Verifica 15 LE FUNZIONI CONTINUE E IL CALCOLO DEI LIMITI TEST DI FINE CAPITOLO 1 Se lim f x , quanto vale lim x x0 A B C D E 2 x x0 1 ? f x 3 . . Non esiste. Il limite è una forma indeterminata del 1 tipo . 0. 1 3 x , possiamo x x 1 affermare che lim x 2 3 x : x x A vale 0. B vale . C vale . D è una forma indeterminata perché il limite di uno dei due fattori è infinito. E è una forma indeterminata perché il limite di uno dei due fattori è nullo. Sapendo che lim Idee per insegnare la matematica di Bergamini, Trifone, Barozzi Copyright © 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna 4 Quale dei seguenti casi è una forma indeterminata? A . B . 0 1 C . 0 D . 0 E . x2 : x 2 x 6 x 2 12 x 8 è 0 poiché il denominatore ha grado maggiore del numeratore. 0 è uguale a 1 poiché 1 . 0 è immediato ed è uguale a zero. si risolve raccogliendo al numeratore e al denominatore la x di grado massimo. si risolve dividendo il numeratore e il denominatore per x 2 . Il limite lim A B C D E 3 1 15 LE FUNZIONI CONTINUE E IL CALCOLO DEI LIMITI 5 Quanto vale lim a0 x n a1 x n1 ... an se 9 x a0 0 e n dispari? A a0 . B 0. . . Il limite è una forma indeterminata che non si può calcolare perché non conosciamo i valori dei coefficienti. C D E 10 6 5x 7 è un numero reale non x xm n Il limite lim nullo: A se n m . B se n m . C se n m . D se n m . E per nessun valore di n e m. TEST DI FINE CAPITOLO x 1 Il limite lim 1 vale: x 2x 1 . A e B 1. C . D ex . E e2 . 1 Il limite lim 1 x 3x 1 . A 3 e B C D E 7 Il limite lim x 0 A B C D E 8 3x vale: sen x 1 11 1. . 1 3 e2 e2 . Quanto vale lim A B C D E vale: . x 3 . 2 1. 0. . . 2x x2 x 3 x ? Non esiste. . 0. 1. . sen x vale: x 0 2 x Il limite lim A B C D E 1 . 2 2 . 3 1. 0. . Idee per insegnare la matematica di Bergamini, Trifone, Barozzi Copyright © 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna 2 15 LE FUNZIONI CONTINUE E IL CALCOLO DEI LIMITI 12 Quale dei seguenti limiti è corretto? 1 cos x 0. A lim x 0 sen x 24 A y x. y lim 3x3 5 x 2 3 . x 0 B C sen 5 x lim 3x 1 . x 0 x C 1 . x y tg x . y ex . D x x6 0. x 3 D E y log x . E lim x 3 x 1 lim ln 2 . x x 25 In quale dei seguenti punti la funzione x2 y non è continua? x 1 A –2. B –1. C 0. D 1. E 2. 26 La funzione y log x 2 10 è continua in Soltanto uno dei seguenti limiti è corretto. Quale? A B C D E 23 Quale delle seguenti funzioni è continua su tutto l’intervallo R? B 2 13 TEST DI FINE CAPITOLO lim x x 2 1 . x tg x sen x 2 x 4. x 0 x lim 1 x 2 3x3 1. x x 2 x 3 x 3 9x 2 lim 3. x x 4 x2 3 lim x 2 sen x lim 2. x 0 x sen x x 1 se 0 x 1 La funzione f x x 1 se 1 x 0 A è continua nell’intervallo 1;1 . B è continua solo in 0. C non è continua in alcun punto di 1;1 . D è continua in tutti i punti dell’intervallo 1;1 escluso lo 0. E è continua solo per x 0 . Idee per insegnare la matematica di Bergamini, Trifone, Barozzi Copyright © 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna x 0? A No, perché x 0 non è nel dominio del logaritmo. B No, perché la funzione logaritmo è continua solo per x 0 . C Sì, perché y x 2 10 è continua in x 0 e log x lo è in x 10 . D Sì, perché y x 2 10 è continua in x 10 e log x lo è in x 0 . E Sì, perché y x 2 10 è continua in x 0 e log x lo è in x 0 . 3 15 LE FUNZIONI CONTINUE E IL CALCOLO DEI LIMITI 27 28 La funzione: se x 0 3 cos x k f x sen x k cos x se x 0 è continua su tutto R per: A k 0. 3 B k . 2 C k 1. D k 3. E k 1 . Quali tra i seguenti punti non è di discontinuità per la funzione tg 3x 1 ? f x x2 4 A x 2. B x 2 . 1 C x . 4 3 1 D x . 6 3 1 E x . 6 3 29 TEST DI FINE CAPITOLO Quale fra le seguenti affermazioni è vera? A Il dominio della funzione 2 f x ln 3x 2 x 2 è ;1 . 3 B Il periodo della funzione x f x 7 cos è 4 . 4 C indeterminata. D E | x4| 1 x4 ammette in x 4 un punto di discontinuità di seconda specie. Per il teorema degli zeri, la funzione f x 3ln | x 1| ammette uno zero La funzione f x 3 nell’intervallo ;5 . 2 30 x3 7 x 2 : x 3 assume tutti i valori compresi tra f 0 La funzione f x A e f 4 . B non ammette zeri nell’intervallo 1;5 . C assume massimo e minimo assoluto nell’intervallo 0;1 . D ha un punto di discontinuità di prima specie in x 3 . è continua su tutto R. E Idee per insegnare la matematica di Bergamini, Trifone, Barozzi Copyright © 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna lim 3x 4 2 x3 x 2 è una forma x 4 15 LE FUNZIONI CONTINUE E IL CALCOLO DEI LIMITI 31 La funzione f x è continua nell’intervallo [1; 5] e inoltre il suo massimo assoluto è 2 mentre il minimo assoluto è –1. Esistono dei valori appartenenti a [1; 5] che annullano la funzione? A No, perché essendo la funzione continua non si annulla mai. B Non possiamo rispondere: per il teorema di esistenza degli zeri dovremmo conoscere f 1 e f 5 . D Sì, per il teorema di esistenza degli zeri. Sì, perché tutte le funzioni continue che hanno massimo e minimo assoluti si annullano in almeno un punto. 34 32 La funzione f x x x 3 ammette uno zero in uno dei seguenti intervalli. Quale? A 1;0 . 3 B C D E 0;1 . 1; 2 . 2; 3 . 3; 4 . Idee per insegnare la matematica di Bergamini, Trifone, Barozzi Copyright © 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna Nella figura seguente è rappresentato il grafico di una funzione. Che tipo di discontinuità presenta la funzione nel punto x 3 ? A Di prima specie. B Di seconda specie. C Di terza specie. D Eliminabile. E Nessuna discontinuità, la funzione è continua in x 3 . No, perché 0 1;5 . C E 33 TEST DI FINE CAPITOLO Che tipo di discontinuità presenta la x 2 3x funzione f x nel punto x 2 ? x2 A Di prima specie. B Di seconda specie. C Di terza specie. D Eliminabile. E Nessuna discontinuità, la funzione è continua in x 2 . 5 15 LE FUNZIONI CONTINUE E IL CALCOLO DEI LIMITI 35 Nella figura seguente è rappresentato il grafico di una funzione. 37 TEST DI FINE CAPITOLO A Che tipo di discontinuità presenta la funzione nel punto x 1 ? A Di prima specie. B Di seconda specie. C Di terza specie. D Eliminabile. E Nessuna discontinuità, la funzione è continua in x 1 . 36 Che tipo di discontinuità presenta la funzione f x x 3x1 nel punto x 1 ? A B C D E Di prima specie. Di seconda specie. Di terza specie. Di quarta specie. Nessuna discontinuità, la funzione è continua in x 1 . Idee per insegnare la matematica di Bergamini, Trifone, Barozzi Copyright © 2012 Zanichelli Editore SpA, Bologna 38 x2 2 x 1 : x2 x ha due asintoti verticali di equazione x 1 e x 0 e un asintoto orizzontale di equazione y 1 . La funzione y B ha due asintoti verticali di equazione x 1 e x 0 e un asintoto obliquo di equazione y x . C ha due asintoti orizzontali di equazione x 1 e x 0 e un asintoto verticale di equazione y 1 . D ha un asintoto verticale di equazione x 0 e un asintoto obliquo di equazione y x . E non ha asintoti. x3 : x2 1 ha due asintoti verticali di equazione x 1 e x 1 e un asintoto orizzontale di equazione y 0 . La funzione y A B ha due asintoti verticali di equazione x 1 e x 1 e un asintoto obliquo di equazione y x . C non ha asintoti verticali mentre ha un asintoto orizzontale di equazione y 1 . D non ha asintoti verticali mentre ha un asintoto obliquo di equazione y x . E non ha asintoti. 6 15 LE FUNZIONI CONTINUE E IL CALCOLO DEI LIMITI TEST DI FINE CAPITOLO Soluzioni dei test 1. E. 2. C. 3. D. 4. E. 5. C. 6. C. 7. C. 8. A. 9. A. 10. D. 11. E. 12. A. 13. B. 14. C. 15. D. 16. A. 17. E. 18. D. 19. A. 20. D. 21. B. 22. D. 23. D. 24. D. 25. B. 26. C. 27. B. 28. C. 29. E. 30. C. 31. D. 32. C. 33. A. 34. B. 35. B. 36. E. 37. A. 38. D. 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