Definizioni di probabilità
1. Classica: la probabilità di un evento E è il
rapporto tra il numero di casi favorevoli e il
numero di casi possibili (supposti egualmente
possibili)
NumeroCasiFavorevoli
P( E )
NumeroCasiPossibili
2. Frequentista: la probabilità di un evento E
ripetibile è il limite della frequenza di successi
all’aumentare del numero di prove.
NumeroSuccessi
P( E )
Numero Pr ove
Si scelga un punto P a caso all’interno di un
triangolo equilatero di lato 3. Si determini la
probabilità che la distanza di P da ogni
vertice sia maggiore di 1.
Sessione ord. 2006-2007-corsi sperimentali
P(p G)=Area(G) / Area(T)
G
1
Area(G)=
Area T –3*Area (settore circolare)
Definizione Assiomatica
di Probabilità
EVENTI
Nell’ambito della probabilità l’esito di una qualsiasi esperienza
viene detto evento.
Un evento si dice aleatorio o casuale se non si è nelle condizioni
per esprimere un giudizio certo sul suo verificarsi o meno.
• Evento certo : è quello il cui verificarsi è certo
• Evento impossibile: è quello il cui verificarsi è impossibile
Eventi elementari Lancio un dado : esce la faccia 3
Eventi composti Lancio un dado esce un pari
Eventi incompatibili: se il verificarsi dell’uno esclude la
possibilità del verificarsi dell’altro
Evento lancio un dado: esce un pari
Evento lancio un dado:esce un dispari
ESEMPI DI EVENTI LEGATI AL LANCIO DI UN DADO
S= {1,2,3,4,5,6}
A= esce un pari = {2,4,6}
B= esce un dispari = {1,3,5}
C= esce un numero divisibile per 5 = {5}
D= esce un numero maggiore di 2 = {3,4,5,6}
E= esce un multiplo di 3 = {3,6}
SPAZIO CAMPIONARIO:
Insieme di tutti i possibili esiti di un dato esperimento
Lancio un dado: S={1,2,3,4,5,6}
Un evento elementare è un elemento di S
Uscita della faccia 2
L’insieme di tutti gli eventi di cui posso indagare la probabilità dato
un certo esperimento corrisponde a P (S), ovvero dall’insieme delle
parti di S.
{1,3,5} e {3,6} sono alcuni elementi di P (S)
Anche l’insieme vuoto e l’insieme S sono eventi:
Il primo corrisponde all’evento impossibile, l’altro all’evento certo.
Definizione assiomatica di probabilità
Dato P definiamo una funzione P che associa ad ogni evento un
numero reale.
P : P (S) R
A P(A)
Tale funzione è detta misura di probabilità se gode delle
seguenti proprietà:
1. Per ogni evento A vale 0 P(A) 1
2. P(S)=1
3. Se A e B sono eventi incompatibili, vale P(AB)=P(A)+P(B)
Se A è un evento e P una misura di probabilità p=P(A) è detta
probabilità dell’evento A
Proprietà
S={s1,s2,s3,..,sk,…,sn}
1. Se S ha n elementi la probabilità di ogni
evento elementare è P(sk)=1/n
2. La probabilità di un evento impossibile è 0
3. La probabilità di un evento certo è 1
4. Se A e B sono incompatibili allora
P(A B)=P(A)+P(B) (*)
5. Se A e A sono complementari (o contrari)
allora
P( A) 1 P( A )
6. Probabilità subordinata
Se A e B sono due eventi tali che la valutazione della probabilità di
B è influenzata dalle informazioni in possesso sull’evento A,
allora tali eventi sono detti dipendenti in caso contrario si
dicono indipendenti
Se A e B sono indipendenti allora P(A B)=P(A)*P(B)
Se A e B sono dipendenti( ad esempio B dipende da A) allora per
misurare la probabilità di B dobbiamo tenere conto di quanto
l’avverarsi di A condiziona l’avverarsi di B.
S
Probabilità del prodotto logico:
Allo stesso modo diciamo che dati
due eventi A, e B vale
P(AB)=P(A) *P(B/A)
P( A B)
P( B / A)
P( A)
A
A B
B
ESEMPI
In un’urna ci sono 19 palline rosse e 31 nere. Qual è
la probabilità che estraendo successivamente 2
palline siano la prima rossa (evento A) e la
seconda nera (evento B) ?
1o caso: la pallina viene rimessa nell’urna dopo la
prima estrazione A e B sono indipendenti
P(A B)= P(A)*P(B) = (19/50)*(31/50)
2o caso: la pallina non viene rimessa nell’urna
dopo la prima estrazione A e B sono
dipendenti
P(A B)= P(A)*P(B/A) = (19/50)*(31/49)
Un tiratore spara ripetutamente ad un bersaglio; la
probabilità di colpirlo è di 0,3 per tiro. Quanti tiri deve
fare per avere probabilità maggiore di 0,99 di colpirlo
almeno una volta?
Sessione ordinaria 2005-2006-corsi sperimentali
E = “almeno un centro in n tiri”
E’ = “nessun centro in n tiri”
P(E)=1-P(E’)
E’=E1 E2 E3 E4 …. En
n
(
0
,
7
)
P(E’)=P(E1)*P(E2)*…*P(En)=
n
P(E)=1-P(E’)=1- (0,7) > 0,99
Un’urna contiene 10 palline 7 delle quali arancioni e 3 blu.
Si estrae una pallina a caso e, senza rientrodurla, se ne estrae
un’altra. Qual è la probabilità che almeno una delle due
estratte sia arancione?
A1=estraggo una arancione alla prima estraz B1=estraggo una blu alla prima estraz
A2=estraggo una arancione alla seconda estraz. B2=estraggo una blu alla seconda estraz.
Modalità 1:
E= almeno una pallina arancione
E’=nessuna arancione= tutte e due blu
P(E’)=P(B1 B2)=P(B1)*P(B2/B1)= (3/10)*(2/9)=6/90
P(E)=1-P(E’)=84/90
Modalità 2:
E=(A1 B2) (A1 A2) (B1 A2)
P(E)=P(A1 B2)+P (A1 A2)+P (B1 A2)=
=P(A1)*P(B2/A1)+P(A1)*P(A2/A1)+P(B1)*P(A2/B1)=
= (7/10)*(3/9) + (7/10)*(6/9) + (3/10)*(7/9) =84/90
Si hanno due urne ( I e II) contenenti rispettivamente 5 palline
rosse e 3 nere, e 3 palline rosse e 7 nere. Si estrae una pallina a
caso senza poter conoscere da quale si sia estratta. Valutare la
probabilità che la pallina estratta sia rossa.
A1=si estrae dalla prima urna
A2=si estrae dalla seconda urna
R=si estrae una pallina rossa
E= (A1 R) (A2 R)
P(E) =P (A1 R)+ P(A2 R)=
=P(A1)*P(R/A1)+P(A2)*P(R/A2)=
= (1/2)*(5/8) + (1/2)*(3/10) = 37/80
ESERCIZI
Su un tavolo ci sono due sacchetti:
il primo contiene 3 palline nere e 5 rosse;
il secondo contiene 5 palline nere, 3 rosse e 8 verdi;
Se lancio nel lancio di un dado esce il numero 2 o 4 si estrae
una pallina dal primo sacchetto, in caso contrario dal secondo
sacchetto. Valutare la probabilità:
a)di estrarre una pallina nera;
b)di estrarre una pallina verde;
c)di estrarre una pallina rossa;
d)di non estrarre una pallina nera.
Soluzioni :
a) 1/3 b) 1/3 c) 1/3
d) 2/3
Si scelga un punto P all’interno di un cerchio. Si
determini la probabilità che esso sia più vicino al centro
che alla circonferenza del cerchio.
Sessione Suppletiva 2006-2007 corsi sperimentali
Un’urna contiene 150 palline, che possono essere di vetro
o di plastica, bianche o nere. Per la precisione: 62
palline sono bianche, 38 sono di vetro nero e 40 sono di
plastica bianca. Calcolare la probabilità che, estratta a
caso una pallina, non sia di plastica nera.
Sessione Suppletiva 2005-2006 corsi sperimentali
In un circolo ricreativo si trovano n ragazzi scelti in
modo casuale. Scrivere un programma che
determini la probabilità che almeno due ragazzi
compiano gli anni lo stesso giorno.
In particolare si determini il numero minimo di
ragazzi per cui tale probabilità è superiore al 90%
