V a (t)

Introduzione ai Circuiti
Elettronici
Sommario
• Natura dei Segnali
– Analogici e Digitali
• Bipoli
– Bipoli Elementari
– Connessione di Bipoli
• Analisi dei Circuiti Lineari e Tempo-Invarianti
–
–
–
–
Equazioni differenziali
Fasori
Funzione di Trasferimento
Diagrammi di Bode
Resistore Ideale
Rnome N+ N- valore in 
N+
V(t)
I(t)
V(t)=R·I(t)
I(t)=G·V(t)
G·R=1
N-
Condensatore Ideale
Cnome N+ N- valore in F
N+
V(t)
I(t)
N-
dV (t )
I (t )  C
dt
Induttore Ideale
Lnome N+ N- valore in H
N+
V(t)
I(t)
N-
dI (t )
V (t )  L
dt
Generatore Indipendente di Tensione
I
I(t)
E(t)
V(t) = E(t)  I(t)
E
V
I(t)
I(t)
E
V = E = cost.  I(t)
V=0  I(t):
cortocircuito
Generatore Dipendente di Tensione
I
VC
F (VC )
V
V  F (VC )  VC  cost.
.
I
E
V
I
IC
F ( IC )
V
.
V  F ( I C )   I C  cost.
Generatore Indipendente di Corrente
I(t) = H(t)  V(t)
I
H
H(t)
V(t)
V
I = H = cost.  V(t)
H
V(t)
I=0  V(t):
ramo aperto
V(t)
Generatore Dipendente di Corrente
I
VC
F (VC )
V
I  F (VC )  VC  cost.
.
I
V
I
IC
F ( IC )
V
.
I  F ( I C )   I C  cost.
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.
Eq. differenziali: ingresso sinusoidale
Vb  t   VB cos  0 t    ?
I t   C
dVb  t 
dt
; I
0 VB sin   0 t    
R
Vb(t)
Va(t)=VA cos(0 t)
Va  t   Vb  t 
R
C
dVb  t  Vb  t  VA cos  0 t 
; da cui


;
dt
RC
RC
VB cos  0 t   
RC
I(t)

VA cos  0 t 
RC
;
0 VB sin   0 t  cos      0 VB cos   0 t  sin    
VB
VB
VA

cos  0 t  cos    
sin   0 t  sin    
cos   0 t  ;
RC
RC
RC
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.
Eq. differenziali: ingresso sinusoidale
 0 VB cos    
VB
VB
V
sin     0;
cos      0 VB sin     A ;
RC
RC
RC
tan      0 R C
sin    
cos    
 0 R C
1   0 R C 
Vb  t  
2
; VB 
VA
1   0 R C 
2
1
1   0 R C 
VA
1   0 R C 
2
2
;
;
cos 0 t  arctan  0 R C  
Vedi RC_sinInput.cir
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.
Eq. differenziali: ingresso a gradino:
H->:funzione di Heavyside
Vb  t   ?
I t  C
R
Va(t)=VA H(t)
dVb  t 
dt
; I
Va  t   Vb  t 
R
I(t)
Vb(t)
C
dVb  t  Vb  t  VA H( t )
; da cui


;
dt
RC
RC
t


Vb ,om  t   ae RC
Vb  t   Vb ,om  t   Vb , pt  t   
Vb , pt  t   VA
t


t

Vb  t   ae RC  VA
 a  VA  Vb  t   VAe RC  VA

Vb  0   0 (cond.iniziale)
Vedi RC_stepInput.cir
Fasori
Perche è comoda?
• Se sommiamo un numero di sinusoidi :
– Tutte la stessa frequenza
– Diverse ampiezze (volt o correnti)
– Diverse fasi
• Ad es.
3 sin 377t  75  10 sin 377t  50  4 sin 377t  15 
5 sin 377t  42  12 sin 377t  90
• Il risultato sarà un’altra sinusoide della forma
A sin 377t   
Fasori
Esempio…
• Esempio di cinque sinusoidi con la loro somma

14.81sin 377t  3.36 

Fasori
Come si usano…
• Invece che usare identità trigonometriche, un modo più
semplice per fare I conti
• Se  è fissato, associamo
v cos t     v
dove v è il numero complesso
con ampiezza v e argomento 
j t  


v cos t     Re v  e

Fasori
Come si usano…
• La somma di sinusoidi è equivalente alla somma di
fasori (numeri complessi)
Dominio del tempo
n
v
k 1
k
cos t  k 
trigonometria
v cos t   
Fasori
n
 v 
k
k
k 1
Somma di
numeri
complessi
v
Fasori
Come si usano…
• Ricordiamo la regola di Eulero
v  ve j  vcos   j sin  
• Quindi…
n
n
 v    v
k
k 1
k
k 1
k
cos k  j
n
v
k 1
k
sin k
Fasori
esempio…
3cos t   9 2 cos t  45


– Usando I fasori: 30  9 245  3  9  9 j
• Date le due sinusoidi
 12  9 j
– Il risultato è 15cos
t  36.87 
 1536.87 

Fasori
Altro esempio…
• Questi grafici mostrano:
– I singoli fasori
– La loro somma
Fasori
Circuiti lineari…
• Trattando correnti alternate (AC):
– La generalizzazione della resistenza è
l’impedenza complessa Z = R + jX
– La generalizzazione della conduttanza è
l’ammettenza complessa Y = G + jB
• La generalizzazione della legge di Ohm:
V = IZ
Fasori
fasori
Dominio tempo
v cos t   
v
v sin t     v cos t     / 2
v    / 2
d
v cos t     
dt
v sin t   
  v    / 2
 v cos t    dt 
v
v


sin t   
    / 2 
Resistore Ideale
N+
v  Ri
v
i
v  Ri
N-
i  Gv
RG 1
Condensatore Ideale
N+
Cv      / 2  i
v
i
jC  v  i
N-
Induttore Ideale
N+
v  L  i    / 2
v
i
v  jL  i
N-
Fasori
Circuiti lineari…
• In AC, I circuiti lineari si comportano come
fasori

Z

L

90
induttore con induttanza L
resistore con resistenza R
Z  R0
condensatore con capacità C
Z  C  90
• Possiamo determinare la tensione ai capi
dei bipoli lineari in AC: V = IZ
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.
Fasori
R
Vb(t)
Va(t)=VA cos(0 t)


Vb  t   Re VB e j e j 0 t ? Va  t   Re VA e j 
0
t
I(t)
C

Circuito lineare tempo-invariante: se VA cos(0 t)  VB cos(0 t+),
allora VA cos[0 (t-π/20)]= VA sin(0 t)  VB cos[0 (t-π/20)+]=VB sin(0 t+)
e qundi VA [cos(0 t) +j sin(0 t)]  VB [cos(0 t+)+j sin(0 t+)]
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.
Fasori
R
Vb(t)
Va(t)=VA cos(0 t)
j 0 VB e j e j0 t
VB e j 
I(t)
C
VB e j e j0 t VA e j0 t


; VB e j 1  j 0 R C  VA
RC
RC
VA
VA
; VB 

1  j 0 R C
1  j 0 R C
VA
1   0 R C 
2
;


VA
   arctan  0 R C 
 1  j 0 R C 
  arg VB e j   arg 
Vb  t  
VA
1   0 R C 
2
cos 0 t  arctan 0 R C  
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.
Fasori
X  t   X M cos 0 t     X M e j   X
dX  t 
dt
 j 0 X;
d 2 X t 
dt 2
   02 X ...
Ammettenza del condesatore di capacità C: YC =
R
Va
I
1
I
  j 0 C
ZC V
ZC
Va
Vb  Va

R  ZC 1  j0 RC
C
Vb  t  
VA
1   0 R C 
2
cos 0 t  arctan 0 R C 
Funzione di Trasferimento
• Dato un sistema
lineare e tempoinvariante
• F. di Trasf. definita
come il rapporto tra
FASORE della risposta
e della sollecitazione di
ingresso
Vo ( j )
H ( j ) 
VI ( j )
Vo ( j )  H ( j )VI ( j )
Funzione di Trasferimento
•Parametri concentrati
f. di Trasf.
Razionale a coefficienti reali (ai,bi)
Vo ( j ) am  j  ...  a1  j   a0
H ( j ) 

n
VI ( j )
bn  j  ...  b1  j   b0
m
j  s
• Poli e zeri (pi,zi) sono reali o complessi coniugati
( s  z1 )...( s  zm )
H (s)  K
( s  p1 )...( s  pn )
Funzione di Trasferimento
H ( j0 )  H ( j 2 f 0 )
• Consente di calcolare la risposta a regime Su(t) ad
eccitazioni sinusoidali Si(t)
Si  t   AM cos  2 f 0t   
Su  t   AM H  j 2 f 0  cos  2 f 0t    arg H  j 2 f 0  
Funzione di Trasferimento
• …o a una somma finita o numerabile di contributi
sinusoidali
Si  t    Ak cos  2 f k t  k 
k
Su  t    Ak H  j 2 f k  cos  2 f k t  k  arg H  j 2 f k  
k
Funzione di Trasferimento
• …o a una “somma” di infiniti contributi sinusoidali
infinitesimi

Si  t    A  f  cos  2 ft    f
 df
0

Su  t    A  f  H  j 2 f  cos  2 ft    f   arg H  j 2 f  df
0
Diagrammi di Bode
• Un diagramma di Bode è un grafico (semilog)
dall’ampiezza e della fase della funzione di
trasferimento in funzione della frequenza
• L’ampiezza è spesso espressa in decibels (dB)
dB = 20 log10 A
dove A è l’ampiezza o il guadagno
– Una decade è definita come ogni 10-a-1 range di
frequenze (ad es 10-100Hz)
Diagrammi di Bode
Gain
p
Singolo polo: ampiezza
0 dB
H ( j ) 
–20 dB
Una
Una
Decade Decade
ω
1
 j 
 p  1


Ad es.
guadagno
max = 1
Polo a
ω=p(=1/t)
20 log10 


1 se   0

1

H ( j ) 
 1
se   p
2
2

 
1  
  -1
 p
  se  p
 p 


20 log 1  0 se   0



20 log  1  =-10 log 2 3 se   p
2


-1

 
 
20 log   =-20 log   se  p

 p
 p
Diagrammi di Bode
Singolo polo: fase
Fase
Una
Una
Decade
Decade
H ( j ) 
0°
–45°
–90°
Polo a
ω=p(=1/t)
1
 j 
 p  1


Ad es.
guadagno
max = 1
ω
 
arg  H ( j )    arctan  
 p
Vedi RC_ACanalysis.cir
p

0
se



10

 
se   p

 4



se   10 p

2

Diagrammi di Bode
Singolo zero: ampiezza
Gain
+20 dB
0 dB
Una
Una
Decade Decade
 j 
H ( j )  
 1
 z 
Ad es.
guadagno
max = 1
Zero a
ω=z(=1/t)
20 log10

1 se   0
2


 
H ( j )  1      2 se   z
z
 
  se 
z
 z 


20 log 1  0 se   0


20 log 2 =10 log 2 3 se   z

20 log    se  z
 

z
 
Diagrammi di Bode
Singolo zero: fase
Fase
+90°
+45°
0°
ω
 j 
H ( j )  
 1
 z 
Ad es.
guadagno
max = 1
Una
Una
Decade Decade
 
arg  H ( j )   arctan  
 z
z

0
se



10


se   z

4
 
 2 se   10 z
