Reti di bipoli - Elettrotecnica

Corso di Elettrotecnica
Allievi aerospaziali
Reti Elettriche – Parte I
Revisione aggiornata al 13-3-2013
(www.elettrotecnica.unina.it)
Oggetto del corso
• Studio delle reti elettriche
- reti in regime stazionario
- reti in regime lentamente variabile ed
in particolare sinusoidale
• Elementi di impianti elettrici
- il trasformatore
- elementi di sicurezza elettrica
Supporti didattici
• Giulio Fabricatore: “Elettrotecnica ed
applicazioni” Liguori Editore
• Appunti integrativi su:
- Trasformatore
- Esercizi numerici
• Slides del corso
Tipologia delle reti elettriche
considerate
Reti di bipoli
Definizione preliminare di
bipolo: Oggetto elettrico
facente capo a due
morsetti terminali A e B,
che sono attraversati
dalla corrente i e a cui è
applicata la tensione v. Si
considera il
funzionamento dei singoli
bipoli “a scatola chiusa”,
partendo dalle relazioni
tra v ed i.
Richiami preliminari
Corrente elettrica, tensione
elettrica e forza elettromotrice
La corrente elettrica
(di conduzione)
Δq carica netta che,
nell’intervallo di tempo Δt,
transita nel verso diretto
dalla sez. A alla sez. B
attraverso la sez. S.
q  q  q  q  q 

i  lim t o
q
t


Vettore densità di corrente
(di conduzione)
Il vettore densità di
corrente di conduzione
da A verso B attraverso la
superficie S è definito da:
i   G  ndS
S
Corrente elettrica in un conduttore
filiforme
Definizione di Ampére.
In 2 conduttori filiformi,
rettilinei, paralleli e
indefiniti posti in aria
circola la corrente di un
A, se tra di essi si
esercita una forza pari a
2·10-7 N per metro di
lunghezza.
Misura della corrente
(amperometro ideale)
L’amperometro ha 2
morsetti,uno + ed uno Misura della corrente da
A verso B.
Misura della corrente da
B verso A.
Diversi tipi di corrente
 
F  Ke

F
K
Corrente nei conduttori
metallici, costituita da un
flusso di elettroni
(e=-1.6·10-19 coulomb)
(1 coulomb=1 A * 1 sec)
Corrente nei conduttori
elettrolitici costituiti da un
flusso di ioni positivi e
negativi
La corrente nei semiconduttori
Struttura cristallina del
silicio
Conduzione di tipo p
(positiva) costituita da un
flusso di “buchi”
La corrente di spostamento
La corrente di spostamento jS attraverso una
superficie S invariata nel tempo ed immersa in
un mezzo lineare di costante dielettrica ε è data
da:
( K )
jS  
 ndS
t
S
La quantità  ( K ) rappresenta il vettore
t
densità di corrente di spostamento
Un esempio di corrente di
spostamento
v

S
La corrente totale
La somma della corrente di conduzione i e della
corrente di spostamento jS:
itot=i+jS
è detta corrente totale. Il corrispondente vettore densità
è solenoidale:
 ( K )
 [G  t ]  nd  0
Pertanto la somma delle correnti di conduzione i e di
spostamento jS uscenti dalla (o entranti nella) superficie
chiusa Σ è nulla.
La tensione elettrica
Data una linea ϒ di estremi A e B si dice tensione da A
a B lungo ϒ, la quantità
B
TAB  ( ) K  tdl

A
che rappresenta il lavoro compiuto dal campo elettrico K
per spostare l’unità di carica positiva da A a B lungo ϒ.
L’unità di misura della tensione è il volt [V]. 1 volt=1
joule/coulomb. (1 coulomb =1 ampére·secondo). Se il
campo elettrico è conservativo la tensione è
%
La tensione elettrica
indipendente da γ. Il
campo elettrico è dotato
di potenziale:
K  V

'
TAB  TA ' B  V ( A)  V ( B)
La d.d.p. tra A e B può
essere formalmente
indicata come
V ( A)  V ( B)  VAB
AB
AB
Misura della tensione elettrica
(voltmetro ideale)
Il voltmetro ha 2
morsetti,uno + ed uno Misura della d.d.p. VAB
Misura della d.d.p. VBA
Forza elettromotrice
Si dice forza elettromotrice (f.e.m.) agente lungo una
linea chiusa orientata γ la quantità scalare algebrica:
e   K  tdl

Essa è diversa da zero solo se K non è conservativo
sulla linea γ o almeno su di una sua parte e quindi se γ
è immersa in tutto o in parte in una regione dello spazio
R sede di fenomeni fisici di trasformazione d’energia.

L’esempio della pila
(funzionamento a vuoto)
Sia KT la forza totale
agente sull’unità di carica.
e   K T  tdl

KT  Ke  Ki
dove K e è il campo
elettrostatico creato dalla
distribuzione di cariche
sugli elettrodi e K i è il
campo di natura
2
  1   2
 1 da A a B
 2 da B ad A
%
L’esempio della pila
(funzionamento a vuoto)
elettrochimica presente
solo all’interno della
soluz. elettrolitica,dove:
KT  K e  Ki  0
Nell’aria si ha:
K i  0  KT  K e
2
e   K e  tdl   K i  tdl

e (

0
2
)
e  VAB

A
A
B
B
K
i  tdl  ( 2 )  K e  tdl  [V ( B )  V ( A)]  VAB

F.e.m derivante dall’induzione
elettromagnetica
Solenoidalità del vettore
induzione magnetica B
 B  ndS  0
S  S1  S2
S
 B  ndS  
S1
B  n1dS   B  n 2 dS  0
S2
S

S1
B  n1dS   B  n 2 dS
S2
F.e.m derivante dall’induzione
elettromagnetica
Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ
Per la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali
di superficie estesi a S1 e S2 sono indipendenti dalla superficie
purché questa sia orlata da γ.
Dati il vettore induzione magnetica B ed una linea chiusa
orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato
con γ la quantità:
   B  ndS
S

in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la normale n
Sγ è orientata in maniera congruente all’orientazione di γ.
a
F.e.m derivante dall’induzione
elettromagnetica
Flusso concatenato con una linea chiusa
orientata γ
Congruenza del verso della normale alla superficie S
rispetto a quello della linea γ
F.e.m derivante dall’induzione
elettromagnetica
Legge di Faraday
Per effetto della variabilità nel tempo dell’induzione
magnetica, nella linea chiusa orientata γ insorge una
f.e.m. data da:
d
e
dt
in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è
calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è
definita la f.e.m e.
Definizione di bipolo
Si definisce bipolo un
oggetto elettrico
racchiuso da una
superficie S, da cui
fuoriescano due
morsetti A e B; S sia
scelta in maniera tale
che: 1) iA=iB; 2) K sia
conservativo su S e
nelle sue immediate
vicinanze; 3) vi sia
assenza di forze di
natura non elettrica. Il
regime di funzionam. è
stazionario o
lentamente variabile
( K )
S [G  t ]  ndS  0
se
 ( K )
0 
t
 G  ndS  0 
S
iA  iB
B
0 
t
d
e   K   dl     0 

dt
se
TAB  VAB
Esempi di bipoli
A
S
B
Indut tan za
di
vL
dt
Pila ideale
ve
Esempi di bipoli: la capacità
i
A
v

S
B
Convenzioni dei segni in un bipolo
Potenza assorbita da un conduttore
Convenz. utilizzatore
K dF
Il lavoro dL secondo la
direzione della forza per
spostare la carica positiva
dq da A a B (lavoro
assorbito) è:
B
dF  dq K  (idt ) K
B
dL  (idt )  K   dl  vidt
A
pass
dL

 vi
dt
dL   dF   dl
A
La potenza corrispond. è
pass=vi: tale espressione
è esatta in regime staz.
ed approssim. in regime
lentamente variab.
Tale potenza è erogata dal resto della rete a monte del
conduttore e trasferita a questo che la assorbe. Se si
considera il lavoro elementare dL da B ad A,si ha:
dL=-vidt
e p=-vi
questa potenza,derivante da un lavoro secondo una
direzione opposta alla forza, si dice erogata dal
conduttore.
Se si considera un qualsiasi bipolo e si adopera la
convenzione dell’utilizzatore si può dimostrare che
continuano a valere le precedenti relazioni:
Passorbita=vi
Perogata=-vi
Se v·i>0 si può dimostrare che una potenza positiva
entra nella superficie limite del bipolo utilizzatore.
Potenza erogata o assorbita da un
bipolo (convenzione del
generatore)
Perogata=-vi=vi’
Passorbita=vi=-vi’
Potenza assorbita o erogata da un
bipolo
Convenzione
dell’utilizzatore
p assorbita =vi
p erogata =-vi
Convenzione del
generatore
p erogata =vi
p assorbita =-vi
Misura della potenza
La misura della potenza
assorbita (o erogata) da
un bipolo si fa con il
wattmetro, che presenta
2 coppie di morsetti: una
coppia amperometrica
attraversata da i ed una
voltmetrica, cui è
applicata v. Ciascuna
coppia ha un morsetto +.
I principio di Kirchhoff (Legge di
Kirchhoff delle correnti -LKC)
i4
Per la definizione di
bipolo:
 G  ndS  0
S
i1  i2  i3  i4  0
i3
i1
In generale:
m
 i
k
0
1
m numero lati confluenti
nel nodo
i2
II principio di Kirchhoff (Legge di
Kirchhoff delle tensioni -LKT)
v1
Per la definizione di
bipolo:
 K  dl  0
 K  dl        


B
C
D
A

A
B
C

 v4
v2
D
 v1  v2  v3  v4  0
In generale:
m
  vk  0
1
m è il numero di lati della
maglia
v3
Reti in regime stazionario
Analisi delle reti
Caratteristica statica di un bipolo
Si dice caratteristica
statica di un bipolo la
relazione:
V=f(I))
che lega la tensione V
applicata ai morsetti A e
B alla corrente I che lo
attraversa in regime
stazionario.
Due bipoli si dicono
equivalenti se hanno la
stessa caratteristica
Dipendenza della caratteristica
dalle convenz. dei segni di V ed I
%
Dipendenza della caratteristica
dalle convenz. dei segni di V ed I
Classificazione dei bipoli: bipoli
lineari e non lineari
Si dice lineare un bipolo la
cui caratteristica è
lineare.
Si dice non lineare nel
caso contrario
Classificazione dei bipoli:bipoli
inerti e bipoli non inerti
Si dice inerte un bipolo la
cui caratteristica la
caratteristica passa per
l’origine degli assi.
Si dice non inerte nel
caso contrario
Classificazione dei bipoli:
bipoli passivi
Si dice passivo un bipolo
per il quale la potenza
assorbita è maggiore o
eguale a zero. Esso
funziona sempre da
utilizzatore.
pass  vi
V·I≥0
Classificazione dei bipoli:
bipoli attivi
Si dice attivo un bipolo
non passivo. In alcune
regioni del piano V,I esso
funziona da generatore in
altre da utilizzatore.
V·I>0
V·I≤O
V·I≥0
Convenzione utilizzatore
Una rete elementare
I1
I2
V1
V2
V1  f1 ( I1 )
V2  f 2 ( I 2 )
V1 V2  0
V1  V2  V
I1  I 2  0
I1  I 2  I
f1 ( I )  f 2 ( I )  V
Bipoli lineari ideali
Bipolo Resistenza
V  RI
oppure
I  GV
1
(G  )
R
V  RI
oppure
I  GV
G
Potenza assorbita dal bipolo
Resistenza
Convenzione utilizzatore
Pass=V∙I=(R∙I)∙I=R∙I2;
Pass= V2/R=G V2.
Convenzione generatore
Pass=-V∙I=-(-R∙I)∙I=R∙I2;
Pass= V2/R=G V2.
Una diversa caratterizzazione
del bipolo resistenza
Vn, Pn
Vn2
R
Pn
10 V, 20 W
R5 
500 V, 50 kW
R5
Equivalenza di bipoli
• Due bipoli si dicono equivalenti se hanno
la stessa caratteristica statica
Corrente nei conduttori metallici
e=-1.6·10-19 coulomb
V=RI
Resistenza reale di un
conduttore
La resistenza di un conduttore cilindrico di sezione S e
lunghezza l è dato da:
R
l
S
dove ρ è la resistività variabile con la temperatura T:
ρ= ρ0(1+αT)
ρ0 resistività a 0 0C
Generatore ideale di tensione
V=E
Generatore ideale di corrente
I=J
Corto circuito ideale
V=0
Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo R=0 o
dal bipolo generatore ideale di tensione ponendo E=0
Aperto ideale
I=0
Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo G=0 o
dal bipolo generatore ideale di corrente ponendo J=0
Serie e parallelo di bipoli
V1
Vn
V2
I1
In
I1  I 2  .....I n  I
I2
A
V
B
n
V   Vk
1
A
I
I1
V
V1
I2
V2
In
Vn
V1  V2  .....Vn  V
n
I   Ik
1
B
Resistenze in serie
V
n

V   Vk
Vk  R k I
1
n
V  I  Rk  Req I
1
V
n
Req   Rk
1
Resistenze in parallelo
n
V
Ik 
 GkV
Rk
I   Ik
1
n
I  V  Gk  GeqV
1
V  Req I
Req 
1

Geq
1
n
G
1

Req 
R1 R2
1
R


Se n=2
eq
1
1
R1  R2

R1 R2
Se
R1  R2  R
1
n
 1R
1
k
Req 
R
2
k
Generatori ideali di tensione in
serie e in parallelo
n
E   E k  E eq
1
E=E1=E2
I=I1+I2
Equivalenza di bipoli
V  V1  V2
I1
I1  I 2  I

V2
V1
V1  RI
I2
I2  0
V  RI
V2  0

Equivalenza di bipoli
V1

V2
V1  V2  V  0
I1  I
I2  0

Equivalenza di bipoli

V=E

I=J
Bipolo di Thévenin
RT
LKT
VR
E  VR  V  0
VR  RT I
Caratteristica statica
V  E  RT I
E
RT
I cc
I cc  E / RT
Bipolo di Norton
IR
LKC
J  IR  I  0
RN
dove
I R  V / RN
J
V
I 0
RN
Caratteristica statica
V  RN ( J  I )
RN
J
Equivalenza del bipolo di Norton
al bipolo di Thévenin
Norton
Thévenin
E
RN
RT
J
I cc
Il bipolo di Norton è equivalente al bipolo di Thévenin se:
R N  RT
J  I cc
Generatore reale di tensione
Pila reale sotto carico
Circuito equivalente
B
A
Ri
Generatore reale di tensione
Ri
Iu
Vu
A
Ru
Ri I u
E
Vu
Ru
O
Vu  E  Ri I u
Vu  Ru I u
P
Iu
E
Iu 
Ru  Ri
Ri
B
I cc
Vu  E
Ru
Ru  Ri
Potenza utile erogata dal
generatore reale di tensione
Pu
Potenza utile
Pu  Vu I u  Ru I u2 
E2
 Ru
( Ru  Ri ) 2
1
EI cc
4
Il massimo di Pu al
variare di Ru si ha se:
Pu
0
Ru

Ru  Ri
1
Ru / Ri
Bilancio delle potenze e
rendimento
LKT
Ri
E  Vu  Ri I u  ( Ru  Ri ) I u
Iu
Vu
Ru
EI u  Vu I u  Ri I u2



Pc
Pu
PJ

Pc  ( Ru  Ri ) I u2
Pu  Ru I u2
Pu
Ru


Pc Ru  Ri
Ru / Ri
Caduta di tensione nel
generatore reale di tensione
Caduta di tensione
Ri
Iu
V  E  Vu  Ri I u 
Vu
Ri
E
Ru  Ri
V % 
Ri
V
100 
100
E
Ru  Ri
Ru
V %
Ru / Ri
Parallelo di generatori reali di
tensione
E1  V1  V2  E2  0
V1  Ri1 I c
E1  E2
Ic 
Ri1  Ri 2
Ic=0 se E1=E2
V2  Ri 2 I c
Una particolarizzazione della
LKT
LKT per una generica
maglia a m lati
m
 ()V
k
0
dove
1
Vk  Ek  Rk I k
Generico lato k-esimo
Ik
Rk
Ek
Vk
m
 ()( E
k
 Rk I k )  0
1
m
 () E
1
m
k
  (  ) Rk I k
1
Un esempio
I1
E1
R1
R2
R4
E1  E2  R1 I1  R2 I 2  R3 I 3  R4 I 4
E2
I4
I3
I2
R3
Formule del partitore di tensione
Ripartizione della
tensione V applicata a 2
resistenze in serie
V1  R1 I
V2  R2 I
V
I
R1  R2
V1  V
V2  V
R1
R1  R2
R2
R1  R2
Formule del partitore di corrente
Ripartizione della corrente
I tra due resistenze in
parallelo
V
I1 
R1
I2 
V
R2
R1 R2
V  ( R1 // R2 ) I  I
R1  R2
I1  I
R2
R1  R2
I2  I
R1
R1  R2
Trasformazioni triangolo-stella e
stella-triangolo
Equivalenza di tripoli di
resistenze
Condizioni di equivalenza tra
tripoli di resistenze
R AB ( RBC  R AC )
J
 J ( R A  RB )
R AB  RBC  R AC
Condizioni di equivalenza tra
tripoli di resistenze
J
RBC ( R AB  R AC )
 J ( RB  RC )
R AB  RBC  R AC
Condizioni di equivalenza tra
tripoli di resistenze
R AC ( R AB  RBC )
J
 J ( R A  RC )
R AB  RBC  R AC
Equazioni delle trasformazioni
triangolo-stella e stella-triangolo
Eliminando J dalle equazioni precedenti si ottiene il
sistema:
R AB ( RBC  R AC )
 R A  RB
R AB  RBC  R AC
RBC ( R AB  R AC )
 RB  RC
R AB  RBC  R AC
R AC ( R AB  RBC )
 R A  RC
R AB  RBC  R AC
Equazioni delle trasformazioni
triangolo-stella e stella-triangolo
Trasformazione triangolo-stella
R AB RBC
RB 
R0
R AB R AC
RA 
R0
RBC R AC
RC 
R0
dove
R0  R AB  RBC  R AC
Trasformazione stella-triangolo
R AB  R A RB G0
G0 
1
1
1


R A RB RC
RBC  RB RC G0
R AC  R A RC G0
dove
Un caso particolare
R  3RY
R
Ry 
3
R A  RB  RC  RY
R AB
3
R
 3RY
RY
2
Y
R AB  R A RB G0  R G0
2
Y
RBC  R AC  R AB  R
G0 
1
1
1
3



R A R B RC RY
Analisi di una rete elettrica
LKT per le maglie 1, 2, 3
1)
E1  R1 I1  R3 I 3
2)
E2  R2 I 2  R3 I 3
3)
E1  E2  R1 I1  R2 I 2
LKC per il nodo A (o B)
I1  I 2  I 3  0
Analisi di una rete elettrica, grafo, albero e
coalbero
Data una generica rete elettrica di bipoli lineari costituita da l lati e
n nodi:
Si dice grafo l’insieme costituito da tutti i lati e nodi della rete.
Si dice albero il sottoinsieme del grafo costituito da tutti i nodi e
da n-1 lati che congiungono tali nodi senza formare maglie
chiuse.
Il coalbero è l’insieme complementare dell’albero. Esso è
costituito da l- (n-1) lati
Esempi di grafi, alberi e coalberi
l=3
n=2
Esempi di grafi, alberi e coalberi
l=10
n=6
Analisi di reti resistive con
sorgenti di tensione
Data la generica rete, con l lati ed n nodi:
il calcolo delle correnti si effettua risolvendo il sistema
di l eq. lineari nelle n incognite Ik costituito da:
m
l-(n-1) LKT
 () E
LKC
k
  (  ) Rk I k
1
1
m
n-1
m
 I
1
k
0
Un esempio numerico
R1  R2  R3  20 
E1=30 V
Sistema risolvente
Forma matriciale
20 I 1  20 I 3  30
20 0 20   I 1  30
 0 20 20   I   60

 2   
 1 1  1  I 3   0 
20 I 2  20 I 3  60
I1  I 2  I 3  0
E2=60 V
Risultato
I1=0
I2=1,5 A
I3=1,5 A
Una rete con sorgenti di
tensione e di corrente
R1  R2  R3  20 
E1=30 V
J=2 A
I3  J
R1 I1  R2 I 2  E1
I1  I 2   J
20I1  20I 2  30
I1  I 2  2
 R1
1

R2   I1   E1 
 



 1  I 2   J 
I1=-0,25 A
 I 1   R1
I    1
 2 
I2=1,75 A
1
R2   E1 
 1  J 
Analisi di reti con sorgenti di
tensione e di corrente
Data la generica rete, con sorgenti di tensione e di
corrente, con n nodi ed l lati (l è definito non
considerando i lati contenenti i generatori di corrente in
cui la corrente è nota), il calcolo delle l correnti incognite
Ik si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari,
linearmente indipendenti costituito da:
m
l-(n-1) LKT
n-1
LKC
 () E
m
k
  (  ) Rk I k
1
1
m
r
 () I
1
k
  ( ) J k
1
Sovrapposizione degli effetti
 R1
1

R2   I1   E1 
 



 1  I 2   J 
A( 22) I ( 21)  H ( 21)
H   
E1   E1   0 
       H '  H "

 J   0   J 
I   A1 H   A1 H '  A1 H "  I '  I "
 I '1   R1
I '    1
 2 
1
R2   E1 
 1  0 
 I "1   R1
I "    1
 2 
1
R2   0 
 1  J 
I3  J
Sovrapposizione degli effetti, un
esempio numerico
R1  R2  R3  20 
I1=I’1+I”1=-0,25 A
E1=30 V
J=2 A
I2=I’2+I”2=1,75 A
I3=I’3+I”3=2 A
I '1  I ' 2 
E1
 0,75
R1  R2
I '3  0
R2
I "1   J
 1
R1  R2
I "3  J  2
I "2  J
R1
1
R1  R2
%
Le potenze in gioco
Potenza erogata da E1:
Pe1=E1 I1=-7,5 W
Potenza erogata da J:
PeJ=VJJ=150 W
Potenze assorbite dalle
resistenze:
PR1=R1I12=1,25 W
PR2=R2I22=61,25 W
PR3=R2I32=80 W
Prtot=142,5 W
V j  R3 I 3  R2 I 2
VJ=75 V
Sovrapposizione degli effetti, un
esempio numerico
R1  R2  R3  20 
E1=30 V
E2=60 V
Req=R1+R2//R3=30 Ω
E
I '1  1
Req
I’1= 1 A
R3
I ' 2   I '1
 0,5 A
R2  R3
I '3  I '1
R2
 0,5 A
R2  R3
%
Sovrapposizione degli effetti, un
esempio numerico
Req=R2+R1//R3=30 Ω
I "2 
E2
2
Req
I1=I’1+I”1=0
R2
I "3  I "2
1
R2  R3
I2=I’2+I”2=1,5 A
Pe2=60x1,5=90 W
I "1   I "2
R3
 1
R2  R3
I3=I’3+I”3=1,5 A
PRtot=20x1,52+20x1,52=90 W
Non applicabilità della sovrapposizione
degli effetti al calcolo delle potenze
Posto:
Pk'  Rk I k' 2
Pk"  Rk I k"2
la potenza Pk assorbita dalla resistenza Rk non è pari
alla somma di P’k e P”k; infatti:
Pk  Rk I k2  Rk ( I k'  I k" ) 2  Pk'  Pk"  2 Rk I k' I k"
Principio di conservazione delle
potenze elettriche
Ipotesi: La stessa
convenzione dei segni su
tutti gli l lati della rete.
Siano P1,.. Pi,…Pn gli n
nodi della rete
l
Tesi  Vk I k  0
Generico bipolo costituente il
k-esimo lato della rete
1
l
U ( P"
1
l
k
) I k   U ( P' k ) I k  0
1
Somma parziale relativa
al nodo Pi
U Pi ( I i1  I i 2  ....  I ih  ....I il' )  0
i
Vk  U ( P"k )  U ( P' k )
Una formulaz. del principio di
conservazione nelle reti lineari
P P P
Ei
i
Ji
i
Ri
i
0
PRi   R I
2
i i
2
P

P

R
I
 Ei  Ji  i i
i
i
La somma delle potenze erogate dai generatori
di tensione e di corrente è eguale alla somma
delle potenze assorbite dalle resistenze
i
Un corollario dei principi di
Kirchhoff
Ipotesi Nel generico
nodo P’ confluiscono solo
bipoli passivi
Tesi Tra i nodi contigui
esiste almeno un nodo P”
a potenziale U≥U(P’) e
almeno uno a potenziale
U≤U(P’).
Da questo corollario
scaturisce il principio di
non amplificazione delle
tensioni.
Vk I k  0
4
I
k
0
1
Se I1, I2>0 si ha V1,V2≥0 e
U(P”1)≤U(P’) e U(P”2)≤U(P’)
Se I3, I4<0 si ha V3,V4 ≤ 0 e
U(P”3) ≥ U(P’) e U(P”4) ≥ U(P’)
Principio di non amplificazione
delle tensioni
Tale principio prevede che ai capi dell’unico lato attivo di
una rete in regime stazionario, in cui vi siano tutti lati
passivi tranne uno, è applicata la tensione massima.
Si consideri infatti l’insieme di n elementi costituito dai
potenziali degli n nodi della rete. Per il precedente
corollario il potenziale dei nodi in cui confluiscono solo
lati passivi non può essere né il massimo né il minimo di
tale insieme. Conseguentemente i potenziali massimo e
minimo devono essere relativi ai nodi posti agli estremi
dell’unico lato attivo.
Analisi di reti con sorgenti di
tensione e di corrente
Data la generica rete con n nodi ed l lati il calcolo delle
l correnti incognite Ik si effettua risolvendo il sistema di l
eq. lineari, linearmente indipendenti costituito da:
m
m
l-(n-1) LKT  () E k   () Rk I k
1
1
m
n-1
LKC
 I
r
k
   J k
1
1
A(ll ) I (l1)  H (l1)
Vk  Ek  Rk I k A'(ll ) V (l1)  H '(l1)
Rk
Ek
Vk
Ik
Metodo dei potenziali nodali
Rk
Tk
Ik
Ek
Vk  U Sk  U Tk
Vk  Ek  Rk I k
I k  ( Ek  U Sk  U Tk )Gk
G k  1 / Rk
Sk
Sostituendo le correnti
nelle n-1 LKC:
m
 I
1
r
k
   J k
1
si ha il sistema di n-1 eq.
nelle n incognite Upk:
m
  (E
1
r
k
 U Sk  U Tk )Gk    J k
1
Se poniamo eguale a
zero il potenziale di uno
degli n nodi, si ottiene:
A"( n1)( n1) U ( n1)1  H "( n1)1
Metodo dei potenziali nodali, la
formula di Millmann
La LKC
fornisce
n
I
i
0
1
dove:
I i  ( Ei  U A )Gi
1
Gi 
Ri
n
n
 E i Gi   U A Gi
1
n
1
U A  VAB 
EG
i
i
1
n
G
i
1
UB  0
Formula di Millmann: un
esempio numerico
R1  R2  R3  20 
E1=30 V
E2=60 V
G1=G2=G3=G=0,05 Ω-1
UB  0
3
UA 
E G
1
1
3
G
1
i
i

E1G  E 2 G
 30 V
3G
I1=(E1-UA)G1=0
I2=(E2-UA)G2=1,5 A
I3=(-UA)G3=-1,5 A
Teorema di Thévenin: enunciato
Se s’isola un lato AB di
una rete lineare, il bipolo
a monte dei morsetti A,B
è equivalente ad un
bipolo di Thévenin, in cui
V0 è la tensione a vuoto
tra A e B e Req è la
resistenza equivalente
dello stesso bipolo reso
passivo.
Req
V0
Teorema di Thévenin:
dimostrazione




V "   Req I "
%
Teorema di Thévenin:
dimostrazione
V  V 'V "  V0  Req I "
I  I 'I "  0  I "
V  V0  Req I
Req
V0
Teorema di Thévenin: una
conseguenza

V0
I
R  Req
R
V  V0
R  Req
Un esempio numerico
R1  R2  R3  20 
E1=30 V
I3 
I
E2  E1
 0,75
R1  R2
A
E2=60 V
V0
45

 1,5 A
R3  Req 20  10
V0  E2  R2 I  45 V
Req=R1//R2=10 Ω
Teorema di Norton: enunciato
Se s’isola un lato AB di
una rete lineare, il bipolo
a monte dei morsetti A,B
è equivalente ad un
bipolo di Norton, in cui Icc
è la corrente di corto
circuito tra A e B e Req è
la resistenza equivalente
dello stesso bipolo reso
passivo.
Req
Teorema di Norton:
dimostrazione
Caratteristica comune ai bipoli
di Thévenin e Norton
Req
V0
Teorema di Norton: una
conseguenza

I  I cc
Req
R  Req
V  I cc
Req R
R  Req
Un esempio numerico
R1  R2  R3  20 
E1=30 V
I 3  I cc
Icc=E1/R1+E2/R2=4,5 A
Req
R  Req
E2=60 V
 4,5
10
 1,5 A
20  10
Req=R1//R2=10 Ω