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I numeri complessi
La forma algebrica
L’unità immaginaria e i numeri immaginari
Si chiama unità immaginaria il numero che si indica con il simbolo i e che è caratterizzato dalla
relazione
i 2 = -1
Un numero immaginario è il prodotto di un numero reale per l’unità immaginaria.
1
- i
3
- 2i
sono esempi di numeri immaginari
1
I numeri complessi
La forma algebrica
Le proprietà dell’unità immaginaria
( )
-i
2
= -1
Infatti
( ) ( )( )
-i
2
= -i × -i = +i 2 = -1
1× i = i ×1= i
0×i = i ×0 = 0
i 0 =1
Le potenze dell’unità immaginaria sono cicliche di periodo 4, infatti:
i1=i
i 5 = i 4 ×i = i
i 2 = -1
i 3 = i 2 × i = -i
i 6 = i 4 × i 2 = -1 i 7 = i 4 × i 3 = -i
i 4 = i 2 × i 2 = +1
i 8 = i 4 × i 4 = +1
etc...
2
I numeri complessi
Le operazioni con i numeri immaginari
Nel calcolo, il numero i si tratta come una qualsiasi altra lettera e si applicano ad esso le regole del
calcolo algebrico.
ai + bi = (a + b ) i
ai × bi = abi 2 = -ab
ai a
ai
:
bi
=
( ) ( ) bi = b
con a , b Î R
3
I numeri complessi
Le operazioni con i numeri immaginari
ESEMPI
7
1
4i - i = i
2
2
(3i ) × (2i ) = -6
æ3
ç i
è7
(9i ) : (-3i ) = -3
( )
4 : 2i =
ö
÷ × 7 = 3i
ø
4
4i
4i
=
=
= -2i
2i 2i × i -2
Proprietà
invariantiva
della divisione
4
I numeri complessi
I numeri complessi
Si chiama numero complesso la somma di un numero reale con un numero immaginario; un numero
complesso assume quindi la forma
a + bi
con
a,b Î R
a è la parte reale bi è la parte immaginaria
L’insieme dei numeri complessi si indica con la lettera C
2 + 3i ,
4
- 2i
3
sono esempi di numeri complessi
se
a =0 Ù b ¹0
otteniamo un numero immaginario
se
a ¹0 Ù b =0
otteniamo un numero reale
Þ R ÌC
5
I numeri complessi
I numeri complessi

Due numeri complessi sono uguali se hanno uguale sia la parte reale che quella immaginaria

Due numeri complessi sono coniugati se hanno la stessa parte reale e parti immaginarie opposte
ESEMPIO
Numeri complessi coniugati:
5
3- i
2
e
5
3+ i
2
6
I numeri complessi
Le operazioni con i numeri complessi
Introduciamo ora le operazioni tra numeri complessi che godono delle stesse proprietà
formali di cui godono quelle definite in R.

Addizione e sottrazione:
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d ) i
(a + bi ) - (c - di ) = (a - c ) + (b - d ) i
ESEMPIO
æ1
ö æ1
ö æ 1 1ö
1
ç + 3i ÷ - ç - 6i ÷ = ç - ÷ + 3 - (-6) i = + 9i
6
è2
ø è3
ø è 2 3ø
(
)
7
I numeri complessi

Le operazioni con i numeri complessi
Moltiplicazione:
(
)(
)
(
) (
)
a + bi × c + di = ac + bci + adi + bdi 2 = ac - bd + bc + ad i
ESEMPIO
(3 + 4i ) (2 - 3i ) = 6 - 9i + 8i -12i
2
= 6 - 9i + 8i +12 = 18 - i
8
I numeri complessi

Le operazioni con i numeri complessi
Divisione: si esegue moltiplicando dividendo e divisore per il complesso coniugato del divisore:
a + bi (a + bi ) (c - di ) (a + bi ) (c - di )
=
=
c + di (c + di ) (c - di )
c 2 +d 2
ESEMPIO
1- i 2 - 3i 2 - 3i - 2i + 3i 2 -5i -1
1 5
1- i : 2 + 3i =
×
=
=
=- - i
2 + 3i 2 - 3i
4+9
13
13 13
(
)(
)
9
I numeri complessi
Un numero complesso
La rappresentazione grafica dei numeri complessi: il piano di Gauss
z = a + ib
si può rappresentare
graficamente nel piano di Gauss riportando la parte reale a sull’asse
delle ascisse (asse reale) e il coefficiente b della parte immaginaria
sull’asse delle ordinate (asse immaginario). Ad ogni numero
complesso z si può quindi associare un punto P di coordinate (a, b)
o anche un vettore
di componenti (a,
b).
Alla somma e alla differenza di due numeri complessi è associata la somma e la differenza dei due
vettori ad essi corrispondenti.
10
I numeri complessi
Ad ogni numero complesso
La forma trigonometrica
z = a + ib si può associare la forma trigonometrica:
z = r (cos J + i sinJ )
con
0 £ J £ 2p
Dove ρ rappresenta il modulo e ϑ è l’argomento o anomalia.
Per passare dalla forma algebrica a quella trigonometrica possiamo utilizzare le relazioni:
r = a2 + b2
(per il teorema di Pitagora)
b
b
sinJ = =
r
a2 + b2
a
a
cos J = =
r
a2 + b2
tanJ =
b
a
(per i teoremi di
trigonometria
sui
triangoli rettangoli)
11
I numeri complessi
La rappresentazione grafica dei numeri complessi: il piano di Gauss
ESEMPIO
Dato il numero complesso
z = 3 +i
si ha che:
r = 3 +1 = 2
1
sinJ =
2
3
cos J =
2
La sua forma trigonometrica è quindi
Þ
J=
p
6



z  2 cos  i sin 
6
6

12
I numeri complessi
La rappresentazione grafica dei numeri complessi: il piano di Gauss
Viceversa se il numero complesso è dato in forma trigonometrica, basta calcolare i valori di sinϑ e
cosϑ ed eseguire le operazioni indicate per ottenere la forma algebrica.
ESEMPIO
Il numero complesso z la cui forma trigonometrica è
æ
p
pö
z = 2 ç cos + i sin ÷
6
6ø
è
ha forma algebrica
æ 3
1ö
2 çç
+ i ÷÷ = 3 + i
2ø
è 2
13
I numeri complessi
Le operazioni con la forma trigonometrica dei numeri complessi
Le operazioni di moltiplicazione, divisione e potenza si possono eseguire in modo semplice mediante la
forma trigonometrica.
Moltiplicazione
Dati due numeri complessi
(
)
(
z1 = r1 cosJ1 + i sinJ1 e z 2 = r2 cosJ 2 + sinJ 2
)
z1 × z 2 = r1 × r2 éëcos (J1 + J 2 ) + i + sin (J1 + J 2 )ùû
Cioè
il prodotto di due numeri complessi ha per modulo il prodotto dei moduli dei due numeri dati e per
argomento la somma degli argomenti.
14
I numeri complessi
Le operazioni con la forma trigonometrica dei numeri complessi
ESEMPIO



z1  2 cos  i sin 
4
4

1


z2   cos  i sin 
4
3
3
æp p ö
æ p p öù
1é
z1 × z 2 = 2 × êcos ç + ÷ + i sin ç + ÷ú =
4ë
è4 3ø
è 4 3 øû
1æ
7
7 ö
ç cos p + i sin p ÷
2è
12
12 ø
15
I numeri complessi
Le operazioni con la forma trigonometrica dei numeri complessi
Divisione
z1 r1 é
= ëcos (J 1 - J 2 ) + i sin (J 1 - J 2 )ùû
z 2 r2
Cioè
il quoziente di due numeri complessi è il numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli
e per argomento la differenza degli argomenti dei due numeri dati.
In particolare, il reciproco di un numero complesso di modulo ρ e argomento ϑ ha modulo
e argomento – ϑ cioè:
1
r
cos J - i sinJ )
(
r
1
16
I numeri complessi
Le operazioni con la forma trigonometrica dei numeri complessi
ESEMPIO



z1  3 cos  i sin 
3
3

1


z2   cos  i sin 
3
6
6
æp p ö
æ p p öù
æ
z1 3 é
p
pö
= êcos ç - ÷ + i sin ç - ÷ú = 9 ç cos + i sin ÷
z2 1 ë
6
6ø
è3 6ø
è 3 6 øû
è
3
17
I numeri complessi
Le operazioni con la forma trigonometrica dei numeri complessi
Potenza
La potenza ennesima, con n intero positivo, di un numero complesso
è data dalla formula di De Moivre:
(
)
n
z = r (cos J + i sinJ )
(
ér cos J + i sinJ ù = r n cos nJ + i sin n J
ë
û
)
Si pone per definizione
(
)
ér cos J + i sinJ ù = 1
ë
û
Inoltre
0
-n
ér cos J + i sinJ ù = 1 cos n J - i sin n J
ë
û
rn
(
)
(
)
18
I numeri complessi
Le operazioni con la forma trigonometrica dei numeri complessi
ESEMPIO
• Calcoliamo
z3
æ 1ö
3
z =ç ÷
è 2ø
3
z
1 

z   cos  i sin 
2
4
4
æ
p
p ö 1æ
3
3 ö
ç cos3 × + i sin3 × ÷ = ç cos p + i sin p ÷
4
4ø 8è
4
4 ø
è
• Calcoliamo ora
-4
con
z 4
æ
p
pö
=
ç cos 4 × - i sin4 × ÷ = 16 cos p - i sin p
4
4
4ø
æ 1ö è
ç ÷
è 2ø
1
(
)
19
I numeri complessi
Le radici n-esime di un numero complesso
La scrittura trigonometrica di un numero complesso è conveniente anche per poter determinare le sue
radici n-esime.
Dato un numero complesso z, si dice radice n-esima di z il numero complesso ω tale che ωn = z
Ogni intero complesso
la formula
z = (cos J + i sinJ )
ha n radici n-esime che si esprimono con
é
æ J 2k p ö
æ J 2k p öù
w = r êcos ç +
÷ + i sin ç +
÷ú
n ø
n øû
èn
èn
ë
n
con
k = 0, 1, …, n−1
20
I numeri complessi
Le radici n-esime di un numero complesso
Le radici n-esime dell’unità sono espresse dalla formula
w = cos
2k p
2k p
+ i sin
n
n
con
k = 0, 1, …, n−1
Esse hanno per immagine nel piano complesso i vertici del poligono regolare di n lati inscritto nella
circonferenza di centro O e raggio unitario e con un vertice nel punto dell’asse reale di ascissa 1.
Proprietà
•
Il prodotto o il quoziente di radici n-esime dell’unità è ancora una radice dell’unità;
•
La potenza con esponente intero di una radice dell’unità è ancora una radice dell’unità.
21
I numeri complessi
Le radici n-esime di un numero complesso
Le radici n-esime dell’unità sono strettamente legate alle radici dello stesso indice di qualunque numero
complesso.
le radici n-esime di un numero complesso z si ottengono tutte da una qualunque di esse moltiplicandola
per le radici n-esime dell'unità. Si ha cioè che, indicate con ω0, ω1,….. ωn-1 le radici dell’unità e con μ
una qualunque radice di z, le radici n-esime di z sono date da
m × w0
m × w1
m × w2
.......
m × wn -1
ESEMPIO
Calcoliamo le radice seste di 64.
Essendo 26 = 64, una radice particolare è 2.
Le radici seste dell’unità sono rappresentate dall’espressione
wk = cos k
Abbiamo quindi che:
p
3
+ i sin k
p
3
æ
p
pö
w = 2 × ç cos k + i sin k ÷
3
3ø
è
con
k = 0, 1, …, n−1
22
I numeri complessi
Soluzioni di un’equazione
Attraverso il calcolo delle radici n-esime di un numero complesso si possono trovare le n soluzioni di
un’equazione algebrica di grado n.
ESEMPIO
Troviamo le soluzioni dell’equazione
(
x 3 = -8
)
Poiché
-8 = 8 cos p + i sin p
avremo
   2k 
  2k
  2cos 
  i sin  
3 
3
3
 3
Cioè
æ
p
pö
w0 = 2 ç cos + i sin ÷
3
3ø
è

 k = 0, 1, 2

w1 = 2 (cos p + i sin p ) = -2
æ
5
5 ö
w 2 = 2 ç cos p + i sin p ÷
3
3 ø
è
23
I numeri complessi
La forma esponenziale
La forma esponenziale di un numero completo è usata spesso nelle scienze applicate perché permette
una ulteriore semplificazione del calcolo.
Dato un numero complesso z di modulo ρ ed argomento ϑ si ha che
z = r (cos J + i sinJ ) = re i J
Per eseguire prodotti, quozienti e potenze di numeri complessi in forma esponenziale, si applicano le proprietà delle
potenze.
Dati
•
•
z1 = r1 × e i J 1
prodotto
quoziente
e
z 2 = r2 × e i J 2
i J +J
z1 × z 2 = r1r2 × e ( 1 2 )
z1 r1 i (J1-J 2 )
=
×e
z 2 r2
si ha che
•
potenza n-esima
z n = r n × e inJ
Dalla forma esponenziale di un numero complesso, si ricavano
le seguenti formule di Eulero:
e i J + e -i J
e i J - e -i J
cos J =
sinJ =
2
2
24
I numeri complessi
Le operazioni con la forma trigonometrica dei numeri complessi
ESEMPI
•
Scriviamo in forma algebrica il numero complesso
r=2 e J =
•
p
2
®
z = 2e i p /2
æ
p
pö
z = 2 ç cos + i sin ÷ = 2i
2
2ø
è
Scriviamo in forma esponenziale il numero complesso
1+ 3i
r = a2 + b2 = 4 = 2
cos J =
a 1
=
r 2
sinJ =
b
3
=
r 2
® J=
p
3
Si ha quindi
z = 2e i p /3
25