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E in materia
1
Condizioni al contorno
1. Campo elettrico stazionario
2. Materiale dielettrico
E in materia
2
In linea di principio valgono tutti i
teoremi che abbiamo visto nel vuoto…
(tutti gli esperimenti che hanno portato a tali
teoremi sono stati effettuati nella materia)
E in materia
3
q
r
1
q
E = 4 r 2
0
E in materia
4
q
E
E in materia
5
q
E in materia
6
Dimensioni atomiche
Un fattore 10-4
equivale a
1cm/100m
E in materia
7
1 cm
100 m circa
q
1
q
40 r 2
1
1
q
40 r 2
q
40 r 2
1
q
40 r 2
1
q
40 r 2
1
q
40 r 2
1
q
40 r 2
1
q
40 r 2
1
q
40 r 2
E in materia
1
q
40 r 2
1
q
40 r 2
9
…in pratica vi sono molte difficoltà
nella loro applicazione.
E in materia
10
Supponiamo che nel bicchiere ci siano 18 g di acqua
(pari ad una grammomolecola).
Il numero di molecole sarà quindi (numero di Avogadro)
NA= 6.02 1023
Poiché nell’ H2O vi sono 1 atomo di ossigeno e 2 di
idrogeno avremo 10 cariche positive (ed altrettante
negative) per molecola,
quindi in totale vi sono circa 10* 6.02 1023 =6*1024
cariche positive ed altrettante negative
Ciascuna di queste concorre al campo elettrico con un
termine del tipo:
1
q
2
4 0 r
E in materia
11
q
1
q
40 r 2
1
1
q
40 r 2
q
40 r 2
1
q
40 r 2
1
q
40 r 2
1
q
40 r 2
1
q
40 r 2
1
q
40 r 2
1
q
40 r 2
E in materia
1
q
40 r 2
1
q
40 r 2
12
E in materia
13
Forza di Coulomb
1 q1q2
r
F
r  K q1q2 3
3
4 0 r
r
Materiale
Cariche
Geometria
E in materia
14
++++++++++++++++++++++++++++++++
- - - - - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
___________________________________
E in materia
15
Supponiamo di avere due condensatori uguali nel vuoto:
Se metto la stessa carica q su di ognuno di essi
trovo ovviamente lo stesso potenziale e posso definire una Capacità
q
C0 
V0
E in materia
16
Se adesso riempio un condensatore con un
dielettrico e vi metto la stessa carica q
trovo un potenziale diverso V1 e di conseguenza
una differente capacità
q
C1 
E in materia
V1
17
E in materia
Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica
18
Q
Poichè Q è la stessa (e V=
) dovrà essere variata la capacità
C
C0  C '
Variando il dielettrico trovo che posso mettere
C' = r C0
con r > 1 dipendente dal dielettrico
E in materia
19
• Materiale
•
•
•
•
•
•
•
Acqua a 25 0C
Aria secca a 1 atm e 25 0C
Carta paraffinata
Gomma
Mica
Porcellana
Vetro
E in materia
r
78
1.0005
2
3
4.5-7.5
6
4-10
20
E in materia
21
Sperimentalmente si vede che se si mette
un dielettrico tra le facce di un
condensatore piano sui lati del dielettrico si
presenta una densità ±sp
E in materia
22
+++++++++++++++++++
-- -- -- - - - - - - - - + ++++++++++++ +++ ++ +++ ++ ++ + + +
-------------------
E in materia
23
Questo porta ad una modificazione del campo elettrico e
quindi della differenza di potenziale
E in materia
24
la carica qest messa dall’esterno non cambia, ma
ad essa si aggiunge la qpol che ha segno diverso.
Quindi la carica totale è
qest + qpol < qest
Conseguentemente il campo elettrico e la differenza
di potenziale diminuiranno
Poiché è V=Qest/C se V diminuisce aumenterà la
capacità
E in materia
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Possiamo considerare il sistema in due modi
possibili
+++++++++++
E
1
r
E0 
------------
1 s
E=
r 0
+++++++++++
s
s
r
------------
E in materia
s
s
1
0
(s  s p )
+++++++++++
- - - - - - - - sp
+ + + + + +
------------
sp
26
s
che rapporto c'è tra r e sp?
Trattando il condensatore come un doppio strato possiamo
scrivere
1
1 s
+++++++
s
E
E0 
r
r
r 0
------- sSe invece sostituiamo al condensatore pieno uno vuoto, ma
con sulle armature una carica tale da avere lo stesso campo
elettrico, avremo un campo
+++++++++
- - - - - - sp
+ + + + +
---------
sp
1 s
E=
1
0
(s  s p ) da cui si ricava
1
(s  s p ) ==> sp = - s(1=
) = - r  1 s
0
0 r
r
r
1
quindi le sp sono di verso opposto e proporzionali alle s.
E in materia
27
1 q q
V0 
  
4 0  r2 r1 
1 q(r1  r2 )
4 0 r1r2
r1  r2   cos  | vero se r  
V0 
1 q cos 
4 0
r2
V0 
M r
4 0 r 3
1
M  q
E in materia
28
Campo elettrico e potenziale di un
dipolo
E in materia
29
Campo elettrico e potenziale di un
dipolo
E in materia
30
Se il dipolo di cariche viene immerso in un campo
elettrico E, il momento meccanico delle forze cui
è sottoposto risulta essere:
P    qE  M  E
E in materia
31
Dipolo in campo elettrico
E in materia
32
E in materia
33
n
V0 
1
q
4 0
R
i 1
i
n

1
 (q R   )
4 0
R3
i 1
i
ove Q=  qi
E in materia
i

1 Q
1 P R

4 0 R 4 0 R3
e P= (qi i )
34
n
V0 
1
q
4 0
R
i 1
i
n

1
 (q R   )
4 0
R3
i 1
i
i
1 Q
1 PR


4 0 R 4πε 0 R 3
Il primo termine è nullo se Q=0 cioè se il sistema è neutro.
Il secondo termine si può vedere che è nullo se il sistema è
simmetrico.
Il secondo termine dipende dalle coordinate a meno che il
sistema totale abbia carica Q=0 quindi si può parlare di
momento di dipolo intrinseco al sistema solo quando
questo abbia carica totale nulla (esempi tipici sono atomi
e molecole).
E in materia
35
Conduttori e dielettrici
Gli atomi sono costituiti da un nucleo formato
(tra l’altro) da cariche positive (protoni)
circondate da cariche negative
(elettroni) che, attratte dal
nucleo, costituiscono un
sistema stabile
E in materia
36
Un atomo è un sistema legato, nel senso che è necessaria
una data energia (energia di ionizzazione, o, cambiando il
segno, energia di legame) per poter estrarre un elettrone e
portarlo all’ infinito. Esso può essere rappresentato come in
figura come una buca di potenziale.
E in materia
37
Ricordiamo adesso che un insieme di cariche
(in approssimazione di dipolo ed un atomo è
appunto questo), produce un potenziale dato da:
 
p0  r

1
1
V
 pi  grad ( ) 
3
40 i
r
40 r
quindi ogni atomo produce una variazione del
potenziale sugli atomi vicini o, se vogliamo, ogni
atomo risente della variazione di potenziale
creato da tutti gli atomi circostanti.
E in materia
38
In alcuni casi questa variazione è
maggiore della energia di legame
e quindi gli elettroni (esterni)
sono messi in comune tra tutti gli
atomi, si ha un conduttore.
In altri casi questa variazione
non è sufficientemente alta e
quindi l’atomo resta un sistema
legato e si ha un isolante (dielettrico).
E in materia
39
Energia di legame
E in materia
40
CONDUTTORI
Nel caso sia presente un campo elettrico esterno gli
elettroni sono liberi di muoversi e si dispongono come
in figura in modo che all’ interno il campo elettrico
totale sia nullo
E in materia
41
E in materia
42
q
E
E in materia
43
q
E in materia
44
E in materia
45
n
V0 
E in materia
1
q
4 0
R
i 1
i
n

1
 (q R   )
4 0
R3
i 1
i
ove Q=  qi
i

1 Q
1 p0  R

4 0 R 4 0 R3
e p0 = (qi i )
46
• Sia p0 = (qi i ) il momento di dipolo elettrico
della molecola.
• p 0 è uguale a zero se la molecola ha una
simmetria tale che il centro di massa delle cariche
positive coincide con quello delle negative
(sostanze non polari ad es elio, neon, ossigeno,
idrogeno),
• p 0 è diverso da zero nel caso non vi sia simmetria
(sostanze polari ad es. acqua, NaCl).
E in materia
47
E in materia
48
E in materia
49

p0
L’ ordine di grandezza di p0
( p = (q  ) )si può ottenere moltiplicando
il valore di alcune cariche elettroniche
(qualche unità in 10–19C) per una
frazione del diametro della molecola

-11
(10 m) si ottiene p0 dell’ ordine di
10-30 C m.
0
E in materia
i
i
50
E in materia
Molecola
P0 in 10-30Cm
NaCl
AgCl
H2O
H2S
HCl
NO
CO
SO2
30.0
19.1
6.23
3.67
3.60
0.52
0.33
5.34
51
In generale i momenti di dipolo (delle molecole
che lo hanno) sono distribuiti casualmente nel
tempo (di osservazione) e nello spazio (in cui
avviene la misura) per cui la media è = 0.
In presenza di un campo esterno tendono ad
orientarsi parallelamente al campo esterno
(contrastati dalla agitazione termica)
E in materia
52
E in materia
53
E in materia
54
E in materia
55
E in materia
56
Inoltre tutti gli atomi e le molecole, sia che
abbiano momento proprio uguale o diverso
da zero, tendono a deformarsi, dando luogo a
nuovi momenti di dipolo.
Per i sistemi con momento proprio diverso da
zero, i momenti ottenuti per deformazione si
aggiungono a quelli propri.
E in materia
57
Nel caso dei dielettrici si hanno due effetti:
per tutti materiali si ha
una
E in materia
dell’ atomo;
58
E in materia
59
Per alcuni elementi, i cui atomi o
molecole posseggano un momento
di dipolo elettrico, si ha anche un
E in materia
60
RIASSUMENDO
Polarizzazione per deformazione
ad es
H2, Elio, Neon, Ossigeno, CO2
in cui il campo elettrico esterno provoca una deformazione che è la
causa dell' insorgere di un momento di dipolo proprio.
Polarizzazione per orientamento
ad es.
Acqua, NH3
avviene per le molecole che hanno già un momento di dipolo proprio.
E in materia
61
Polarizzazione di un dielettrico
• sia un dielettrico polare che uno apolare, quando
sottoposti ad un campo elettrico E ≠ 0, subiscono
polarizzazione, ossia i dipoli interno (propri o
indotti da E) tendono ad orientarsi parallelamente
ad E, tutti con lo stesso verso
E in materia
62
Si supponga di mettere tra le piastre di un condensatore un
dielettrico: inizialmente i dipoli sono orientati a caso, se
però ai capi del condensatore si mette una differenza di
potenziale V i dipoli si allineano sotto l’azione del campo
esterno Eest applicato. A seguito dell’allineamento, però, i
dipoli creano a loro volta un campo Eint interno al dielettrico
di verso opposto a quello esterno
E in materia
63
Conseguentemente, il campo elettrico
risultante all’interno del dielettrico risulta
inferiore rispetto a quello che si avrebbe in
assenza del materiale, ossia rispetto al
campo elettrico Eest
Etot = Eest + Eint < Eest
E in materia
64
• Inoltre, sulle superfici del dielettrico che si
affacciano sugli elettrodi appare una carica
(CARICA DI POLARIZZAZIONE) dovuta ai dipoli
che si affacciano su tali superfici
E in materia
65
E in materia
Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica
66
E in materia
67
p0
è il momento elettrico proprio (per orientazione
o deformazione di ciascuna molecola).
p
è il momento elettrico medio della molecola
(mediato nel tempo e nel numero di molecole presenti
nel volume considerato) in una data direzione
n = numero di molecole/unità di volume
P
= n p è il vettore intensità di polarizzazione
momento elettrico dell' unità di volume.
E in materia
68
In caso di isotropia in un volume si ha la
seguente situazione. Le cariche interne si
annullano e si vedono solo le cariche sulla
superficie.
E in materia
69
l
sp
sp
In tal caso dato un volume V= l S questo ha un
momento elettrico dato da PV. Ma il momento può
essere calcolato come q l quindi si ha
PV = q l ==> P(S l) = q l = (spS)l da cui
sp = P
E in materia
70
Più in generale
se il campo elettrico esterno

(e quindi P, non è normale alla superficie)
si ottiene
 
sp= P  n

Essendo n la normale alla superficie.
E in materia
71
Se la polarizzazione del dielettrico non è uniforme allora su
ogni prismetto ci sarà una carica sp ds – s’p ds cioè
PdS - P'dS = dQp
ma poichè possiamo scrivere
abbiamo:
dP
P'=P+ dl
dl
dP
dP
dQp = Pds - P'ds = Pds - (P+ dl)ds = - dlds
dl
dl
dQp
dP
e quindi la densità di carica è
= ρp = dV
dl
E in materia
72
Più in generale se i prismetti sono
disposti in modo qualsiasi si può
dimostrare che sussiste la
p = - div P
E in materia
73
NOTA
la somma delle cariche di polarizzazione
deve essere nulla dato che si ha solo uno
spostamento di cariche; in effetti si ha:
 

q p   s p dS    p dV   P  ndS   (div P)dV
S
V
S
V
Per il teorema della divergenza si vede che è
qp=0
E in materia
74
Nel vuoto il teorema di Gauss si scrive :
 
div E 
0
dove  è la densità di carica relativa alle cariche
messe dall’esterno.
Nella materia in cui oltre alle cariche esterne vi
sono le cariche di polarizzazione p , possiamo
scrivere:
E in materia
75
divE 

0

p
0
e ponendo div P = - p
( P = vettore di polarizzazione) si ha


 0 divE    divP
Cioè
E in materia
 
div ([ 0 E]  P)  
76
se introduciamo il vettore D = 0E + P
questo gode della relazione

Div D =
cioè gode della stessa proprietà di
vuoto.
E in materia
E 0 nel
77

P
E in materia
(vettore di polarizzazione)

è proporzionale a E .
78
Infatti, per la polarizzazione per
deformazione lo spostamento delle
cariche, almeno per piccole
deformazioni, è proporzionale al
campo elettrico esterno ed il momento
di dipolo è proporzionale allo
spostamento.
E in materia
79
E in materia
80
Nel caso poi di Polarizzabilità per
orientamento si ha che, dato un
momento di
dipolo
p
in
un
campo
0

elettrico E alla temperatura T si
può dimostrare che la componente di
p0 nella direzione di E è data da:
E in materia
81
p = p0 L(a)
con
a
e e
1

L(a) = a
a
e e
a
a
funzione di Langevin, ove
p0 E
a=
KT
con K = costante di Boltzmann= 1.38 10-23 J/k
E in materia
82
Come si arriva a questa formula?
Supponiamo di avere un insieme di
molecole, aventi momento proprio, immerse
in un campo elettrico esterno…
E in materia
83
In queste condizioni si raggiunge un
equilibrio termico, in cui le molecole
aventi il momento p0 parallelo
e nello

stesso verso del campo E sono un
poco di più di quelle aventi la stessa
direzione ma verso opposto, e quindi, se
si calcola la polarizzazione media delle
molecole questa avrà una componente
non nulla nella direzione del campo.
E in materia
84
Una molecola di momento elettrico
p0 orientato a formare
un angolo q con

la direzione di E , ha una componente

del momento elettrico lungo E pari a
p0cosq.
p0
q
E
p0 cosq
E in materia
85
Il valore medio, di questa componente
sarà: p  p0 cos θ
avendo indicato con cos θ il valore
medio di (cos q) calcolato su di un gran
numero di molecole.
E in materia
86
Per calcolare cosq faremo uso della
distribuzione di Boltzmann la
quale ci dice che, in un sistema
termodinamico in equilibrio
termico, il numero di molecole di
energia potenziale U è descritto
dalla funzione P(U) di Boltzmann
P(U)  Ae
E in materia
U
KT
87
P(U)  Ae
U
KT
dove
A è una costante di normalizzazione
U è l’ energia del dipolo ( U  p0 E = p 0Ecosq
con q angolo tra p 0 e E )
K è la costante di Boltzmann (1.38 10-23 JK-1)
T è la temperatura assoluta del dielettrico
E in materia
88
e quindi ogni valore dell'angolo q comparirà con
probabilità proporzionale a
f(θ)=Ae
E in materia
p0 E
cosθ
kT
89
Per calcolare il valore medio di cosq
occorre mediare su tutte le possibili
orientazioni delle molecole eseguendo
l’integrale:
cos q f (q ) sen(q ) dq d


cos q 
  f (q ) sen(q ) dq d
E in materia
90
cos q f (q ) sen(q )dqd


cos q 
  f (q )sen(q )dqd
dove l’integrale a denominatore è stato introdotto per
normalizzare ad 1 la probabilità totale, e l'integrazione
va eseguita sull'elemento di angolo solido
dW = senq dq df,
con f variabile tra 0 e 2π, q variabile tra 0 e π. Le
funzioni integrande non dipendono da f e quindi
l’integrazione in df può essere immediatamente
eseguita
E in materia
91

cos q 
2  cos q e
0

2  e
p0 E
cosq
kT
p0 E
cosq
kT
1
sen(q ) dq

sen(q ) dq
0
1
ax
e
 dx
0
0
avendo posto
x=cosq,
ax
xe
 dx
dx= -sinqdq
p 0E
a
kT
Eseguendo l'integrazione si ha infine il risultato:
E in materia
92
a
e e
1
cos q  a a 
= L(a)
e e
a
a
e per il momento elettrico medio delle
molecole nella direzione del campo
p  p0 cosq  p0L(a )
E in materia
93
a
e e
1
La funzione L (a)  a
 è detta funzione di
a
e e
a
a
Langevin ed è rappresentata in figura:
E in materia
94
p  p0 L(a)
p0 E
a
kT
Per piccoli valori di a L(a)cresce proporzionalmente
ad a,

cioè cresce proporzionalmente ad E ; al crescere di a essa
tende ad 1, cioè tutte le molecole si allineano nella
direzione del campo e p tende a po.
E in materia
95
Nella pratica la zona di interesse è quella dei piccoli valori di
a.
Infatti possiamo pensare che po sia dell'ordine della carica
dell'elettrone moltiplicata per una lunghezza dell'ordine di
10-10 m, (cioè circa 10-30Cm)
- la costante di Boltzmann vale k = 1,38 x 10-23 J/K;
- assumendo temperatura ambiente T = 300 0K
- e un campo E = 106 V/m, si ha che
a è dell’ordine di 4 10-3 << 1
p0 E
a
kT
E in materia
96
per a piccoli allora si può sviluppare L(a) in serie e
si ottiene che per a <<1
L(a) si riduce a
a
L(a) 
3
quindi risulta
2
0
a p E

 aE
p=p0L(a)  p0
3 3KT
a0 polarizzabilità per orientamento o polarizzabilità
dipolare, definita come il rapporto, indipendente da
E, tra il momento elettrico medio dovuto
all'orientamento delle molecole 2e il campo agente
sulla molecola. Quindi a0 = p 0
E in materia
3kT
97
In generale anche le molecole polari subiscono
una deformazione della nube elettronica sotto
l’azione di un campo elettrico e la loro
polarizzabilità (detta spesso polarizzabilità
molecolare) è quindi la somma di due termini
p 20
a= ael +
3 kT
quindi a può dipendere ( a seconda dell'
approssimazione dato che in genere ael è più
p
piccolo di 3kT
) da E ed allora si usa mettere
sotto la forma
2
0
E in materia
98
P = a E = 0c(E) E
anche se spesso c(E) = c = costante
E in materia
99
RIASSUMENDO
 
div ([ 0 E]  P)  
se introduciamo il vettore
D = 0 E + P
vettore induzione elettrica questo gode della
relazione

Div D =
cioè gode della stessa proprietà di
E in materia
E 0 nel vuoto.
100

P
(vettore di polarizzazione)

una funzione di E .
è
P=f(E)
Può quindi essere messo sotto la forma
P=f(E)=ε0 χ(E)E
Basta definire
E in materia
f(E)
χ(E)=
ε0
101
P = aE = 0c(E) E
anche se spesso c(E)=c =costante
suscettività
elettrica
 
inserendola nella div ( 0 E  P)   si ha


div( 0 E   0 c ( E) E)  
cioè
E in materia
ρ
div[(1+χ(E))E)]=
ε0
102
Nel caso (molto frequente) in cui c(E) sia
indipendente da E si ha 
ρ
div E 
(1  χ) ε 0
da cui, ricordando che
:
E
E0
r

e divE0 
0

divE  div

 r  0 r
E0
si ricava 1+c= r
E in materia
103
il vettore

 
D  0E  P
può allora scriversi come





D   0 E   0 c ( E ) E   0 1  c ( E ) )E   0 r E
E in materia
104
mentre nel vuoto basta E per
descrivere tutto lo stato del sistema,
nella materia sono necessari due
vettori (qualunque tra E,D,P)
tradizionalmente si usano
E
E in materia
e

D
105
Nel vuoto
Nei dielettrici
rotE0 =0
rotE=0
div(ε0 E)=ρ
div D=ρ
E in materia
106
• La costante dielettrica relativa R dipende essenzialmente dal grado di
polarizzazione (o spostamento del baricentro delle cariche positive e
negative) che può avvenire nel materiale.
• I fenomeni di polarizzazione (che sono strettamente collegati alla
costante dielelettrica) possono essere divisi in due categorie:
per orientamento o di polare e
per deformazione che può a sua volta essere divisa in :
elettronica, atomica e ionica.
• La polarizzazione totale, ad ogni frequenza, è la somma dei contributi
che ciascun tipo di polarizzazione può dare a quella frequenza
E in materia
107
Polarizzazione dipolare
E in materia
108
Polarizzazione per deformazione
elettronica
• Essa è dovuta ad un leggero spostamento della
nuvola elettronica caricata negativamente degli
atomi relativamente al nucleo caricato
positivamente.
E in materia
109
Polarizzazione per deformazione
atomica
•
Essa è dovuta ad un leggero spostamento relativo di ioni
adiacenti di segno opposto, che si riscontra quindi solo in
reticoli di sostanze di tipo ionico o covalente-polare.
E in materia
110
Polarizzazione per deformazione
ionica o interfacciale
• Essa si verifica in materiali che non sono dei
dielettrici 'ideali' ma nei quali può avvenire una
migrazione di carica su distanze macroscopiche.
E in materia
111
• I meccanismi di polarizzazione non sono
istantanei, ma richiedono un certo tempo per
raggiungere l’equilibrio.
Il tempo necessario a raggiungere l'orientazione
di equilibrio viene detto tempo di rilassamento, ed
il suo reciproco frequenza di rilassamento.
Quando la frequenza del campo applicato supera
quella di rilassamento di un particolare processo di
polarizzazione, i dipoli non possono riorientarsi
abbastanza velocemente e quel particolare
processo si disattiva.
E in materia
112
Ogni tipo di polarizzazione è caratterizzato da un suo
tempo di rilassamento.
Polarizzazione
Tempo di rilassamento  (sec.)
elettronica
10-16
atomica
10-12
molecolare
10-3 ÷ 10-8
Se questo tempo è relativamente elevato, ad alte frequenze la
polarizzazione del materiale non potrà piu seguire le
variazioni del campo elettrico. Al contrario a basse
frequenze sarà possibile per ogni tipo di polarizzazione
seguire l'andamento del campo elettrico e la costante
dielettrica raggungerà il suo massimo valore
E in materia
113
E in materia
114
Dipolo
LF
E in materia
Dipolo
MF
Dipolo
HF
115
 
Comportamento di E e D nella
superficie di separazione tra due
dielettrici.
E in materia
116
Componente tangenziale


  E  rotE  0 quindi
E in materia

E

ds

0

117
dl3'
dl3''
dl '4
dl ''4
E in materia
118
 


E1  dl  E2  dl  E1  dl  E2  dl  E1  d l1  E 2  d l2  0
'
3
''
3
'
4
''
4
nei tratti 3 e 4 l' integrale è = 0 per due ragioni:
1) perchè sono infinitesimi di ordine superiore.
2) perchè se 1 e 2 sono infinitesimi non c'è ragione
perchè l' integrale su 3 debba differire da quello
su 4 quindi:
 


E1  d l1  E 2  d l2  0
E in materia
119
E1dl1 cos q 1 E2 dl 2 cos q 2  0
da cui
ET1 = ET2
E in materia
120
Componente normale.

div D  
Si prenda un cilindretto con superficie laterale infinitesima
all' ordine superiore rispetto alle basi
 )

S D 
 
 D  ndS 
Sup.cil .
E in materia

 divDdV  Q
Vol.cil .
121
Q=0 poichè non ci sono cariche esterne all'
interno del cilindro si ha

 S ( D)  0
e poichè il flusso laterale è = 0
(infinitesimo di ordine superiore)
si ha
DS2D) + DS2(D) = 0
E in materia
122
D1cosq1 - D2cosq2 = 0
D1n = D2n

poichè è
D 

E
abbiamo 1En1 = 2En2 che combinate con
ET1= ET2 danno
tgq1 =
E in materia
ET1
EN1
ET2 1
1


tgq2
2
EN 2  2
123

MISURA DEL CAMPO E IN UN
DIELETTRICO
L’ intensità del campo elettrico Eo in un
punto dello spazio vuoto è stata definita

 F
dalla relazione E 
dove F indica la
q
forza agente su una carica di prova q
posta nel punto in questione.
E in materia
124
In presenza di dielettrici, la definizione precedente
per i punti dello spazio interni al dielettrico non è
più valida: infatti, se il dielettrico, è solido, per
introdurvi la carica di prova q si deve praticare,
una cavità nel dielettrico e sulle pareti della cavità
si formano delle cariche di polarizzazione che
modificano il campo preesistente e tale modifica,
in generale, non tende a zero al diminuire delle
dimensioni della cavità; se, invece, il dielettrico è
liquido, o aeriforme non c'è difficoltà
nell'introdurre il corpicciolo contenente la carica
di prova ma questo risente delle forze di superficie
dovute al contatto col dielettrico.
E in materia
125
ET1= ET2
Se nel dielettrico viene praticato un taglio
parallelo alle linee di forza del campo
elettrico e di piccolo spessore, lungo i bordi
del taglio non si hanno cariche di
polarizzazione (infatti P è parallelo ai
bordi, perciò sp = P n = 0), mentre le
cariche di polarizzazione sulle basi (piccole)
del taglio contribuiscono in maniera
trascurabile al campo elettrico all'interno
della cavità.
E in materia
126
CONDENSATORE CON 2 DIELETTRICI
(caso condensatore piano)
Condensatore con dielettrico 
E in materia
ε r ε 0S
C=
d
127
CONDENSATORE CON 2 DIELETTRICI
(caso condensatore piano)
Se si ha un doppio condensatore
(con 2 dielettrici 1e 2) si ha:
1
1
1


C C1 C 2
=
=
E in materia
d1
 0 1 S

d2
 0 2 S
=
1 
 d1  d 2 

S  0  1 0 2 
=
1 
d1  1 d 2 

 0  1S 
 2 
128
 0 1 S
C
1
d1  d2
2
E in materia
129
Sul luogo di separazione si ha D1n = D2n cioè
1En1 = 2En2
inoltre la d.d.p. tra 1 e 3 sarà E1d1
la d.d.p. tra 3 e 2 sarà E2d2
e quindi si avrà:
V2-V1= E1d1 + E2d2
Abbiamo quindi due equazioni lineari in
E1 e E2 che risolte danno:
E in materia
130
V2  V1
E1 
1
d1  d 2
2
E in materia
V2  V1
E2 
2
d2  d1
1
131
RIGIDITA' DIELETTRICA
L' atomo è un sistema legato: occorre una certa energia per
portare l' elettrone all' infinito; questa energia è chiamata
energia di ionizzazione.
Metodi per ionizzare (cioè cedere energia sufficiente all'
atomo) sono:
1) Calore (sorgenti di ioni a filamento caldo(attenzione,
normalmente sono sorgenti di elettroni), stelle,….)
2) Luce (=energia) => effetto fotoelettrico, occorrono
normalmente sorgenti X o g)
3) Particelle di alta energia da acceleratori o anche ioni
accelerati da campi elettrici.
E in materia
132
Normalmente nell' aria ci sono sempre ioni
(provenienti da urti di radiazione cosmica)
Se il campo elettrico è alto, ma non troppo,
essi vengono accelerati ed urtano altri atomi
producendo solo passaggio di cariche ed
aumento termico.
Se il campo elettrico supera un dato valore,
nell' intervallo tra un urto ed un altro lo ione
guadagna sufficiente energia da ionizzare l'
atomo contro cui urta; si ha quindi un nuovo
ione e, continuando, una reazione a catena e
quindi una scarica.
E in materia
133
Il campo elettrico necessario per iniziare la
scarica (= rigidità dielettrica) dipende dal
mezzo (massa dello ione), dallo stato del
materiale (distanza tra le molecole) e da
condizioni iniziali (umidità od altro) che fanno
variare la meccanica del processo.
( Nell'aria in condizioni normali è 31 KV/cm)
E in materia
134
Costante dielettrica e rigidità dielettrica: tabella
Costante dielettrica assoluta del vuoto o = 8,854·10-12 [F/m]
Mezzo dielettrico
Costante dielettrica Rigidità dielettrica
relativa
[KV/mm]
Aria secca (alla pressione di 1 [bar])
1,0006
3
Acqua pura
81,07
15
Olio minerale
2,2  2,5
7,5  16
Olio per trasformatori
2  2,5
12  17
Bachelite
10
5,5  8,5
Carta comune
2
6
Carta paraffinata
2,5  4
40  50
Carta da condensatori
30
5  5,5
Gomma
2,2  2,5
15  40
Mica
68
50  100
Polietilene
2,3
50
Porcellana
47
12  30
Vetro
68
25  100
Ossido di titanio
5
90  170
Titanati di Ba-Sr
5
1000  10000
E in materia
135
Esempio
si consideri un condensatore piano in aria
( d= 2 cm) a cui è applicata la tensione di
60.000 V.
Allora risulta E= 30.000 V/cm e non
avviene la scarica.
E in materia
136
E in materia
Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica
137
Inseriamo adesso 0.2 cm di cartone presspan (rigidità 200
kV/cm ed r=4)
V2  V1
60000
Allora si ha nel cartone E1 =
=
=
4
1
0.2  1.8
d1  d2
1
2
= 8.100 V/cm
nell' aria
= 32.400 V/cm
E in materia
V

V
2
1
E2 =
2
d2  d1
1
=
60000
1
1.8  0.2
4
138
=
Quindi scocca la scintilla nell' aria che
diviene conduttrice e tutta la tensione viene
allora applicata al cartone cioè 60.000/0.2 =
300.000 V/cm e quindi superando la rigidità
dielettrica del cartone si ha la scarica .
E in materia
139
E in materia
140
CONDENSATORE REALE
Il caso del condensatore nel vuoto è poco diffuso.
Molto meglio il condensatore con dielettrico perchè:
1) la capacità aumenta di r quindi di valore anche alti
(casi particolari con r dell’ ordine di 1000-10000)
2) dato che spesso d deve essereSpiccola il dielettrico
C=ε r C0 =ε r ε 0
serve ad impedire che le armature
vengano a contatto.
d
3) il dielettrico può avere una alta rigidità dielettrica
e quindi il condensatore può avere una alta d.d.p. sulle
armature.
E in materia
141
E in materia
142
10-2
S
C=ε r ε 0
d
= 8.86 10-9 F
30 10-6
3
8.86 10-12
10 cm
10 cm
E in materia
143
E in materia
144
ENERGIA DEL CAMPO ELETTROSTATICO
Nel vuoto avevamo trovato per la energia
del campo elettrico la formula:
2
1
1
q
2
U 0  C0V 
2
2 C0
che per un condensatore piano da
U
1 q 2d

0 2 0S
che nel dielettrico può essere scritta come
E in materia
U
1 q 2d

2 S
145
poichè all’ esterno E = 0 mentre all’ interno
del condensatore è
2
1
q
d
s q
U  2 S
E 
 S
Da cui, poiché il modulo della induzione
dielettrica D è D = s = q/S si ricava
1
U  DE Sd
2
ed essendo Sd il volume in cui è compreso il
campo elettrico, ricordando che è E parallelo a
D si ricava per
E in materia
146
la densità di energia l’ espressione
1 
u  ED
2
e quindi per l’ energia in un volume V
1  
U   ( E  D)dv
2V
E in materia
147
E in materia
148