Lezione 12

Corso di Fisica B – C.S. Chimica
Si consideri un circuito contenente un condensatore C ed un’induttanza L connessi in serie.
L’equazione del circuito può essere ricavata in due modi. Dal punto di vista della legge di Kirchhoff
(delle maglie), la d.d.p. ai capi del condensatore vale VC = q / C mentre la d.d.p. ai capi dell’induttanza
vale VL = - L di / dt. Non essendoci generatori, la legge di Kirchhoff si può scrivere:
di q
d2 q
q
  0 cioè
– VC – VL = 0 cioè  L

 0 Dal punto di vista energetico, invece,
2
dt C
dt
LC
1 2 1 q2
 cost
L’energia totale del circuito è costante e pari a U = UC + UL cioè, sostituendo: U  Li 
2
2
C
di q dq
d 2q q

0L 2 
Derivando tale formula, si ottiene: 0  Li 
esattamente come sopra.
dt C dt
dt
C
Un’equazione di questo tipo è analoga a quella del moto armonico oscillante e può essere scritta come:
d2 q
1
2
e dove  
è chiamata frequenza
2   0 q  0 la cui soluzione è q  Q cos t  
dt
LC
dq
  Q sin t      I sin t   
caratteristica del circuito. La corrente vale invece i 


dt
Derivando e sostituendo, si ottiene per le energie:
1 2 LI 2
q2 Q2
2
U L  Li 
sin t   
UC 

cos 2 t   
2
2
2C 2C
Per cui l’energia totale, che si conserva, si ridistribuisce ogni
periodo nel condensatore e nell’induttanza.
Q2
LI 2
Q 2 LI 2
2
2
U  U L  UC 
cos t    
sin t    

2C
2
2C
2
Lezione n. 12
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2001-02
1
q
Carica, corrente, energia nel circuito LC
i
Q
I
t
t
(a) Condensatore
carico, i=0
completamente
(b)Condensatore in scarica, i aumenta
(c) Condensatore
scarico, i=imax
(d)Condensatore
diminuisce
completamente
in
carica,
i
(e) Condensatore
completamente
carico ma con polarità opposta
rispetto ad (a), i=0
(f) Condensatore in scarica, i aumenta
ma nel verso opposto rispetto a (b)
(g)Condensatore
scarico, i=imax
(h)Condensatore
diminuisce
Lezione n. 12
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2001-02
completamente
in
carica,
2
i
Analogia elettricità - meccanica
Il circuito oscillante LC ha una stretta analogia con l’oscillatore meccanico studiato in
meccanica. L’equazione dell’energia dell’oscillatore meccanico può essere scritta come:
d 2x
1 2 1 2
che derivando si riduce a m 2  kx  0
U  U cin  U m  mv  kx  cost
dt
2
2
la cui soluzione è formalmente analoga a quella vista per la carica nel circuito LC, salvo
una diversa definizione della pulsazione . Anche nell’oscillatore meccanico, pertanto,
avviene l’oscillazione dell’energia tra l’energia potenziale insita nel blocco e l’energia
potenziale della molla.
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3
Oscillazioni smorzate in un circuito RLC
L’inserzione di una resistenza R in serie ad un circuito LC ha come conseguenza che l’energia
elettromagnetica totale non è più costante, poiché vi è una perdita di energia per effetto Joule nella
resistenza stessa. Questo si può vedere osservando in un oscilloscopio la curva della corrente in un
circuito RLC serie. Ricordando che
la potenza dissipata in una
resistenza vale i2R, l’equazione di
conservazione dell’energia può
essere scritta nella forma:
Li
di q dq

 i 2 R
dt C dt
o ancora, dopo qualche passaggio:
d 2q
dq 1
L 2 R
 q0
dt
dt C
la cui soluzione è scrivibile come:
q  Qe
R t
2L
cos ' t   
 R
'    
 2L 
2
2
Tale espressione descrive un moto oscillatorio (cos) smorzato (exp).
L’energia elettromagnetica nel condensatore può essere scritta come:
cioè l’ampiezza delle oscillazioni decresce esponenzialmente
2 R t
2L
q 2 Q 2e
cos 2  ' t   
nel tempo. La frequenza delle oscillazioni smorzate è ’<
UC 

2C
2C
minore di quella del caso senza resistenza.
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4
La corrente alternata
Si consideri una spira rotante con velocità angolare costante
 di sezione A immersa nel campo magnetico B. L’angolo q
tra la direzione del campo magnetico e la normale alla spira
(che è anche la direzione del momento magnetico m) varia
nel tempo come: q =  t per cui il flusso del campo
magnetico attraverso la spira vale:
 B  A B cosq  A B cos t 
Pertanto, la f.e.m. originata dalla variazione temporale del
flusso del campo magnetico è:
E=

i
d B
 A B  sin  t 
dt
Nel caso invece di una spira vi sia una bobina con N spire, la
f.e.m. diventa:
d B
E=
 N
 N A B  sin  t 
dt
E se il circuito è connesso ad un utilizzatore con carico R, la
corrente e la potenza possono essere espresse come:
i
E
E NAB
i 
sin  t 
R
R
E0
I
t
pt   E i  E0 I sin
Lezione n. 12
2
R
E(
p
E0 I
t
 t 
t
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5
Circuito resistivo sotto f.e.m. alternata
La legge di Kirchhoff dice che
E – vR = 0
dove la tensione alternata forzante del circuito vale
E = Em sin gt
il che porta a scrivere ovviamente
vR = Em sin gt
che può essere scritto come
vR = VR sin gt con VR = Em.
La corrente che fluisce nel circuito, per definizione di resistenza, vale:
iR = IR sin gt con VR = IR R
Questa equazione stabilisce che, in un circuito puramente resistivo, la
corrente ha la stessa fase della tensione applicata.
Le grandezze variabili tensione vR e corrente iR possono essere rappresentate
graficamente con il metodo dei fasori (fasore: vettore di fase rotante attorno
all’origine).
L’angolo di rotazione rispetto all’asse x fornisce un’indicazione della fase
(gt). La lunghezza del fasore rappresenta l’ampiezza (VR o IR), mentre la
sua proiezione sull’asse verticale rappresenta il valore della grandezza al
tempo t.
Il fatto che la corrente ha la stessa fase della tensione applicata è intuibile
osservando che i due vettori tensione e corrente sono sovrapposti.
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Circuito capacitivo sotto f.e.m. alternata
La legge di Kirchhoff dice che
E – vC = 0 dove E = Em sin gt
il che porta a scrivere ovviamente
vC = VC sin gt con VC = Em.
La carica sulle armature del condensatore, per definizione di capacità C, è:
qC = C vC = C VC sin gt
La corrente nel circuito è la derivata di qC, cioè:
iC = dqC / dt = g C VC cos gt = VC / XC sin (gt + 90°)
con
XC 
1
gC
ed anche
VC = XC IC
dove XC è chiamata reattanza capacitiva del condensatore.
Si noti che la reattanza capacitiva, grandezza che ha le dimensioni di una
resistenza, dipende non soltanto da C ma anche da .
Questa equazione stabilisce che, in un circuito puramente capacitivo, la
corrente e la tensione sono sfasate di 90°. In particolare, la corrente è in
anticipo di fase di un quarto di periodo.
Questo fatto è visibile osservando che il fasore della corrente è spostato di
90° verso sinistra (in anticipo) rispetto al fasore della tensione.
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7
Circuito induttivo sotto f.e.m. alternata
La legge di Kirchhoff dice che
E – vL = 0 dove E = Em sin gt
il che porta a scrivere ovviamente
vL = VL sin gt con VL = Em.
La tensione ai capi di un’induttanza è data dalla legge di Lenz:
vL  L
diL
dt
E combinando tali equazioni si ottiene:
diL VL
 sin  g t
dt
L

iL   diL 
 VL 
VL

 cos  g t
sin

tdt


g



L
 g L 
Introducendo la reattanza induttiva dell’induttanza:
XL = g L
si ha
VL = XL IL
e la corrente può essere espressa come:
iL = VL / XL sin (g t - 90°)
Si noti che anche la reattanza induttiva ha le dimensioni di una resistenza e
dipende non soltanto da L ma anche da .
Questa equazione stabilisce che, in un circuito puramente induttivo, la
corrente e la tensione sono sfasate di 90°. In particolare, la corrente è in
ritardo di fase di un quarto di periodo.
Questo fatto è visibile osservando che il fasore della corrente è spostato di
90° verso destra (in ritardo) rispetto al fasore della tensione.
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8
Circuito RLC serie sotto f.e.m. alternata
Si consideri ora un circuito RLC serie forzato da una tensione alternata
(sinusoidale) E = Em sin gt. Si ipotizzi che la corrente risultante possa
essere messa nella forma
i = I sin (gt - ) . Osservando i tre fasori, si
nota come i fasori VC e VL giacciano sulla stessa direzione, ortogonale a
quella di VR, per cui, dal punto di vista dei fasori, si ha:
Em2 = VR2 + (VL - VC )2
e, sostituendo i valori delle ampiezze delle d.d.p., si ottiene
cioè: I 
Em
R  X L  X C 
2
2

Em
dove
Z
Z 
R2  X L  X C 
Em2 = (I R)2 + (I XL - I XC )2
è chiamata impedenza.
Per quanto riguarda l’angolo di sfasamento f, osservando i fasori si intuisce che:
tg  
Lezione n. 12
VL  VC X L  X C

VR
R
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9
Sfasamenti e risonanza
A seconda dei valori delle reattanze si hanno alcuni casi particolari.
Se XL > XC il circuito è prevalentemente induttivo  la corrente è in
ritardo di fase rispetto alla tensione
Se XC > XL il circuito è prevalentemente capacitivo  la corrente è
in anticipo di fase rispetto alla tensione
Se XL = XC il circuito è detto in risonanza e =0. In queste
condizioni è come se L e C non ci fossero ed inoltre si ha:
g 
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1
LC
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10
La potenza nei circuiti a corrente alternata
Nota la corrente in un circuito RLC i = I sin (gt - ) , la potenza
istantanea dissipata sulla resistenza può essere calcolata come:
P = i2 R = I2 R sin2 (gt - )
Risulta tuttavia più utile avere un’espressione della potenza media,
cioè integrata mediando nel tempo tale equazione (almeno su un
2
periodo).
I 2R
 I 
2
P
 R
  RI qm
Si ha:
2
 2
dove la grandezza Iqm è definita valore quadratico medio della
corrente.
Allo stesso modo sono definibili i valori quadratici medi delle altre
grandezze, e si ha:
Eqm
Eqm
I qm 

2
Z
R2  X L  X C 
Gli amperometri ed i voltmetri sono in genere tarati per misurare i
valori quadratici medi. Ad esempio, il valore di 220 volt per la
tensione di rete è un valore quadratico medio.
E
R
Inoltre, si può ricavare la seguente relazione: P  qm RI qm  Eqm I qm
 Eqm I qm cos 
Z
Z
La variabile cos  è detta fattore di potenza.
Dal punto di vista dell’utilizzatore del circuito (la resistenza R), la potenza è massima se cos   1
cioè se Z = R (circuito in condizioni di risonanza).
V
IR R

Si noti che cos   R 
Em IZ Z
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I trasformatori
In un circuito puramente resistivo la potenza fornita dal generatore vale
P=VI=EI
e quella dissipata
2
nella resistenza vale (valori q.m.)
P=RI
Si vede come la potenza dissipata vari con il quadrato della corrente. Un circuito efficiente deve quindi trasportare
un segnale elettrico a bassa corrente ed alta tensione.
Gli strumenti che variano a parità di potenza tensione e corrente sono i trasformatori elettrici. Essi non hanno parti
mobili ed operano grazie alla legge dell’induzione di Faraday.
Un trasformatore consiste in due bobine con un diverso numero di spire
Np e Ns (di resistenza trascurabile) avvolte sullo stesso nucleo di Fe.
L’avvolgimento connesso al generatore è detto primario, mentre l’altro,
connesso al circuito utilizzatore, è detto secondario.
Se il tasto S è aperto, i due circuiti sono per ipotesi puramente induttivi,
per cui nel primario la corrente è in ritardo rispetto a Vp di 90°, e cos=1.
V
d B V p
Espira 

 s
dt
N p Ns
All’interno del nucleo di Fe la legge dell’induzione di Faraday prevede
che:
N
e quindi la relazione tra le due d.d.p. vale
Vs 
s
Np
Vp
Se Np > Ns il trasformatore è detto riduttore, mentre se Ns > Np è detto elevatore.
Connettendo il secondario al carico R, nel secondario circola una corrente alternata Is e su R viene dissipata la
potenza Ps = R Is2 La corrente Is induce nel primario una d.d.p. che lo costringe a generare una corrente
alternata Ip per mantenere costante la tensione Vp Essendo Ip Vp = Is Vs si ha che la relazione tra le correnti è:
Vp
2
Np
Ip 
N


2
p
Is 
I p da cui si ottiene
e finalmente R  
 R è quella vista dal primario.
Np 
eq

Ns
R

N s 
 Ns 

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