Introduzione storica al calcolo infinitesimale La matematica come scienza nacque nell’ambito della civiltà greca tra il VI e il III sec. a.C.; i Greci, infatti, a partire dalle conoscenze aritmetiche e geometriche delle civiltà precedenti costruirono, per la prima volta, un corpo omogeneo e strutturato di teorie matematiche. La sintesi di tutte le conoscenze elaborate dai Greci è magistralmente esposta negli Elementi di Euclide. Dal III sec. a.C. al XVI sec. d.C. la matematica rimase al livello al quale l’avevano condotta i Greci; infatti ad eccezione del sistema posizionale (Indiani, VII sec. d.C.) e delle prime teorie algebriche (Arabi, VII sec. d.C.) c’è poco da segnalare fino al periodo rinascimentale. I ricercatori rinascimentali attraverso lo studio delle opere classiche riuscirono ad assimilare pienamente lo spirito costruttivo e innovativo di cui erano fortemente animati i filosofi-matematici greci. Fra le opere maggiormente studiate in questo periodo figurano gli Elementi di Euclide, alcune opere di Archimede e le Coniche di Apollonio. L’assimilazione dei metodi di questi illustri filosofi-matematici fornì un contributo notevole allo sviluppo della meccanica, dell’ottica e dell’astronomia. Nel XVI sec. vennero poste le premesse per l’elaborazione del metodo matematicosperimentale per la ricerca scientifica e i matematici rinascimentali, dopo aver acquisito e assimilato il patrimonio culturale classico, riuscirono a porre solide basi per ulteriori e originali progressi. Nel XVII sec. da Cartesio e da Fermat fu introdotta la geometria analitica. Questo nuovo ramo della matematica rappresenta una sintesi fra la geometria elementare e l’algebra: ogni ente geometrico viene tradotto in un’espressione algebrica e viceversa. L’introduzione della geometria analitica rappresentò una svolta decisiva nel campo del pensiero matematico: il concretizzarsi di una sintesi così perfetta e imprevedibile tra l’algebra e la geometria provò chiaramente che l’alto livello culturale a cui era pervenuto il mondo classico rappresentava soltanto una tappa nel cammino della scienza. Si affermò la convinzione che la scienza non avrebbe potuto assolvere il compito di indagine del mondo fisico se non facendo leva essenzialmente sugli strumenti matematici e tecnologici. Lo scienziato moderno si rese conto che la natura poteva essere studiata e compresa in tutta la sua intimità soltanto interrogandola direttamente attraverso strumenti teorici (forniti dalla matematica) e apparecchiature tecnologiche adeguate. All’introduzione della geometria analitica fece seguito quella del calcolo infinitesimale (o analisi infinitesimale) per merito soprattutto dell’inglese I. Newton e del tedesco G. Leibniz. La nuova teoria matematica fu espressa in forma rigorosa soprattutto dal francese Cauchy nel XIX sec.; le opere di Newton e Leibniz erano affette da imperfezioni sul piano del rigore logico, ma a loro va attribuita una prima sistemazione dei procedimenti di calcolo infinitesimale. Le origini di questo nuovo ramo della matematica, però, vanno ricercate nell’ambito della matematica greca allorché, superati i limiti delle semplici questioni aritmetiche e geometriche, si affermarono le due tendenze del continuo e del discontinuo. I precursori più illustri del calcolo infinitesimale sono Archimede, Keplero, Cavalieri e Torricelli. Studi più sistematici sull’argomento furono fatti quando nel campo matematico cominciò ad affermarsi il concetto di grandezza variabile; dallo studio del moto in fisica la matematica derivò un concetto fondamentale: funzione tra variabili (o relazione tra variabili). Galileo Galilei studiando la caduta dei corpi giunse alla individuazione di due problemi fondamentali: - ricerca della velocità, nota la traiettoria - ricerca della traiettoria, nota la velocità Nel moto uniforme i due problemi si risolvono con calcoli abbastanza semplici: s spazio s v t v velocità t tempo Per i moti a velocità variabile, però, i calcoli basati su grandezze costanti non erano sufficienti ad esprimere compiutamente le relazioni tra spazio, tempo e velocità. Da ciò la necessità di approfondire lo studio delle grandezze variabili che condusse a una prima e consistente formulazione del calcolo infinitesimale. Si è potuto notare l’importanza e l’utilità delle rappresentazioni grafiche delle funzioni, ossia di enti matematici in grado di esprimere analiticamente, e quindi in modo sintetico, fenomeni fisici o di altro genere. Il diagramma delle funzioni fornisce una visione panoramica dell’andamento del fenomeno che essa può eventualmente rappresentare. Con le sole nozioni di algebra elementare possono essere studiate le funzioni algebriche di primo e secondo grado, le funzioni sinusoidali e le semplici funzioni esponenziali e logaritmiche. Per estendere tale studio a funzioni più complesse bisogna acquisire nuove tecniche di calcolo: limite e derivate. Il concetto di limite e di continuità, sorti nell’ambito della cultura greca, stanno alla base del cosiddetto metodo di esaustione di Eudosso (IV sec. a.C.) che fu largamente utilizzato da Archimede per la risoluzione di problemi di quadratura di superfici piane limitate da linee curve. Per questo Archimede è giustamente considerato il precursore del calcolo infinitesimale. s v t Per l’algebra l’oggetto fondamentale è il numero naturale e l’operazione fondamentale è l’addizione. I concetti di numeri razionali, numeri relativi, numeri reali e numeri complessi sono un’estensione del concetto di numero naturale; così pure le operazioni di sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenze,… sono riconducibili all’addizione. L’algebra si presta per lo studio di fenomeni in cui intervengono quantità finite, costanti. L’ente fondamentale del calcolo infinitesimale è il concetto di funzione come relazione tra quantità variabili, ossia non costanti. L’operazione fondamentale è quella di passaggio al limite, o semplicemente limite. Le altre operazioni del calcolo infinitesimale (derivata e integrale) sono riconducibili a quella di limite. Il calcolo infinitesimale si presta a descrivere quei fenomeni in cui intervengono quantità variabili (non costanti). CALCOLO INFINITESIMALE: CALCOLO DIFFERENZIALE: riguarda principalmente la misurazione della rapidità o velocità di funzioni ed è legato alla ricerca delle tangenti a una data curva CALCOLO INTEGRALE: riguarda la somma di infinite parti infinitesime ed è legato al calcolo delle aree di superfici delimitate da curve qualsiasi. Introduzione al concetto di limite Il calcolo infinitesimale si basa sulla nozione di limite. Si consideri la funzione y 1 nella variabile x. 2 x 1 perde significato per 2 x 0 perché il denominatore di una frazione 2 x deve essere sempre diverso da zero; la frazione data non esiste per valori x 2 , quindi il suo campo di esistenza (o dominio) è costituito dall’insieme di numeri reali escluso il numero 2 C.E. 2 Si calcolino i valori della funzione per 1 y f (0) x0 2 y f (1) 1 x 1 y f (3) 1 x3 e così via. Ad ogni valore x del dominio corrisponde un unico valore di y. Cosa succede per x 2 ? 1 1 y f (2) frazione priva di significato. 22 0 La funzione non esiste per x 2 , ma per valori di x sempre più prossimi a 2 come si comporta? Si vuole indagare l’andamento della funzione quando alla variabile indipendente x vengono attribuiti valori appartenenti a un intorno arbitrario del numero 2. Alla variabile x si attribuiscono i seguenti valori 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,99 1,999 1,9999 ossia numeri sempre più prossimi a due da sinistra 1 1 y f (1,5) 2 2 1,5 0,5 1 1 y f (1,6) 2,5 2 1,6 0,4 1 1 y f (1,7) 3, 3 2 1,7 0,3 1 1 y f (1,8) 5 2 1,8 0,2 1 1 y f (1,9) 10 2 1,9 0,1 1 1 y f (1,99) 100 2 1,99 0,01 1 1 y f (1,999) 1000 2 1,999 0,001 1 1 y f (1,9999) 10000 2 1,9999 0,0001 La frazione per valori di x sempre più prossimi a 2 da sinistra la funzione assume valori sempre più grandi. L’intuizione suggerisce che per valori di x vicini quanto si vuole a 2 da sinistra la funzione assume valori che superano qualunque numero positivo arbitrariamente grande, ossia per x convergente a 2 da sinistra la y diverge a . Attribuendo alla x valori appartenenti all’intorno destro di 2, si può constatare che la funzione diverge a . Infatti considerando i seguenti valori di x 2,1 2,01 2,001 2,0001 si trova 1 1 y f (2,1) 10 2 2,1 0,1 1 1 y f (2,01) 100 2 2,01 0,01 1 1 y f (2,001) 1000 2 2,001 0,001 1 1 y f (2,0001) 10000 2 2,0001 0,0001 Prescindendo dal segno si può dire che la funzione data diverge a per x convergente a 2. Per esprimere simbolicamente l’andamento della funzione nell’intorno di 2 si scrive 1 lim x 2 2 x e volendo precisare gli intorni destro e sinistro si scrive 1 lim x 2 2 x 1 lim x 2 2 x con x 2 si vuol intendere che x tende a 2 da destra x 2 si vuol intendere che x tende a 2 da sinistra 2 Il procedimento adottato per l’indagine costituisce l’essenza dell’operazione passaggio al limite di una funzione. 1 esprime sinteticamente tutto il procedimento effettuato: la funzione x 2 2 x Il simbolo lim 1 tende all’infinito quando x tende a 2. 2 x L’operazione di passaggio al limite permette di stabilire l’andamento di una funzione nell’intorno di un punto. L’operazione può essere applicata anche nei punti in cui la funzione esiste. y In conclusione: calcolare il limite della funzione al tendere di x a x0 (finito o infinito) significa calcolare, quando ciò è possibile, a quale valore (finito o infinito) si avvicina la funzione via via che la variabile x assume valori sempre più vicini a x0 tale operazione viene indicata con la scrittura se x si avvicina a x0 con valori appartenenti a un intorno completo di x0 lim f ( x) xx0 lim f ( x) se x si avvicina a x0 con valori appartenenti a un intorno destro di x0 lim f ( x) se x si avvicina a x0 con valori appartenenti a un intorno sinistro di x0 x x0 x x0 QUATTRO POSSIBILI CASI: Limite finito quando x tende a un valore finito lim f ( x) L xx0 Limite finito quando x tende a infinito lim f ( x) L Limite infinito quando x tende a un valore finito lim f ( x) x xx0 Limite infinito quando x tende a infinito lim f ( x) x nota bene: grandezza infinitesimale: quantità che tende indefinitamente a zero grandezza infinito: quantità che supera qualunque numero grande a piacere il segno non è un numero ma è semplicemente un simbolo che viene utilizzato per esprimere il fatto che una variabile x, in un certo processo, possa assumere valori maggiori di qualunque numero M positivo prefissato.