Lezione 2 - Potenze radicali scomposizione polinomi ruffini

CALCOLO LETTERALE
• Perché?
È opportuno rappresentare i numeri con
lettere dell’alfabeto per fare affermazioni
che valgono indipendentemente dal valore
dei numeri.
1
POTENZE
•
Dato un numero reale a ed un numero
naturale n, si dice potenza n-esima di a
n volte
an = a • a • … • a
Esempio:
32 = 3 • 3
(-2)2 = (-2) • (-2) = 4
(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8
2
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
•
•
•
•
•
•
•
Dati a, b  R, m, n  N
a n + m = a n a m,
a -n = 1 / a n
n  m, se n = m, a  0
a n - m = a n: a m,
(a:b) n = a n: b n,
b0
(ab) n = a n b n,
(a n) m = a n m,
a 0= 1,
3
ESERCIZI
32 • 33= 35
3 4 : 3 3= 3 1
((2)3)2= (2)6
(5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2
(8)0=1
3-4 = 1 / 34
(- 2)2 •(-2)3 = -32
4
RADICALI
• Si dice radice n-sima (n  N) del numero
reale a il numero b tale che bn = a. Si
scrive:
n
b a
La radice ennesima (n  N) della potenza am
si scrive:
m
an
 a
n
m
5
PROPRIETA’ DEI RADICALI
kn
a
km

m
an
mn
a  b  ab
n
n
n
n
a 
a 
m
mn
a
 a
n
m
a b  a b
n
n
m
n
a na

n
b
b
n m
b0
6
ESERCIZI
4
a 
3
3
a4
3 2
2 4  8
3
3
3
2 3  23
2
3
3
2
5 35

3
4
4
2 3
4
a  a
6
a 
5
1

5 3
 a
4
5
1
3
5
7
OPERAZIONI TRA POLINOMI
• ADDIZIONE
• SOTTRAZIONE
• PRODOTTO
PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di
particolari polinomi per i quali è
possibile stabilire il risultato con pochi
calcoli
• DIVISIONE
8
DIFFERENZE DI QUADRATI
(x + y) • (x - y) = (x2 - y2)
Esempi:
(2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2)
(2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2)
(9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab)
(x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] =
[(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3)2 +9]
9
QUADRATO DI UN BINOMIO
(x + y)2= x2 + 2xy + y2
(x - y)2= x2 - 2xy + y2
Esempi:
(a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2
(a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2
((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4
10
CUBO DI UN BINOMIO
(x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x - y)3= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Esempi:
(2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3
(3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3
(x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3
11
SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI
(x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2)
(x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2)
Esempi:
(8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2)
(27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2)
(x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 (x - 2) y2 + y4)]
12
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
• Mediante l’uso dei prodotti notevoli
• Raccoglimenti a fattore comune:
Esempio:
6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b)
• Raccoglimenti parziali successivi:
Esempio:
9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c
(3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)
13
DIVISIONE TRA POLINOMI
• Prenderemo in considerazione solo polinomi in
una variabile
• Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla
potenza di una data lettera, con il grado di P1
maggiore o uguale al grado di P2 .
• Esistono allora due polinomi Q ed R tali che:
P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed
R è il resto.
14
ESEMPIO
(2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1)
2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1
2x5 – 2 x4
+ 2 x2
2 x 4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1
+2 x
2 x4 – 2 x3
x3 – x2 +1
2 x2 +2 x -1
– x 3 - 2 x2 - x + 1
– x 3 + x2
-1
- 3 x2 - x + 2
15
ESEMPIO
(2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2
+1) + (- 3 x2 - x + 2)
P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio
quoziente ed R è il resto.
N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è
uguale a zero.
16
ESEMPIO:
(20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4)
20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32
20 x4 + 10 x3 - 20 x2
– 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32
– 24 x3 - 12 x2 + 24 x
32 x2 + 16 x - 32
32 x2 + 16 x - 32
\\
\\
4x2 + 2x - 4
5x2 -6x + 8
\\
17
REGOLA DI RUFFINI
• Divisione di un polinomio per un binomio
• Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x)
un binomio del tipo (x + a) con a reale
(positivo o negativo), il quoziente è un
polinomio di grado n – 1 ed il resto è di
grado zero .
P1 (x)= (x+a) P2 (x)+ R
18
REGOLA DI RUFFINI
Coefficienti P1(x)
Termine noto P1(x)
Coefficienti e termine
noto P2(x)
Resto
-a
19
ESEMPIO
(x2 - 1) : (x + 2)
1
-2
1
0
-1
-2
4
-2
3
x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3
20
REGOLA DEL RESTO
• Il resto della divisione di un polinomio
P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il
valore che P1 assume per x = - a
R= P1(-a)
Esempio:
(x2 - 1) : (x + 2)
P1(-2) = 3
21
OSSERVAZIONE
• Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un
divisore del termine noto di P1 e b è un divisore
del termine di grado massimo di P1.
• Nell’esempio precedente:
P1(x)=(x2 - 1)
si verifica con i divisori del termine noto: +1 e –1:
P1(+1) = 0
quindi P1 è divisibile per (x - 1)
P1(-1) = 0
quindi P1 è divisibile per (x + 1)
22
ESEMPIO
P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6
P1(±1)  0
P1(2) = 0
1
3
-7
-6
1
2
5
10
3
6
0
2
x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)
23