L`operazione di passaggio al limite permette di

Introduzione storica al calcolo infinitesimale
La matematica come scienza nacque nell’ambito della civiltà greca tra il VI e il III sec. a.C.;
i Greci, infatti, a partire dalle conoscenze aritmetiche e geometriche delle civiltà precedenti
costruirono, per la prima volta, un corpo omogeneo e strutturato di teorie matematiche. La
sintesi di tutte le conoscenze elaborate dai Greci è magistralmente esposta negli Elementi
di Euclide.
Dal III sec. a.C. al XVI sec. d.C. la matematica rimase al livello al quale l’avevano condotta
i Greci; infatti ad eccezione del sistema posizionale (Indiani, VII sec. d.C.) e delle prime
teorie algebriche (Arabi, VII sec. d.C.) c’è poco da segnalare fino al periodo
rinascimentale.
I ricercatori rinascimentali attraverso lo studio delle opere classiche riuscirono ad
assimilare pienamente lo spirito costruttivo e innovativo di cui erano fortemente animati i
filosofi-matematici greci. Fra le opere maggiormente studiate in questo periodo figurano gli
Elementi di Euclide, alcune opere di Archimede e le Coniche di Apollonio. L’assimilazione
dei metodi di questi illustri filosofi-matematici fornì un contributo notevole allo sviluppo
della meccanica, dell’ottica e dell’astronomia.
Nel XVI sec. vennero poste le premesse per l’elaborazione del metodo matematicosperimentale per la ricerca scientifica e i matematici rinascimentali, dopo aver acquisito e
assimilato il patrimonio culturale classico, riuscirono a porre solide basi per ulteriori e
originali progressi.
Nel XVII sec. da Cartesio e da Fermat fu introdotta la geometria analitica. Questo nuovo
ramo della matematica rappresenta una sintesi fra la geometria elementare e l’algebra:
ogni ente geometrico viene tradotto in un’espressione algebrica e viceversa.
L’introduzione della geometria analitica rappresentò una svolta decisiva nel campo del
pensiero matematico: il concretizzarsi di una sintesi così perfetta e imprevedibile tra
l’algebra e la geometria provò chiaramente che l’alto livello culturale a cui era pervenuto il
mondo classico rappresentava soltanto una tappa nel cammino della scienza. Si affermò
la convinzione che la scienza non avrebbe potuto assolvere il compito di indagine del
mondo fisico se non facendo leva essenzialmente sugli strumenti matematici e tecnologici.
Lo scienziato moderno si rese conto che la natura poteva essere studiata e compresa in
tutta la sua intimità soltanto interrogandola direttamente attraverso strumenti teorici (forniti
dalla matematica) e apparecchiature tecnologiche adeguate.
All’introduzione della geometria analitica fece seguito quella del calcolo infinitesimale (o
analisi infinitesimale) per merito soprattutto dell’inglese I. Newton e del tedesco G. Leibniz.
La nuova teoria matematica fu espressa in forma rigorosa soprattutto dal francese Cauchy
nel XIX sec.; le opere di Newton e Leibniz erano affette da imperfezioni sul piano del
rigore logico, ma a loro va attribuita una prima sistemazione dei procedimenti di calcolo
infinitesimale. Le origini di questo nuovo ramo della matematica, però, vanno ricercate
nell’ambito della matematica greca allorché, superati i limiti delle semplici questioni
aritmetiche e geometriche, si affermarono le due tendenze del continuo e del discontinuo. I
precursori più illustri del calcolo infinitesimale sono Archimede, Keplero, Cavalieri e
Torricelli.
Studi più sistematici sull’argomento furono fatti quando nel campo matematico cominciò
ad affermarsi il concetto di grandezza variabile; dallo studio del moto in fisica la
matematica derivò un concetto fondamentale: funzione tra variabili (o relazione tra
variabili). Galileo Galilei studiando la caduta dei corpi giunse alla individuazione di due
problemi fondamentali:
- ricerca della velocità, nota la traiettoria
- ricerca della traiettoria, nota la velocità
Nel moto uniforme i due problemi si risolvono con calcoli abbastanza semplici:
s  spazio
s  v t
v  velocità
t  tempo
Per i moti a velocità variabile, però, i calcoli basati su grandezze costanti non erano
sufficienti ad esprimere compiutamente le relazioni tra spazio, tempo e velocità. Da ciò la
necessità di approfondire lo studio delle grandezze variabili che condusse a una prima e
consistente formulazione del calcolo infinitesimale.
Si è potuto notare l’importanza e l’utilità delle rappresentazioni grafiche delle funzioni,
ossia di enti matematici in grado di esprimere analiticamente, e quindi in modo sintetico,
fenomeni fisici o di altro genere.
Il diagramma delle funzioni fornisce una visione panoramica dell’andamento del fenomeno
che essa può eventualmente rappresentare. Con le sole nozioni di algebra elementare
possono essere studiate le funzioni algebriche di primo e secondo grado, le funzioni
sinusoidali e le semplici funzioni esponenziali e logaritmiche. Per estendere tale studio a
funzioni più complesse bisogna acquisire nuove tecniche di calcolo: limite e derivate.
Il concetto di limite e di continuità, sorti nell’ambito della cultura greca, stanno alla base del
cosiddetto metodo di esaustione di Eudosso (IV sec. a.C.) che fu largamente utilizzato
da Archimede per la risoluzione di problemi di quadratura di superfici piane limitate da
linee curve. Per questo Archimede è giustamente considerato il precursore del calcolo
infinitesimale.
s
v
t
Per l’algebra l’oggetto fondamentale è il numero naturale e l’operazione fondamentale è
l’addizione. I concetti di numeri razionali, numeri relativi, numeri reali e numeri complessi
sono un’estensione del concetto di numero naturale; così pure le operazioni di sottrazione,
moltiplicazione, divisione, potenze,… sono riconducibili all’addizione. L’algebra si presta
per lo studio di fenomeni in cui intervengono quantità finite, costanti.
L’ente fondamentale del calcolo infinitesimale è il concetto di funzione come relazione tra
quantità variabili, ossia non costanti. L’operazione fondamentale è quella di passaggio al
limite, o semplicemente limite. Le altre operazioni del calcolo infinitesimale (derivata e
integrale) sono riconducibili a quella di limite. Il calcolo infinitesimale si presta a descrivere
quei fenomeni in cui intervengono quantità variabili (non costanti).
CALCOLO INFINITESIMALE:
 CALCOLO DIFFERENZIALE: riguarda principalmente la misurazione della rapidità
o velocità di funzioni ed è legato alla ricerca delle tangenti a una data curva
 CALCOLO INTEGRALE: riguarda la somma di infinite parti infinitesime ed è legato
al calcolo delle aree di superfici delimitate da curve qualsiasi.
Introduzione al concetto di limite
Il calcolo infinitesimale si basa sulla nozione di limite.
Si consideri la funzione y 
1
nella variabile x.
2 x
1
perde significato per 2  x  0 perché il denominatore di una frazione
2 x
deve essere sempre diverso da zero; la frazione data non esiste per valori x  2 , quindi il
suo campo di esistenza (o dominio) è costituito dall’insieme di numeri reali escluso il
numero 2
C.E.
  2
Si calcolino i valori della funzione per
1
y  f (0) 
x0
2
y  f (1)  1
x 1
y  f (3)  1
x3
e così via.
Ad ogni valore x del dominio corrisponde un unico valore di y.
Cosa succede per x  2 ?
1
1
y  f (2) 

frazione priva di significato.
22 0
La funzione non esiste per x  2 , ma per valori di x sempre più prossimi a 2 come si
comporta?
Si vuole indagare l’andamento della funzione quando alla variabile indipendente x
vengono attribuiti valori appartenenti a un intorno arbitrario del numero 2.
Alla variabile x si attribuiscono i seguenti valori
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,99 1,999 1,9999
ossia numeri sempre più prossimi a due da sinistra
1
1
y  f (1,5) 

2
2  1,5 0,5
1
1
y  f (1,6) 

 2,5
2  1,6 0,4
1
1
y  f (1,7) 

 3, 3
2  1,7 0,3
1
1
y  f (1,8) 

5
2  1,8 0,2
1
1
y  f (1,9) 

 10
2  1,9 0,1
1
1
y  f (1,99) 

 100
2  1,99 0,01
1
1
y  f (1,999) 

 1000
2  1,999 0,001
1
1
y  f (1,9999) 

 10000
2  1,9999 0,0001
La frazione
per valori di x sempre più prossimi a 2 da sinistra la funzione assume valori sempre più
grandi. L’intuizione suggerisce che per valori di x vicini quanto si vuole a 2 da sinistra la
funzione assume valori che superano qualunque numero positivo arbitrariamente grande,
ossia per x convergente a 2 da sinistra la y diverge a   .
Attribuendo alla x valori appartenenti all’intorno destro di 2, si può constatare che la
funzione diverge a   .
Infatti considerando i seguenti valori di x
2,1 2,01 2,001 2,0001
si trova
1
1
y  f (2,1) 

 10
2  2,1
0,1
1
1
y  f (2,01) 

 100
2  2,01
0,01
1
1
y  f (2,001) 

 1000
2  2,001
0,001
1
1
y  f (2,0001) 

 10000
2  2,0001
0,0001
Prescindendo dal segno si può dire che la funzione data diverge a  per x convergente a
2.
Per esprimere simbolicamente l’andamento della funzione nell’intorno di 2 si scrive
1
lim

x 2 2  x
e volendo precisare gli intorni destro e sinistro si scrive
1
lim
 
x 2 2  x
1
lim
 
x 2 2  x
con x  2  si vuol intendere che x tende a 2 da destra
x  2  si vuol intendere che x tende a 2 da sinistra
2
Il procedimento adottato per l’indagine costituisce l’essenza dell’operazione passaggio al
limite di una funzione.
1
  esprime sinteticamente tutto il procedimento effettuato: la funzione
x 2 2  x
Il simbolo lim
1
tende all’infinito quando x tende a 2.
2 x
L’operazione di passaggio al limite permette di stabilire l’andamento di una funzione
nell’intorno di un punto. L’operazione può essere applicata anche nei punti in cui la
funzione esiste.
y
In conclusione:
calcolare il limite della funzione al tendere di x a x0 (finito o infinito) significa calcolare,
quando ciò è possibile, a quale valore (finito o infinito) si avvicina la funzione via via che la
variabile x assume valori sempre più vicini a x0
tale operazione viene indicata con la scrittura
se x si avvicina a x0 con valori appartenenti a un intorno completo di x0
lim f ( x)
xx0
lim f ( x)
se x si avvicina a x0 con valori appartenenti a un intorno destro di x0
lim f ( x)
se x si avvicina a x0 con valori appartenenti a un intorno sinistro di x0
x x0
x x0
QUATTRO POSSIBILI CASI:
 Limite finito quando x tende a un valore finito
lim f ( x)  L
xx0

Limite finito quando x tende a infinito
lim f ( x)  L

Limite infinito quando x tende a un valore finito
lim f ( x)  
x
xx0

Limite infinito quando x tende a infinito
lim f ( x)  
x
nota bene:
grandezza infinitesimale: quantità che tende indefinitamente a zero
grandezza infinito: quantità che supera qualunque numero grande a piacere
il segno  non è un numero ma è semplicemente un simbolo che viene utilizzato
per esprimere il fatto che una variabile x, in un certo processo, possa assumere
valori maggiori di qualunque numero M positivo prefissato.