il metodo delle celle
prof. Enzo Tonti
...
che cosa vogliamo fare?
Vogliamo presentare un metodo che consente
di dare formulazione algebrica a problemi
che sono solitamente descritti da equazioni differenziali.
Infatti le equazioni differenziali, per poter essere trattate col calcolatore
debbono essere discretizzate ovvero trasformate in equazioni algebriche.
Questo si fa con uno dei tanti metodi di discretizzazione
(FEM, FVM, BEM, FDM, LSQ, ecc)
Il metodo che presentiamo fornisce direttamente una formulazione
discreta (o algebrica, o finita) senza dover passare
attraverso la formulazione differenziale.
E’ questo il Metodo delle Celle.
Per descriverlo diamo uno sguardo ad alcuni tipi di problemi
che si incontrano nell’ingegneria.
...
il problema fondamentale di un campo
Il problema fondamentale
di un campo fisico, come:
il campo termico,
il campo elastico,
il campo fluidodinamico,
il campo elettromagnetico
è quello di determinare la configurazione del campo
una volta che siano assegnate le sue sorgenti.
Con questo intento diamo uno sguardo a quattro teorie fisiche.
...
1) conduzione termica
Il calore generato dalle sorgenti termiche si propaga da una regione all’altra
a causa dalle differenze di temperatura.
Il problema fondamentale della conduzione termica è quello di determinare
la temperatura in ogni punto della regione che stiamo studiando
una volta assegnate le sorgenti di calore, la loro posizione e la loro intensità
temperatura
T(t,x, y,z)=?
Quali sono le leggi che secondo le quali il calore si propaga?
Una prima legge afferma che il calore va dalle regioni a temperatura più alta
a quelle di temperatura più bassa,
Una seconda legge è costituita dal bilancio di energia.
Una terza legge afferma che la quantità di calore che transita attraverso un
elemento di superficie dipende dalla differenza di temperatura fra i due punti
che stanno a cavallo della superficie. Il legame sarà espresso da una
equazione costitutiva, la legge elementare di Fourier.
...
2) deformazioni di un solido
Consideriamo la deformazione di un corpo solido.
La causa della deformazione è costituita alle forze che agiscono sul solido.
Una volta applicata una forza, la deformazione si trasmette lungo il corpo
determinando lo spostamento (effetto) dei punti del corpo.
il problema fondamentale della teoria della deformazione è quello di determinare
lo spostamento che subisce ogni punto del corpo, a partire da una configurazione
di rferimento, una volta che siano assegnate le forze che la generano.
spostamento
u(t, x, y, z) = ?
Dal momento che la deformazione si trasmette da punto a punto, devono
esistere delle leggi che regolano il modo con il quale essa si propaga.
Una di queste leggi impone l’equilibrio, se la deformazione è statica,
o il bilancio della quantità di moto se la deformazione è dinamica.
Un’altra legge descrive il comportamento del materiale: questa è la legge
costitutiva. Se il materiale è elastico vale la legge di Hooke.
...
3) dinamica dei fluidi /1
Consideriamo il moto di un fluido, liquido o gas.
Il moto è generato dalle forze di volume (tipicamente il peso) e dalle differenze
di pressione da una regione ad un’altra del fluido.
Se il fluido è un gas anche le differenze di temperatura contribuiscono al moto.
Il problema fondamentale della dinamica dei fluidi è quello di determinare
la velocità, la pressione e la temperatura in ogni punto del fluido ad ogni istante
una volta assegnate le forze di volume:
v(t, x, y, z) = ?
p(t, x, y, z) = ? T (t, x, y, z)= ?
Il moto di un fluido sottostà ad alcune leggi:
una di queste leggi impone la conservazione della massa,
un’altra impone la conservazione dell’energia,
una terza impone il bilancio della quantità di moto.
Naturalmente vi sono anche qui delle leggi costitutive
...
3) dinamica dei fluidi /2
La dinamica dei fluidi manifesta qualche ambiguità dovuta al ruolo multiplo
della pressione che talvolta si comporta come:
1) variabile di sorgente in quanto spingendo determina/ostacola il moto;
p(t, x, y, z) =!
2) variabile di configurazione, come nell’equazione
Ñ2 p = ....
p(t, x, y, z) = ?
3) variabile energetica in quanto energia per unità di volume.
La velocità e la temperatura sono variabili di configurazione
mentre la forza di volume è una variabile di sorgente.
v(t, x, y, z) = ?
T (t, x, y, z) = ?
f (t, x, y, z) =!
...
4) elettromagnetismo
Consideriamo il campo elettromagnetico che è generato da cariche elettriche
in quiete ed in moto. La descrizione del campo è fatta da due grandezze:
il potenziale scalare elettrico e il potenziale vettore magnetico.
Il problema fondamentale dell’elettromagnetismo è il seguente:
assegnata la distribuzione spaziale e temporale delle cariche e delle correnti,
determinare il potenziale scalare elettrico e il potenziale vettore magnetico
in ogni punto del campo ad ogni istante:
potenziale scalare
f (t, x, y, z) = ?
potenziale vettore
A(t, x, y, z) = ?
Quali sono le equazioni del campo?
Una di queste equazioni esprime la conservazione della carica elettrica,
altre due equazioni legano il potenziale elettrico (che è uno scalare)
e il potenziale magnetico (che è un vettore) con le sorgenti del campo:
sono le equazioni delle onde elettromagnetiche
che si ottengono a partire dalle equazioni di Maxwell.
Anche qui esistono le equazioni costitutive.
...
le funzioni di campo
Abbiamo detto che in ciascun campo l’obiettivo è di determinare la configurazione
del campo.
Questa è descritta da funzioni del posto e del tempo di tipo scalare o vettoriale.
temperatura
T (t , x, y, z ) ?
spostamento
u(t, x, y, z) = ?
velocità
v(t, x, y, z) = ?
pressione
p(t , x, y, z ) ?
per ragioni storiche
queste leggi sono espresse da
equazioni differenziali alle derivate parziali.
Poniamoci la domanda:
e’ facile risolvere le equazioni differenziali
alle derivate parziali che si incontrano
nei problemi dell’ingegneria ?
potenziale scalare elettrico
(t , x, y, z ) ?
potenziale vettore magnetico
A(t, x, y, z) = ?
?
...
… risolvere le equazioni di campo
La risposta è:
non è affatto facile !
Occorre fare delle approssimazioni
e utilizzare tecniche numeriche
che obbligano all’uso del calcolatore.
Questo richiede di trasformare le equazioni differenziali
in equazioni algebriche
mediante uno dei tanti metodi di discretizzazione.
...
qualche
considerazione di
matematica
...
le due grandi branche della matematica
MATEMATICA
algebra
usa le quattro
operazioni
fondamentali:
somme
differenze
prodotti
divisioni
analisi infinitesimale
introduce la nozione di
limite
Da quel momento si introducono:
la derivata (limite di un rapporto)
e l’integrale (limite di una somma)
e quindi il calcolo differenziale;
le equazioni differenziali ordinarie
e quelle alle derivate parziali
...
perché il calcolatore non può gestire l’infinitesimo ?
proponiamoci di valutare la somma
1 1 1 1 1
1 ... 2
2 4 8 16 32
2
il calcolatore sommando 40 termini fornisce: 1.99999999999909
1/16
1/4
1/32
1/8
1
1/2
la nozione di limite è una nozione ideale,
appartiene all’uomo non alla macchina
...
il duale
tangente
integrale esatto
integrale approssimato
integrale definito
...
il duale
Queste considerazioni suggeriscono che, quando si divide un intervallo
[a,b] in tanti segmenti, è opportuno fare una seconda suddivisione
considerando i punti medi dei segmenti.
Questa seconda suddivisione si chiama duale della prima.
a
b
a
b
Questo perché le operazioni che si possono fare su una suddivisione
dell’intervallo sono più accurate se si utilizza anche la suddivisione duale.
...
La formulazione differenziale delle leggi fisiche
I.Newton
Philosophiae
Naturalis
Principia
Mathematica
5+7=12
Dai tempi dell’invenzione del calcolo infinitesimale,
avvenuta circa tre secoli fa (1687)
le leggi fisiche sono state formulate matematicamente
in termini di equazioni differenziali.
Circa cinquant’anni fa l’avvento dei calcolatori ha richiesto
una descrizione algebrica delle leggi fisiche.
Cosa è avvenuto allora ?
Si è pensato di DISCRETIZZARE le equazioni differenziali.
All’inizio usando le differenze finite e successivamente
escogitando altri metodi di discretizzazione.
Non si è pensato invece di partire di nuovo dai fatti sperimentali
per ottenere una formulazione algebrica DIRETTA delle leggi fisiche.
...
un campionario di equazioni di campo (don’t worry! Be happy)
campi vari (elettrostatica, fluidi perfetti in
moto stazionario, torsione, ecc.)
conduzione termica, diffusione,
filtrazione
onde (acustiche,
elettromagnetiche)
elasticità
fluidodinamica
elettromagnetismo
-Ñ2u = 0 Laplace
-e Ñ2u = r Poisson
c ¶t u - l Ñ2u = s Fourier
1 ¶2 u
2
Ñ
u = s d'Alembert
2
2
v ¶t
Ñ2u + k 2u = 0 Helmholtz
(l + m )Ñ(Ñ ×u) + mÑ2 u + f = 0 Navier
Dv
r
= -Ñp + f + mÑ 2 v Navier-Stokes
Dt
div B = 0 Gauss (magnetico)
div D = r Gauss (elettrico)
rot H - ¶t D = J Ampère-Maxwell
rot E + ¶t B = O Faraday
...
dal discreto al differenziale … per tornare al discreto!
soluzione
approssimata
questa lezione
equazioni
algebriche
FEM
FVM
campo
fisico
BEM
FDM
equazioni
differenziali
... ...
Formulazione finita = discreta = algebrica
La varietà dei metodi di discretizzazione
fa nascere la seguente domanda:
?
È possibile
una formulazione algebrica DIRETTA
dei campi fisici ?
...
Vogliamo dimostrare che una formulazione algebrica
DIRETTA delle leggi di campo
è possibile !
è facile !
è intuitiva !
è pronta per la risoluzione
numerica !
...
Apologia del “bilancio”
La maggior parte delle equazioni fondamentali dei fenomeni fisici
nasce da un bilancio:
nella statica dei solidi deformabili è essenziale il bilancio delle forze ;
nella conduzione termica è essenziale il bilancio energetico ;
nella fluidodinamica è essenziale il bilancio della quantità di moto ;
nonché il bilancio di massa ;
nella chimica le reazioni chimiche esprimono il bilancio di massa ;
nella teoria delle reti elettriche è essenziale il bilancio delle correnti ;
nell’elettromagnetismo si fa il bilancio della carica ;
nella termodinamica si scrive il bilancio di entropia ;
ecc.
...
Un bilancio vale nel finito prima che nell’infinitesimo
Per l’equilibrio di un corpo occorre che la somma delle forze di volume
(solitamente i pesi) e di quelle di superficie sia nulla.
Così una nave sta in
equilibrio perché il suo peso
è equilibrato dalla spinta
dell’acqua sulla carena.
Un pezzo di materiale
nell’interno di un corpo
sta in equilibrio
perché le forze di volume
sono equilibrate
dalle forze interne di superficie.
Orbene un bilancio vale per qualunque dimensione e per qualunque forma
della porzione di corpo al quale è applicato,
non c’è bisogno di ridursi ad un volumetto infinitesimo.
E allora per quale ragione lo applichiamo ad un volumetto infinitesimo
di dimensioni dx,dy,dz così da ottenere una equazione differenziale?
...
cos’è un bilancio?
Un bilancio è una relazione che riguarda alcune
grandezze per le quali si può parlare di accumulo,
di produzione e di flusso uscente.
Consideriamo ad esempio
una fabbrica di bottiglie.
Dalla fornace escono bottiglie appena formate:
una parte di queste viene accumulata
nei depositi dello stabilimento
ed una parte viene mandata fuori.
...
Per presentare il procedimento
faremo riferimento alla conduzione termica
in quanto è molto intuitiva
Conduzione termica
...
Le due leggi della conduzione termica
1) Bilancio di energia (primo principio della termodinamica)
l’incremento di energia interna in un intervallo di tempo
è uguale alla somma del calore e del lavoro fornito al sistema
nello stesso intervallo di tempo.
0
2) Equazione costitutiva: (legge elementare di Fourier)
In una regione in cui il flusso di calore è uniforme
il calore che attraversa una superficie piana
per unità di area, è proporzionale al salto di temperatura
per unità di lunghezza (misurato in direzione ortogonale
alla superficie) e procede dal caldo al freddo.
Q
L
A
n
...
Il problema fondamentale della conduzione termica
assegnata una porzione di materia;
precisata la natura fisica dei materiali che la compongono;
precisate le sorgenti termiche in estensione ed intensità;
precisate le condizioni al contorno della regione;
determinare la temperatura in ogni punto della regione.
sorgente
temperatura
nota
calore incognito
temperatura
incognita
calore noto
calore noto
temperatura
incognita
calore noto
materiali
diversi
temperatura
nota
calore incognito
...
complesso di celle triangolari
Costruiamo nella regione un complesso di celle a forma di triangoli.
Facciamo la triangolazione in modo che i triangoli si appoggino sulla
superfice di separazione tra i due materiali. Numeriamo i vertici.
13
temperatura
nota
12
11
calore noto
10
calore noto
3
5
7
2
1
4
6
8
calore noto
14
9
15
temperatura
nota
16
17
...
vogliamo trovare le temperature nei nodi
Dobbiamo determinare le temperature nei nodi in giallo, 1,2,…9
in quanto quelle nei nodi 10,11,…17 sono note.
Occorrono pertanto 9 equazioni algebriche,
tante quante sono le temperature incognite.
13
temperatura
nota
12
11
calore noto
10
calore noto
3
5
7
2
1
4
6
8
calore noto
14
9
15
temperatura
nota
16
17
...
aree di influenza dei nodi: poligoni di Voronoi
Per scrivere il bilancio di energia è opportuno considerare per ciascun nodo
una “area di influenza”, ovvero una regione che contorna il nodo. Queste
aree, una per ciascun nodo saranno usate per scrivere il bilancio termico.
13
12
11
10
3
5
7
2
1
4
6
8
14
9
15
16
17
Un primo tipo di aree di influenza nodali
è formato dai poligoni che hanno come lati, gli assi dei lati dei triangoli.
Questi si chiamano poligoni di Voronoi.
...
i poligoni duali interni (interi)
Scriveremo l’equazione di bilancio per ciascun poligono duale.
Usando i poligoni di Voronoi si ha il vantaggio di avere i lati dei poligoni
ortogonali ai lati dei triangoli: questo rende molto semplice
la scrittura delle equazioni costitutive.
13
12
11
10
3
5
7
2
1
4
6
8
14
9
Consideriamo dapprima
i poligoni interni (interi)
15
16
17
...
bilancio di energia sui poligoni duali
Ci limiteremo al caso stazionario: l’accumulo di energia è nullo e
quindi il calore uscente è uguale a quello prodotto.
12
11
10
3
13
5
7
2
2
1
4
8
6
14
9
15
16
17
...
valutiamo i calori uscenti
Il calore che attraversa un lato del poligono di Voronoi,
considerato positivo se entra, dipende dalla differenza di
temperatura misurata a cavallo del lato.
La legge elementare del calore di Fourier dice che, in una regione di flusso
uniforme, il calore che transita attraverso una superficie è proporzionale alla
differenza di temperatura per unità di lunghezza secondo la formula
11
10
3
Noi faremo l’approssimazione di considerare
la regione circostante ogni lato del poligono
2
1
come una regione di uniformità.
area di
approssimata
uniformità
4
14
15
Questa sarà l’unica approssimazione che faremo!
...
equazione fondamentale per i poligoni interni (interi)
Equazione di bilancio (esatta)
Equazioni costitutive (approssimate)
15
10
3
2
1
4
14
15
si ottiene l’equazione
algebrica
approssimata:
...
equazione fondamentale per i poligoni di bordo
Scriveremo ora l’equazione di bilancio
per ciascun poligono duale di bordo (spezzato).
Il termine B indica il calore entrante dal bordo del poligono spezzato
(B sta per boundary)
11
10
3
2
1
4
14
...
15
...
bilancio di energia sui poligoni duali di bordo (spezzati)
11
Per ogni poligono di bordo scriviamo che la
somma dei flussi uscenti è uguale al flusso
entrante dal bordo.
10
3
2
1
Bilancio sul poligono 1
4
14
15
Usando anche qui le equazioni costitutive si perviene
all’equazione algebrica approssimata
...
il sistema algebrico fondamentale
11
In questo modo si giunge ad un sistema algebrico di n equazioni
10
in n incognite contenente le temperature nodali:
3
2
1
4
14
15
11
10
Dal momento che abbiamo un poligono duale
per ogni nodo, scrivendo una equazione di bilancio
per ogni poligono duale, avremo tante equazioni
quanti sono i nodi e quindi quante sono le incognite.
In questo modo avremo ottenuto un sistema
di equazioni algebriche senza essere passati
attraverso equazioni differenziali !!!
3
2
1
4
14
15
...
...
il sistema algebrico fondamentale
Questo sistema algebrico
costituisce l’equivalente finito
dell’equazione della conduzione del calore di Fourier
...
invece la formulazione differenziale ….
ci fornisce due belle equazioni differenziali, una per ciascun materiale
(supposto omogeneo), ci costringe a scrivere le equazioni di raccordo sulle
superfici di separazione tra due materiali diversi.
A
B
Ma allora che bisogno c’è di fare il limite, considerare volumetti infinitesimi
e così pervenire ad una equazione differenziale che non possiamo risolvere?
...
da dove nasce l’approssimazione
Dal momento che l’equazione costitutiva è sperimentata in regioni di campo
uniforme, quando essa è applicata in regioni di campo non uniforme diviene
approssimata.
E’ qui che nasce l’approssimazione della risoluzione numerica
E’ evidente che tanto più piccola è la dimensione delle celle,
tanto più il campo si potrà considerare uniforme in ciascuna di esse.
A questo punto viene la tentazione di fare il limite, ovvero di ridurre i volumetti
a punti, affinché la legge costitutiva diventi “esatta”.
Facendo così noi ricadiamo nella formulazione differenziale!
E poiché il calcolatore ha bisogno di una formulazione algebrica,
siamo costretti a discretizzare l’equazione differenziale.
Tanto valeva evitare il passaggio al limite e mantenerci
nella formulazione algebrica fin dall’inizio!
...
complesso simpliciale
sorgente concentrata
regione con materiale A
20
40 con materiale
60
80
regione
B
100
120
140
160
180
sorgente distribuita
200
...
duale baricentrico
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
...
conclusione
...
caratteristiche della formulazione algebrica
la formulazione algebrica si appllica a:
regioni di forma qualsiasi, con buchi, punte, fessure, incavi, ecc.
• regioni contenenti materiali diversi
• materiali anisotropi
• materiali nonlineari
• materiali sinterizzati
• tratta con naturalezza sorgenti concentrate
• non presenta infiniti
• consente ordini di convergenza di ordine superiore al secondo
• si applica con semplicità alla frattura
...
Evitiamo quindi un passaggio inutile !
soluzione
approssimata
equazioni
algebriche
questa lezione
campo
fisico
equazioni
differenziali
...
Pubblicazioni relative
alla formulazione algebrica
e al metodo delle celle
si possono scaricare dal sito:
www.discretephysics.org
[email protected]
...
