LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di Bolzano VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA CLASSE 5a A- Indirizzo Scienze Sociali- FILA A 19/05/2014 1. Sia data la funzione x2 - x + 9 f (x) = x a) con x Î R determina il suo dominio e le sue intersezioni con gli assi cartesiani; b) determina gli intervalli della retta reale nei quali f (x)> 0 e f (x)< 0 e scrivi le equazioni dei suoi asintoti; c) determina gli intervalli in cui è crescente/decrescente e gli eventuali massimi e minimi relativi, stabilendo se sono anche assoluti. In base ai risultati ottenuti precedentemente, traccia in un sistema di assi cartesiani ortogonali un grafico probabile di essa. 2. Fra tutti i rettangoli di area uguale a 36 cm2 trova, se esiste, quello di perimetro minimo. 1. a) La funzione è razionale fratta e il suo dominio si ottiene imponendo il denominatore diverso da zero; nel nostro caso D: x 0 ; troviamo le intersezioni con gli assi: y 0 2 asse x x 2 x 9 x x 9 0 1 36 35 0 e quindi non ci sono y x intersezioni con l'asse x. asse y : nessuna intersezione perché x=0 è escluso dal dominio. b) Per determinare il segno della funzione sfrutto il teorema della permanenza del segno di una funzione continua e quindi basta sostituire dei valori all'interno della funzione compresi tra gli zeri della stessa e i punti esclusi dal dominio: ________________-_____________0______________+__________________________ Calcoliamo f(-1)= 11 9 11 9 0 e quindi f(x)<0 per x<0 mentre f(1)= 9 0 e quindi 1 1 f(x)>0 per x>0. Determiniamo gli asintoti della funzione: Asintoti verticali. x2 x 9 9 lim e quindi x=0 è un asintoto verticale. x 0 x 0 Asintoti obliqui. Poiché il grado del numeratore è superiore di un'unità rispetto al grado del denominatore allora la funzione ha un asintoto obliquo y=mx+q, che determiniamo con le formule viste a lezione: f x x2 x 9 x2 m= lim lim lim 1 x x x x 2 x x2 x2 x 9 x2 x 9 x2 x q= lim f x mx lim x lim lim 1 x x x x x x x L'asintoto obliquo ha, pertanto, equazione y=x-1. Determiniamo gli intervalli in cui la funzione è crescente/decrescente: 2 x 1 x x 2 x 9 x 2 9 f ' x . x2 x2 I punti stazionari della funzione si trovano annullando il numeratore della derivata prima; x 2 9 0 x= 3 ; stabiliamo, attraverso il segno della derivata prima e applicando il teorema della permanenza del segno di una funzione continua, il segno della derivata prima: ____________+____-3_______-___0______-____3_________+_________________ Basta studiare il segno del numeratore della derivata prima, in quanto il denominatore è sempre positivo. Chiamo g(x)= x 2 9 . Si ha g 4 16 9 7 0 g 2 4 9 5 0 g 2 4 9 5 0 g 4 16 9 7 0 In definitiva f(x) è crescente per x<-3 e per x>3 mentre è decrescente per -3<x<0 e per 0<x<3. 939 La funzione avrà un massimo relativo nel punto x=-3 y= 7 mentre avrà un 3 939 minimo relativo nel punto x=3 y= 5 ; non sono punti di massimo e di minimo 3 assoluto poiché la funzione ha un asintoto obliquo e lim f x lim f x . x x Ecco un grafico probabile della funzione: 2. A=36cm2; poiché l'area di un rettangolo è uguale a b h allora b h 36 ; rinomino b con x 36 36 allora h= e quindi, poiché il perimetro p= 2 b h = 2 x , per trovare quello x x 72 minimo basta calcolare la derivata prima del perimetro con x 0; ; si ha p ' x 2 2 x 2 2 72 x e quindi p ' x allora p ' x 0 e quindi 2x 2 72 0 e x= 6 ; solo x=6 è 2 x accettabile in quanto è positivo; il segno della derivata prima si ottiene studiando il segno del numeratore 2 72x 2 . _________________-____6________+_______ x=1 p ' 1 1 72 71 mentre per x=7 p ' 7 49 36 13 ; in definitiva x=6 è un punto di minimo relativo, che è anche assoluto in quanto la funzione è positiva. Il perimetro minimo è 24 cm, che corrisponde al perimetro di un quadrato di lato 6cm. LICEO DELLE SCIENZE UMANE-ARTISTICO “G. Pascoli” di Bolzano VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA CLASSE 5a A- Indirizzo Scienze Sociali- FILA B 19/05/2014 1. Sia data la funzione x 2 - x + 25 f (x) = x a) con x Î R determina il suo dominio e le sue intersezioni con gli assi cartesiani; b) determina gli intervalli della retta reale nei quali f (x)> 0 e f (x)< 0 e scrivi le equazioni dei suoi asintoti; c) determina gli intervalli in cui è crescente/decrescente e gli eventuali massimi e minimi relativi, stabilendo se sono anche assoluti. In base ai risultati ottenuti precedentemente, traccia in un sistema di assi cartesiani ortogonali un grafico probabile di essa. 2. Fra tutti i rettangoli di area uguale a 25 cm2 trova, se esiste, quello di perimetro minimo. 1. a) La funzione è razionale fratta e il suo dominio si ottiene imponendo il denominatore diverso da zero; nel nostro caso D: x 0 ; troviamo le intersezioni con gli assi: y 0 2 asse x x 2 x 25 x x 25 0 1 100 99 0 e quindi non ci sono y x intersezioni con l'asse x. asse y : nessuna intersezione perché x=0 è escluso dal dominio. b) Per determinare il segno della funzione sfrutto il teorema della permanenza del segno di una funzione continua e quindi basta sostituire dei valori all'interno della funzione compresi tra gli zeri della stessa e i punti esclusi dal dominio: ________________-_____________0______________+__________________________ 1 1 25 1 1 25 0 e quindi f(x)<0 per x<0 mentre f(1)= 25 0 e 1 1 quindi f(x)>0 per x>0. Calcoliamo f(-1)= Determiniamo gli asintoti della funzione: Asintoti verticali. x 2 x 25 25 lim e quindi x=0 è un asintoto verticale. x 0 x 0 Asintoti obliqui. Poiché il grado del numeratore è superiore di un'unità rispetto al grado del denominatore allora la funzione ha un asintoto obliquo y=mx+q, che determiniamo con le formule viste a lezione: f x x 2 x 25 x2 m= lim lim lim 1 x x x x 2 x x2 x 2 x 25 x 2 x 25 x 2 x q= lim f x mx lim x lim lim 1 x x x x x x x L'asintoto obliquo ha, pertanto, equazione y=x-1. Determiniamo gli intervalli in cui la funzione è crescente/decrescente: 2 x 1 x x 2 x 25 x 2 25 f ' x . x2 x2 I punti stazionari della funzione si trovano annullando il numeratore della derivata prima; x 2 25 0 x= 5 ; stabiliamo, attraverso il segno della derivata prima e applicando il teorema della permanenza del segno di una funzione continua, il segno della derivata prima: ____________+____-5_______-___0______-____5_________+_________________ Basta studiare il segno del numeratore della derivata prima, in quanto il denominatore è sempre positivo. Chiamo g(x)= x 2 25 . Si ha g 4 16 25 9 0 g 2 4 25 21 0 g 2 4 25 21 0 g 4 25 9 16 0 In definitiva f(x) è crescente per x<-5 e per x>5 mentre è decrescente per -5<x<0 e per 0<x<5. 25 5 25 La funzione avrà un massimo relativo nel punto x=-5 y= 11 mentre avrà un 5 25 5 25 minimo relativo nel punto x=5 y= 9 ; non sono punti di massimo e di minimo 5 assoluto poiché la funzione ha un asintoto obliquo e lim f x lim f x . x x Ecco un grafico probabile della funzione: 2. A=25cm2; poiché l'area di un rettangolo è uguale a b h allora b h 25 ; rinomino b con x 25 25 allora h= e quindi, poiché il perimetro p= 2 b h = 2 x , per trovare quello x x 50 minimo basta calcolare la derivata prima del perimetro con x 0; ; si ha p ' x 2 2 x 2 2 50 x e quindi p ' x allora p ' x 0 e quindi 2x 2 50 0 e x= 5 ; solo x=5 è 2 x accettabile in quanto è positivo; il segno della derivata prima si ottiene studiando il segno del numeratore 2 50x 2 . _________________-____5________+_______ x=1 p ' 1 1 72 71 mentre per x=7 p ' 7 49 36 13 ; in definitiva x=5 è un punto di minimo relativo, che è anche assoluto in quanto la funzione è positiva. Il perimetro minimo è 20 cm, che corrisponde al perimetro di un quadrato di lato 5 cm.