Equazioni di primo grado

Equazioni di primo grado
Il “mistero della Matematica”
M.Carla Di Domenico
Trova il numero tale che il suo doppio
diminuito di cinque sia uguale a
quindici.
Procediamo per
tentativi???
Proviamo cosi:
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Trova un numero
Tale che
Il suo doppio
Diminuito
Di cinque
Sia uguale
A quindici
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X
:
2x
5
=
15
In altre parole, abbiamo
fatto:
2 x – 5 = 15
• Trova il numero tale che il
suo doppio diminuito di
cinque sia uguale a quindici.
• 2x -5 = 15
• Il numero è 10!!
• Trova il numero tale che
aggiunto a due è uguale
alla somma di se stesso e
cinque.
• x+2 = x +5
• Non
esiste
un
tale
numero!!
• Trova il numero tale che
il suo triplo aumentato di
uno è uguale alla somma
del numero,del suo doppio
e di uno.
• 3x + 1 = x + 2x + 1
• Ogni numero va bene!!
In ognuno dei tre casi abbiamo scritto la relazione
algebrica che rappresenta il modello del
problema che vogliamo risolvere.
Ci occorrono allora tecniche di calcolo
generali che permettano di risolvere
tutti i problemi come questo .
Si dice EQUAZIONE una uguaglianza fra due
espressioni che contengono delle lettere e che è
verificata SOLO se a queste lettere vengono attribuiti
particolari valori.
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L’espressione a sinistra dell’uguale si dice primo membro;
L’espressione a destra dell’uguale si dice secondo membro;
La variabile x si dice incognita;
I termini che non contengono la x si dicono termini noti;
I valori della x che rendono vera l’uguaglianza si dicono
radici o soluzioni dell’equazione (e si dice che essi
soddisfano l’equazione);
• L’insieme delle soluzioni di un’equazione si indica di solito con
la lettera S.
2x -5 = 15
È un’equazione che ha una sola
soluzione e si dice
possibile e determinata.
x+2 = x +5
E’ un’equazione che non ha
soluzioni e si dice
impossibile.
3x + 1 = x + 2x + 1
È un’equazione che ha
infinite soluzioni e si dice
indeterminata
2x – 5 = 15
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2x – 5 è il primo membro
15 è il secondo membro
x è l’ incognita
- 5 e 15 sono i termini noti
10 è la radice o soluzione dell’equazione
S = {10}
Tutto ciò significa che l’ unico valore che
possiamo attribuire alla x affinché
l’uguaglianza sia verificata è 10.
Due equazioni si dicono equivalenti quando
hanno le stesse soluzioni
(pur sembrando diverse!)
4x + 5 = 2x + 9
Sembra diversa da
2x = 4
Eppure hanno entrambe come
soluzione
x = 2
Cioè le due equazioni sono equivalenti
Vediamo allora come rendere
equivalenti due equazioni
(se sono equivalenti, meglio
risolverne una più facile!!)
1° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Se si aggiunge (+) o si sottrae (-) una stessa
espressione algebrica ad ambo i membri di
un’equazione si ottiene un’equazione equivalente alla
data.
2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
Se si moltiplicano (×) o si dividono ambo i membri di
un’equazione per una stessa espressione non nulla si
ottiene un’equazione equivalente alla data.
1° Principio: quali conseguenze?
1) Si può spostare un termine da un
membro all’altro purché gli si cambi il
segno
5x–3=7
5 x – 3 +3 = 7 + 3
5x=7+3
Aggiungiamo +3 ad ambo
i membri
Semplifichiamo
-3 scompare dal primo
membro e compare al
secondo con il segno
cambiato
1° Principio: quali conseguenze?
2) Si possono spostare tutti i termini in
uno stesso membro ottenendo
un’espressione uguale a zero
6x–4=5x+7
6x – 4 -5 x -7 = 0
x – 11 = 0
Spostiamo i termini dal
secondo al primo membro
Sommiamo i monomi simili
1° Principio: quali conseguenze?
3)se nei due membri compaiono due
termini uguali questi possono essere
soppressi
2 x – 1 = 7- 1
2x–1+1=7–1+1
2x =7
Aggiungiamo il
termine + 1
Semplifichiamo
I termini uguali sono
stati soppressi
2° Principio: quali conseguenze?
1)Si possono moltiplicare o dividere i due
membri di un’equazione per una stessa
espressione diversa da zero
6x =7
Dividiamo entrambi
i membri per 6 e poi
semplifichiamo
6x 7

6 6
7
x
6
2° Principio: quali conseguenze?
2)si possono dividere entrambi i membri
per un fattore comune non nullo
12 x – 18 =6 x -24
Dividiamo per 6
2x -3 = x- 4
2° Principio: quali conseguenze?
3)si possono cambiare tutti i segni di
un’equazione
-3 x + 7 = 12 – 5 x
Cambiamo tutti i segni
3 x - 7 = -12 + 5 x
Conclusioni:
Grazie al primo e al
secondo principio di
equivalenza possiamo
modificare le
equazioni per renderle
più semplici e
risolvere così ogni
problema di questo
tipo!!!