Geodetiche nella geometria iperbolica
Poincarè e l’infinito di Escher
Geodetiche sul cono
Liceo Scientifico R. Donatelli - prof.ssa Mara Massarucci
Emanuele Giorgi, classe VD
Riccardo Calzoni, Tommaso Campi, Andrea Mattioli, classe VG
Geometria Iperbolica
La geometria iperbolica, anche chiamata geometria della sella o geometria di
Lobachevsky, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato
delle parallele* con il cosiddetto postulato iperbolico, che afferma:
"Data una retta L e qualche punto A
non su L, almeno due rette distinte
esistono che passano per A e sono
parallele a L."
In questo caso parallelo significa che le rette non intersecano
L, anche se non hanno distanza costante da L.
* Nei testi di geometria in uso nelle scuole oggi, il V postulato viene generalmente enunciato nei seguenti termini:
“Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed
una sola retta parallela alla retta r data"
L’inversione
circolare
detta anche trasformazione per raggi vettori reciproci del piano
Consideriamo la circonferenza γ di centro O e raggio r; si
definisce inversione circolare di centro O e di potenza k = r^2,
o equivalentemente inversione circolare relativa a γ, la
trasformazione che associa ad ogni punto P del piano il punto
P' appartenente alla semiretta uscente da O e passante per P
tale che:
OP OP OT k
2
(Il numero k viene detto potenza dell’inversione circolare)
Tale trasformazione è inoltre biunivoca e involutoria: non è
quindi necessario distinguere il piano dei punti P da quello dei
punti P’ (piani sovrapposti).
LE PROPRIETA’
dell’inversione circolare
1) I punti di γ si
trasformano in se
stessi.
2) Le rette
passanti per O si
trasformano in se
stesse.
L’inversione circolare è dunque un’interessante
trasformazione che non trasforma rette in rette!
3) Le rette non
passanti per O si
trasformano in
circonferenze per
O e viceversa.
4) Le
circonferenze non
passanti per O si
trasformano in
circonferenze.
Usando le animazioni con Cabri è visibile che mentre P
descrive una circonferenza con verso antiorario, il punto P’
descrive una circonferenza immagine con verso orario (e
viceversa): l’inversione è una trasformazione che inverte
l’ordinamento su una data curva chiusa
Circonferenze ortogonali
Rette del primo e del secondo tipo
RETTE PARALLELE ED IPERPARALLELE
Nel fascio di rette passanti per P, le rette r ed s
incontrano la retta passante per A e B sul bordo
di γ separano le rette incidenti alla retta AB da
quelle che non si intersecano con quest’ultima.
Le rette r ed s sono così definite parallele alla
retta AB. Tra le rette r ed s sono comprese
infinite rette che non intersecano la retta AB.
Tali rette si definiscono iperparallele alla retta
AB. Possiamo dunque concludere che:
SONO VALIDI TUTTI GLI ASSIOMI DI EUCLIDE
TRANNE QUELLO DELLE PARALLELE!
Il triangolo iperbolico
Nella geometria iperbolica non abbiamo il V postulato, non è quindi affatto scontato che gli angoli di
un triangolo iperbolico si comportino come quelli di un triangolo euclideo.
Spostando l’orizzonte all’infinito si ritorna alla geometria euclidea!
Si può infatti verificare che:
- La somma degli angoli di ogni triangolo è minore
di 180°.
- Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre
angoli, allora sono congruenti.
Osserviamo che, mentre nella geometria euclidea
i criteri di congruenza dei triangoli sono tre (due
angoli e un lato, due lati e l'angolo compreso, tre
lati), in quella iperbolica ce n'è uno in più.
Inoltre, nella geometria iperbolica, non esiste la
similitudine.
LE CONICHE
LE GEODETICHE
NEL PIANO DI POINCARE’
La distanza tra due punti nel piano di Poincarè è così
definita:
La lunghezza iperbolica di un segmento AB gode di alcune proprietà:
•è definita per ogni coppia di punti interni al cerchio.
•è sempre positiva o nulla.
•è nulla se e solo se il punto A coincide con B.
•possiede la proprietà additiva, ovvero se A, B, C appartengono allo
stesso segmento e B sta tra A e C, allora la lunghezza di AB + la
lunghezza di BC = la lunghezza di AC.
•la lunghezza di un segmento AB tende all’infinito se il punto B
tende a Q oppure se il punto A tende a P.
Poincarè e l’infinito di Escher
Grazie alla geometria iperbolica di Poincarè, Escher racchiude e
delimita l’infinito in un cerchio, e chiama la sua opera
“Cerchio limite IV”
Provare a
disegnare le
rette passanti
per altri
punti:
basta
spostare A o
B in altri
punti di
intersezione
delle ali degli
angeli
Circle Limit III is likewise
based on circular arcs, but
in this case, instead of being
orthogonal to the boundary
circle, they meet it at equal
angles of almost precisely
80. (Instead of a straight
line of the hyperbolic
plane, each arc represents
one
of the two branches of an
equidistant curve.")
Da “THE
TRIGONOMETRY OF
ESCHER'S WOODCUT
CIRCLE LIMIT III"
H. S. M. COXETER
Geodetiche sul cono
La via più breve per
andare da B al punto
F, non è l’arco BF sulla
circonferenza di base
del cono ma, come si
vede sullo sviluppo nel
P.V., è il segmento
B'F'.
Muovere il punto P’ ed
osservare la traccia di H sul
cono.
Geodetiche sul cono
Una geodetica chiusa è la
via più breve per partire da
B, circumnavigare il cono e
tornare in B stesso.
Basta osservare il segmento
B'B'', rappresentazione della
stessa linea rossa, sul piano
verticale ,dove è sviluppato
il cono.
