CALCOLO LETTERALE
• Perché?
E’ opportuno rappresentare i numeri con
lettere dell’alfabeto per fare affermazioni
che valgono indipendentemente dal valore
dei numeri.
POTENZE
• Dato un numero reale a ed un numero
naturale n, si dice potenza ennesima di a
an = a • a • … • a
n volte
Esempio:
32 = 3 • 3
(-2)2 = (-2) • (-2) = 4
(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
Dati a, b R, m, n N
• a n + m = a n a m,
• a -n = 1 / a n
• a n - m = a n: a m,
n m, se n = m, a 0
• (a:b) n = a n: b n,
b0
• (ab) n = a n b n,
• (a n) m = a n m,
• a 0= 1,
ESERCIZI
32 • 33= 35
3 4 : 3 3= 3 1
((2)3)2= (2)6
(5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2
(8)0=1
3-4 = 1 / 34
e2 • e3• e-4= e
(- 2)2 •(-2)3 = -32
RADICALI
• Si dice radice ennesima (n N) aritmetica
del numero reale non negativo a l’unico
numero reale non negativo b tale che bn = a
b a
n
• Si pone per convenzione:
m
an
a
n
m
PROPRIETA’ DEI RADICALI
kn
a
km
m
an
m n
a b ab
n
n
n
a b ab
n
n
m
n
a
n
b
n
a
b
n m
b0
n
a
a
m
mn
a
a
n
m
ESERCIZI
4
a
3
3
a4
3 2
2 4 8
3
3
3
2 3 23
2 3
3
2
5 35
3
4
4
2 3
4
a a
6
a
5
1
5 3
a
4
1
3
5
5
ESPRESSIONE NUMERICA E
LETTERALE
• Una espressione numerica è un insieme di
operazioni da eseguire su determinati
numeri secondo un determinato ordine:
{[(-1+3)2 • 8]+(5 • 4)}:2=
Una espressione letterale è una espressione
numerica in cui i numeri sono in tutto o in
parte rappresentati da lettere:
{[(-a+b)2 • c]+(d • e)}:2=
VALORE DI UNA
ESPRESSIONE LETTERALE
• Esempio:
se a = 1 b = 0 c = 1
a + 2b + 1/c = 2
N.B. Non è possibile dare a c il valore 0!
• Insieme di definizione della espressione
letterale è l’insieme di valori che possiamo
attribuire alle lettere senza che l’espressione
perda di significato
MONOMIO
• Una espressione letterale in cui sono
presenti solo le operazioni di
moltiplicazione, divisione ed elevamento a
potenza:
Esempio:
3ab2
3 = coefficiente ab2 = parte letterale
Grado di un monomio
Grado complessivo del monomio è la somma degli
esponenti delle lettere del monomio
Grado del monomio rispetto a una lettera è
l’esponente con cui tale lettera compare nel
monomio
Esempio: 3ab2 è un monomio di grado
complessivo 3, di grado 1 rispetto ad a, di grado 2
rispetto a b.
POLINOMIO
• La somma di più monomi, detti termini del
polinomio:
Esempio: 3ab + 2ac + 4b3
Grado complessivo del polinomio è il massimo dei
gradi dei singoli monomi (nell’esempio 3)
Grado complessivo del polinomio rispetto a una
lettera è il massimo dei gradi dei singoli monomi
rispetto a quella lettera (nell’esempio 1 rispetto ad
a e c, 3 rispetto a b)
OPERAZIONI TRA POLINOMI
• ADDIZIONE
• SOTTRAZIONE
• PRODOTTO
PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di
particolari polinomi per i quali è
possibile stabilire il risultato con pochi
calcoli
• DIVISIONE
DIFFERENZE DI QUADRATI
(x + y) • (x - y) = (x2 - y2)
Esempi:
(2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2)
(2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2)
(9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab)
(x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] =
[(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3)2 +9]
QUADRATO DI UN BINOMIO
(x + y)2= x2 + 2xy + y2
(x - y)2= x2 - 2xy + y2
Esempi:
(a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2
(a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2
((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4
CUBO DI UN BINOMIO
(x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x - y)3= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Esempi:
(2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3
(3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3
(x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3
SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI
(x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2)
(x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2)
Esempi:
(8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2)
(27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2)
(x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 (x - 2) y2 + y4)]
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
• Mediante l’uso dei prodotti notevoli
• Raccoglimenti a fattore comune:
Esempio:
6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b)
• Raccoglimenti parziali successivi:
Esempio:
9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c
(3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)
DIVISIONE TRA POLINOMI
• Prenderemo in considerazione solo polinomi in
una variabile
• Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla
potenza di una data lettera, con il grado di P1
maggiore o uguale al grado di P2 .
• Esistono allora due polinomi Q ed R tali che:
P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed
R è il resto.
ESEMPIO
(2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1)
2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1
2x5 – 2 x4
+ 2 x2
2 x4 – 3 x 3 - 2 x2 + x + 1
2 x4 – 2 x 3
+2 x
– x3 - 2 x2 - x + 1
– x3 + x2
-1
- 3 x2 - x + 2
x3 – x2 +1
2 x2 +2 x -1
ESEMPIO
(2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2
+1) + (- 3 x2 - x + 2)
P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio
quoziente ed R è il resto.
N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è
uguale a zero.
ESEMPIO:
(20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4)
20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32
20 x4 + 10 x3 - 20 x2
– 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32
– 24 x3 - 12 x2 + 24 x
32 x2 + 16 x - 32
32 x2 + 16 x - 32
\\
\\
\\
4x2 + 2x - 4
5x2 -6x + 8
REGOLA DI RUFFINI
• Divisione di un polinomio per un binomio
• Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x)
un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il
quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed
il resto è di grado zero .
P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R
REGOLA DI RUFFINI
Coefficienti P1(x)
Termine noto P1(x)
Coefficienti e termine
noto P2(x)
Resto
±a
ESEMPIO
(x2 - 1) : (x + 2)
1
0
-2
-1
4
1
-2
3
-2
x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3
REGOLA DEL RESTO
• Il resto della divisione di un polinomio
P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il
valore che P1 assume per x = - a
R= P1(-a)
Esempio:
(x2 - 1) : (x + 2)
P1(-2) = 3
OSSERVAZIONE
• Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un
divisore del termine noto di P1 e b è un divisore
del termine di grado massimo di P1.
• Nell’esempio precedente:
P1= (x2 - 1)
avrei dovuto provare con +1 e –1:
P1(+1) = 0
quindi P1 è divisibile per (x - 1)
P1(-1) = 0
quindi P1 è divisibile per (x + 1)
ESEMPIO
P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6
P1(±1) 0
P1(2) = 0
1
2
1
3
-7
-6
2
10
6
5
3
0
x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)
