). Considerando unicamente la
N
rappresentazione delle forze per la massa
m2 (vignetta 2), si ricava l’equazione del
Pt
F
d
moto applicando il II principio della
dinamica
P2t Fd m2a2
Pn
P
essendo
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12
P2t m 2 g sin
P2 m 2 g
P2n m 2 g cos N
Fd fd N fdm 2g cos
e sostituendo si ricava
a 2 g sin fd cos
La velocità iniziale, espressa dalla relazione (1), assume allora il valore
gh
cos fd sin cot
2
e le velocità delle due masse quando arrivano contemporaneamente al
livello orizzontale valgono
v0
v1 2g h
v 2 v 02 2a 2 AB v 02
2g h
sin fd cos
sin
Quest’ultimo valore si può anche ricavare applicando il teorema
dell’energia cinetica alla massa m2
[email protected]
13
1
1
L AB L(P2t ) L(Fd ) m 2 v 22 m 2 v 02
2
2
L(P2t ) P2t AB m 2 g h
L(Fd ) Fd AB fdm 2g hcot
ottenendo proprio
v 2 v 02
2g h
sin fd cos
sin
Osservazione: se non agisse alcuna forza di attrito, i valori di
accelerazione a2, velocità iniziale e velocità finale sarebbero
a 2 gsin
v0
gh cos 2
2 sin
v1 2gh
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v 2 v 02 2gh
14
5)
La massa m è appoggiata su un piano scabro, incernierato ad un
suo estremo, che può ruotare dalla posizione orizzontale ( = 0°) a
quella verticale ( = 90°). Sapendo che il coefficiente di attrito
statico vale fs, determinare il massimo angolo di inclinazione del
piano senza che la massa scivoli.
Sia M il massimo valore dell’angolo di inclinazione del piano,
rispetto al livello orizzontale. Il diagramma di corpo libero è
N
Fs
Pt
Pn
P
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15
La massa non deve scivolare sul piano, quindi la sua accelerazione
deve essere nulla a = 0 e le forze agenti sono
Pt m g sin
P mg
Pn m g cos N
Fs fs N fsm g cos
Applicando il II principio della dinamica si ricava
Pt Fs ma 0
Pt Fs
m g sin M fsm g cos M
ossia
tan M fs
M arctanfs
Per valori maggiori di M, la massa inizia a scivolare secondo le
modalità illustrate nei precedenti esercizi.
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16
• La massa m, appoggiata su un piano scabro (coefficiente di attrito
dinamico fd) inclinato di un angolo rispetto all’orizzontale, è
sottoposta all’azione di una forza di intensità costante che forma un
angolo con la direzione del moto. Sapendo che la massa inizia a
muoversi dalla base del piano con velocità iniziale nulla, calcolare la
sua accelerazione e discutere le varie possibilità.
Non essendo specificato come deve essere considerato l’angolo , se
positivo o negativo rispetto alla direzione del moto, è importante
analizzare la differenza e le implicazioni fisiche delle due possibilità.
caso a)
caso b)
F
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F
17
─ negativo (vedere figura caso a)
Na
caso a)
Ft
Pt
F
Fd
Fn
Pn
P
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18
I moduli della forza peso P e la forza F hanno componenti, rispetto
agli assi, definiti da
Pt m g sin
Ft Fcos
P mg
F
Pn m g cos
Fn Fsin
La forza di attrito dinamico ha modulo
Fd fd Na
ed a causa del vincolo di appoggio della massa sul piano inclinato si ha
N P F 0
a
n
n
N m g cos F sin
a
F f N f m g cos F sin
d d a d
Ossia il modulo della reazione normale Na è pari alla somma delle due
componenti normali Pn ed Fn (in quanto parallele e concordi).
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19
─ positivo (vedere figura caso b)
F
caso b)
Nb
Ft
Fn
Pt
Fd
Pn
P
[email protected]
20
I moduli della forza peso P e la forza F hanno componenti, rispetto
agli assi, definiti da
Pt m g sin
Ft Fcos
P mg
F
Pn m g cos
Fn Fsin
La forza di attrito dinamico ha modulo
Fd fd Na
ed a causa del vincolo di appoggio della massa sul piano inclinato si ha
N P F 0
b
n
n
N m g cos Fsin
b
F f N f m g cos Fsin
d d b d
Ossia il modulo della reazione normale Nb è pari alla somma algebrica
delle due componenti normali Pn ed Fn (in quanto parallele e discordi).
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21
Regola generale: avendo più forze applicate ad una massa, appoggiata
su una superficie qualsiasi scabra, la reazione normale della superficie
sulla massa è sempre uguale alla somma algebrica del modulo delle
componenti normali di tali forze
N = Fk
k
e nel caso in esame
N m g cos F sin
N a
N b
caso a
caso b
Applicando la II legge della dinamica (legge di Newton) si ricava
Ft Pt Fd ma
e sostituendo ai simboli i rispettivi valori si ottengono le due equazioni
caso a : F cos m g sin fd mg cos F sin ma
caso b : F cos m g sin fd mg cos F sin ma
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22
Il valore dell’accelerazione per le due possibilità è data da
F
caso a : a cos fd sin g sin fd cos
m
F
caso b : a cos fd sin g sin fd cos
m
─ Particolarità:
• Se il coefficiente di attrito dinamico fosse trascurabile (fd = 0),
l’accelerazione verrebbe
F
a cos g sin
m
• Se il valore dell’accelerazione si annullasse (a = 0), la massa si
muoverebbe di moto uniforme e l’intensità della forza
applicata sarebbe
sin fd cos
caso a : F mg
cos fd sin
sin fd cos
caso b : F mg
cos fd sin
[email protected]
23
