Testo e correzione della prova del 19 maggio.

LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di Bolzano
VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA
CLASSE 5a A- Indirizzo Scienze Sociali- FILA A
19/05/2014
1.
Sia data la funzione
x2 - x + 9
f (x) =
x
a)
con x Î R
determina il suo dominio e le sue intersezioni con gli assi cartesiani;
b) determina gli intervalli della retta reale nei quali f (x)> 0 e f (x)< 0 e scrivi le
equazioni dei suoi asintoti;
c) determina gli intervalli in cui è crescente/decrescente e gli eventuali massimi e
minimi relativi, stabilendo se sono anche assoluti. In base ai risultati ottenuti precedentemente, traccia in un sistema di assi cartesiani ortogonali un grafico probabile di essa.
2.
Fra tutti i rettangoli di area uguale a 36 cm2 trova, se esiste, quello di perimetro minimo.
1.
a) La funzione è razionale fratta e il suo dominio si ottiene imponendo il denominatore
diverso da zero; nel nostro caso D: x  0 ; troviamo le intersezioni con gli assi:
y  0

2
asse x 
x 2  x  9  x  x  9  0    1  36  35  0 e quindi non ci sono
y 
x

intersezioni con l'asse x.
asse y : nessuna intersezione perché x=0 è escluso dal dominio.
b) Per determinare il segno della funzione sfrutto il teorema della permanenza del segno di
una funzione continua e quindi basta sostituire dei valori all'interno della funzione
compresi tra gli zeri della stessa e i punti esclusi dal dominio:
________________-_____________0______________+__________________________
Calcoliamo f(-1)=
11 9
11 9
 0 e quindi f(x)<0 per x<0 mentre f(1)=
 9  0 e quindi
1
1
f(x)>0 per x>0.
Determiniamo gli asintoti della funzione:
Asintoti verticali.
x2  x  9  9 
lim
     e quindi x=0 è un asintoto verticale.
x 0
x
0
Asintoti obliqui.
Poiché il grado del numeratore è superiore di un'unità rispetto al grado del denominatore
allora la funzione ha un asintoto obliquo y=mx+q, che determiniamo con le formule viste a
lezione:
f  x
x2  x  9
x2
m= lim
 lim

lim
1
x 
x 
x  x 2
x
x2
 x2  x  9 
 x2  x  9  x2 
x
q= lim  f  x   mx   lim 
 x   lim 
 lim
 1

x 
x 
x
x

 x 
 x x
L'asintoto obliquo ha, pertanto, equazione y=x-1.
Determiniamo gli intervalli in cui la funzione è crescente/decrescente:
 2 x  1 x  x 2  x  9 x 2  9
f ' x 

.
x2
x2
I punti stazionari della funzione si trovano annullando il numeratore della derivata prima;
x 2  9  0 x= 3 ; stabiliamo, attraverso il segno della derivata prima e applicando il
teorema della permanenza del segno di una funzione continua, il segno della derivata
prima:
____________+____-3_______-___0______-____3_________+_________________


Basta studiare il segno del numeratore della derivata prima, in quanto il denominatore è
sempre positivo.
Chiamo g(x)= x 2  9 .
Si ha g  4  16  9  7  0
g  2  4  9  5  0
g  2  4  9  5  0
g  4  16  9  7  0
In definitiva f(x) è crescente per x<-3 e per x>3 mentre è decrescente per -3<x<0 e per
0<x<3.
939
La funzione avrà un massimo relativo nel punto x=-3 y=
 7 mentre avrà un
3
939
minimo relativo nel punto x=3 y=
 5 ; non sono punti di massimo e di minimo
3
assoluto poiché la funzione ha un asintoto obliquo e lim f  x    lim f  x    .
x 
x 
Ecco un grafico probabile della funzione:
2.
A=36cm2; poiché l'area di un rettangolo è uguale a b  h allora b  h  36 ; rinomino b con x
36
36 

allora h=
e quindi, poiché il perimetro p= 2   b  h  = 2   x   , per trovare quello
x
x 

72
minimo basta calcolare la derivata prima del perimetro con x   0;   ; si ha p '  x   2  2
x
2
2  72 x
e quindi p '  x  
allora p '  x   0 e quindi 2x 2  72  0 e x= 6 ; solo x=6 è
2
x
accettabile in quanto è positivo; il segno della derivata prima si ottiene studiando il segno
del numeratore 2  72x 2 .
_________________-____6________+_______
x=1 p ' 1  1  72  71 mentre per x=7 p '  7   49  36  13 ; in definitiva x=6 è un punto di
minimo relativo, che è anche assoluto in quanto la funzione è positiva. Il perimetro minimo
è 24 cm, che corrisponde al perimetro di un quadrato di lato 6cm.
LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di Bolzano
VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA
CLASSE 5a A- Indirizzo Scienze Sociali- FILA B
19/05/2014
1.
Sia data la funzione
x 2 - x + 25
f (x) =
x
a)
con x Î R
determina il suo dominio e le sue intersezioni con gli assi cartesiani;
b) determina gli intervalli della retta reale nei quali f (x)> 0 e f (x)< 0 e scrivi le
equazioni dei suoi asintoti;
c) determina gli intervalli in cui è crescente/decrescente e gli eventuali massimi e
minimi relativi, stabilendo se sono anche assoluti. In base ai risultati ottenuti precedentemente, traccia in un sistema di assi cartesiani ortogonali un grafico probabile di essa.
2.
Fra tutti i rettangoli di area uguale a 25 cm2 trova, se esiste, quello di perimetro minimo.
1.
a) La funzione è razionale fratta e il suo dominio si ottiene imponendo il denominatore
diverso da zero; nel nostro caso D: x  0 ; troviamo le intersezioni con gli assi:
y  0

2
asse x 
x 2  x  25  x  x  25  0    1  100  99  0 e quindi non ci sono
y 
x

intersezioni con l'asse x.
asse y : nessuna intersezione perché x=0 è escluso dal dominio.
b) Per determinare il segno della funzione sfrutto il teorema della permanenza del segno di
una funzione continua e quindi basta sostituire dei valori all'interno della funzione
compresi tra gli zeri della stessa e i punti esclusi dal dominio:
________________-_____________0______________+__________________________
1  1  25
1  1  25
 0 e quindi f(x)<0 per x<0 mentre f(1)=
 25  0 e
1
1
quindi f(x)>0 per x>0.
Calcoliamo f(-1)=
Determiniamo gli asintoti della funzione:
Asintoti verticali.
x 2  x  25  25 
lim
     e quindi x=0 è un asintoto verticale.
x 0
x
0
Asintoti obliqui.
Poiché il grado del numeratore è superiore di un'unità rispetto al grado del denominatore
allora la funzione ha un asintoto obliquo y=mx+q, che determiniamo con le formule viste a
lezione:
f  x
x 2  x  25
x2
m= lim
 lim

lim
1
x 
x 
x  x 2
x
x2
 x 2  x  25 
 x 2  x  25  x 2 
x
q= lim  f  x   mx   lim 
 x   lim 
 lim
 1

x 
x 
x
x

 x 
 x x
L'asintoto obliquo ha, pertanto, equazione y=x-1.
Determiniamo gli intervalli in cui la funzione è crescente/decrescente:
 2 x  1 x  x 2  x  25 x 2  25
f ' x 

.
x2
x2
I punti stazionari della funzione si trovano annullando il numeratore della derivata prima;
x 2  25  0 x= 5 ; stabiliamo, attraverso il segno della derivata prima e applicando il
teorema della permanenza del segno di una funzione continua, il segno della derivata
prima:
____________+____-5_______-___0______-____5_________+_________________


Basta studiare il segno del numeratore della derivata prima, in quanto il denominatore è
sempre positivo.
Chiamo g(x)= x 2  25 .
Si ha g  4  16  25  9  0
g  2  4  25  21  0
g  2  4  25  21  0
g  4  25  9  16  0
In definitiva f(x) è crescente per x<-5 e per x>5 mentre è decrescente per -5<x<0 e per
0<x<5.
25  5  25
La funzione avrà un massimo relativo nel punto x=-5 y=
 11 mentre avrà un
5
25  5  25
minimo relativo nel punto x=5 y=
 9 ; non sono punti di massimo e di minimo
5
assoluto poiché la funzione ha un asintoto obliquo e lim f  x    lim f  x    .
x 
x 
Ecco un grafico probabile della funzione:
2.
A=25cm2; poiché l'area di un rettangolo è uguale a b  h allora b  h  25 ; rinomino b con x
25
25 

allora h=
e quindi, poiché il perimetro p= 2   b  h  = 2   x   , per trovare quello
x
x 

50
minimo basta calcolare la derivata prima del perimetro con x   0;   ; si ha p '  x   2  2
x
2
2  50 x
e quindi p '  x  
allora p '  x   0 e quindi 2x 2  50  0 e x= 5 ; solo x=5 è
2
x
accettabile in quanto è positivo; il segno della derivata prima si ottiene studiando il segno
del numeratore 2  50x 2 .
_________________-____5________+_______
x=1 p ' 1  1  72  71 mentre per x=7 p '  7   49  36  13 ; in definitiva x=5 è un punto di
minimo relativo, che è anche assoluto in quanto la funzione è positiva. Il perimetro minimo
è 20 cm, che corrisponde al perimetro di un quadrato di lato 5 cm.