Soluzioni del compito del 18 luglio 2014

FISICA GENERALE I A
Cognome
Corso di Studi
Voto
9 crediti
A.A. 2013-2014
Nome
Docente
10 crediti
18.7.2014
n. matr.
12 crediti
Esercizio n. 1 Un anello sottile di massa m è libero di muoversi senza attrito lungo una
guida lineare di lunghezza L che ruota su un piano orizzontale, intorno ad un asse verticale
passante per un suo estremo, con velocità angolare  mantenuta costante da un motore.
Inizialmente l’anello è tenuto fermo a metà della guida. L’anello viene quindi lasciato libero
di scorrere lungo la guida. Determinare il modulo della velocità dell’anello, rispetto ad un
sistema di riferimento fisso, quando esso raggiunge l’estremità della guida. Eseguire i calcoli
per: L = 1 m,  = 2 s-1

La velocità finale assoluta avrà una componente radiale e una tangenziale:
componente tangenziale: V = L = 2 m/s
Per la componente radiale possiamo applicare il teorema del lavoro e dell’energia cinetica alla forza centrifuga
nel sistema non inerziale solidale con la guida:
L
Tf 
1
L2
mVr2  m 2  rdr  m 2
2
4
L
 Vr 
3L
 1.73 m/s
2
2
Pertanto il modulo della velocità sarà:
V  Vr2  V2  2.65 m/s
Esercizio n. 2 Una sbarretta di lunghezza L e massa m ha un estremo incernierato ad una parete
verticale, a distanza L da O, mentre l’estremo opposto è collegato ad una molla fissata alla parete,
come in figura. Il sistema è in equilibrio quando la sbarretta è in posizione orizzontale. Determinare
la lunghezza a riposo della molla e il valore della reazione vincolare in O. Assumere: L=1m,
K=100N/m, m=5kg.
Quando la sbarretta è in equilibrio si ha:
𝑳
2
× 𝑚𝒈 + 𝑳 × 𝑭𝑒𝑙 =0
Essendo 𝑙 = 𝐿√2
→
1
𝑚𝑔
2
𝑹𝐸 =0 e 𝑴𝐸 =0,
quindi
= 𝑘(𝑙 − 𝑙0)sin 45°
𝑚𝑔
√2
si ha 𝑙0 = 𝑙 − 𝑘
= 1.06𝑚
Inoltre, dalla relazione 𝑹 + 𝑚𝒈 + 𝑭𝑒𝑙 = 0 si ottiene
𝑅𝑥 = 𝐹𝑒𝑙 cos 45° 𝑒 𝑅𝑦 = 𝑚𝑔 − 𝐹𝑒𝑙 sin 45°
, dunque 𝑅 = √(𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 ) = 34.6𝑁
L
l
O
L
Esercizio n. 3 Due sorgenti coerenti S1e S2 emettono onde sonore sferiche in fase tra loro, di
frequenza ν, velocità V e ampiezza A, nel verso positivo dell’asse x. Sapendo che in un generico
punto P la differenza di fase tra le due onde è 9𝜋, determinare la distanza tra le sorgenti e
l’ampiezza dell’onda risultante in P (trascurare la variazione dell’ampiezza con la distanza).
Nell’ipotesi che la sorgente S2 venga spostata indietro verso S1, calcolare la minima distanza tra le
due sorgenti in modo che in P si abbia la stessa ampiezza risultante del caso precedente.
Assumere: ν=1000Hz, V=1000m/s.
∆𝜑 = 𝑘∆𝑥 = 9𝜋
quindi ∆𝑥 =
9𝜋𝜆
2𝜋
= 4. 5
𝑉
𝜈
dunque Δ𝑥𝑚𝑖𝑛 =
P
S2
x
= 4.5 𝑚
Condizioni di interferenza distruttiva: ∆𝜑 = (2𝑚 + 1)𝜋
Δ𝑥𝑚𝑖𝑛 si ha per ∆𝜑 = 𝜋
S1
𝜆
2
quindi 𝐴 𝑇 = 2𝐴0 cos
Δ𝜑
2
=0
= 0.5 𝑚
Esercizio n. 4 10 moli di gas perfetto sono contenute insieme a una miscela di acqua e
ghiaccio fondente in un cilindro complessivamente adiabatico chiuso da un pistone mobile in
equilibrio con la pressione esterna atmosferica p0. Il sistema gas + miscela è all’equilibrio alla
temperatura T0. Il pistone viene quindi abbassato comprimendo reversibilmente il gas, sempre
in equilibrio termico con la miscela, fino al punto in cui una parte m della massa di ghiaccio si è
fusa. Calcolare: a) il volume finale del gas Vf. A questo punto il pistone viene lasciato libero
facendo espandere velocemente il gas fino a p0 con la solidificazione di una parte di massa m’ di
ghiaccio. Calcolare: b) m’ e c) la variazione di entropia della miscela acqua/ghiaccio. Si
trascurino le variazioni di volume dovute ai cambiamenti di stato del ghiaccio. Eseguire i
calcoli per: T0 = 273 K, m = 200 g, calore latente di fusione del ghiaccio  = 335 kJ/kg.
p0
acqua/ghiaccio
Il gas da uno stato di equilibrio iniziale con:
Ti  T0  273 K ;
pi  p0  101325 Pa ; Vi 
nRT0
 2.24 10 1 m 3
pi
 Vf
subisce una compressione isoterma reversibile in cui: L1  nRT0 ln 
 Vi
da cui: V f  Vi e

L1
nRT0

  Q  m  67 kJ ;

 0.0117 m 3
la successiva espansione irreversibile riporta il gas a uno stato ancora a T0 e quindi al volume iniziale:
L 2  p 0 Vi  V f   Q'  m'   21.5 kJ
,
S misc 
m m' 

 166.7 J / K
T0
T0

m' 
p 0 Vi  V f


 0.064 kg
FISICA GENERALE I - Prova B
Cognome
Nome
Corso di Studi
Voto
A.A. 2013-14
18 Luglio 2014
n. matricola
Docente
Esercizio n.1 Un corpo di massa m si muove su un piano orizzontale sotto l’azione di una forza conservativa
F=(-6x2ux+4uy)N. Nel punto A (0,0) il corpo ha velocità v0= -3uym/s. Calcolare la variazione di energia potenziale tra la
posizione A e la posizione B (-4,4) e il modulo della velocità del corpo quando arriva in B. Assumere m=2Kg; le coordinate
dei punti sono espresse in metri. Verificare inoltre che la forza sia conservativa.
Essendo W = -ΔU si ha
𝐵
−4
4
−4
4
2
𝑊 = ∫ 𝑭 ∙ 𝒅𝒔 = ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝐹𝑦 𝑑𝑦 = − 6 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑑𝑦 = 144𝐽
𝐴
Quindi ΔU = -144J.
0
0
0
0
Poiché
1
𝑊 = ∆𝐾 = 𝑚(𝑣𝐵2 − 𝑣𝐴2 )
2
si ha
2
2𝑊+𝑚𝑣𝐴
𝑣𝐵 = √
𝑚
= 12.4 𝑚/𝑠
La verifica sulla conservatività della forza si esegue calcolando che il rotore che deve risultare uguale a zero, infatti:
𝛁𝒙𝑭 =
𝒖𝒙
𝒖𝒚
𝜕
𝜕
𝒖𝒛
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝐹𝑧
=0
Esercizio n. 2 Un anello sottile di massa m e raggio R è appoggiato in quiete sopra un piano orizzontale
scabro. Un proiettile puntiforme anch’esso di massa m che viaggia con velocità orizzontale v urta e si conficca
nel punto più alto del bordo dell’anello. Assumendo che il moto del sistema anello+proiettile sia sempre di puro
rotolamento, si determini: a) l’energia dissipata nell’urto; b) la velocità angolare  del sistema quando l’anello è
ruotato di mezzo giro e quindi il proiettile si trova nel punto più basso a contatto col piano. Eseguire i calcoli
per: m = 2 kg, R = 10 cm, v = 10 m/s.
m

R
m
m
2
m
Nell’urto, completamente anelastico, non si conserva la quantità di moto perché il sistema non è isolato a causa
dell’attrito col piano. Invece si conserva il momento angolare rispetto al punto di contatto col piano:
v
2 Rm v  I'C  '  4mR 2  mR 2  mR 2  '   ' 
 33.3 s 1
3R
per cui l’energia dissipata è:

T 

1 2
1
1
2
2
mv  I'C  '  mv 2  3mR 2  '  33.3 J
2
2
2
Dopo mezzo giro, per la conservazione dell’energia meccanica:
2mgR 
1
1
2
I'C  ' 
I C 2
2
2
da cui:  
1
v2
2 gR 
R
3

2mgR  3mR 2  '
 59.4 s -1
2



1
2mR 2  2
2
Esercizio n. 3 Due sorgenti/ricevitori A e B emettono onde elastiche piane con la stessa ampiezza  e stessa
frequenza  in un mezzo con densità . B si allontana con velocità V da A, che è fermo. a) Calcolare la frequenza
dei battimenti percepita da A e quella percepita da B. Ad un certo istante B si ferma e smette di emettere onde: b)
calcolare l’intensità delle onde emesse da A misurata nella posizione occupata da B. Eseguire i calcoli
assumendo: velocità delle onde vs = 1000 m/s,  = 1 kHz, V = 50 m/s,  = 7000 kg/m3 m,  = 110-5 m.
La frequenza del suono ricevuto da A (proveniente da B) è:
A 
vs
  952.38 Hz
vs  V
sicché la frequenza dei battimenti è: v   A  47.62 Hz
La frequenza del suono ricevuto da B è:
B 
vs  V
  950.0 Hz
vs
v   B  50.0 Hz

Inoltre, l’intensità di un’onda piana è in qualsiasi punto dello spazio:
I 
1
v 2 2  13817 W/m 2
2
dove:   2  6283 s 1
Esercizio n. 4 Una mole di gas ideale biatomico passa dallo stato iniziale A allo stato finale C in
due diversi modi: a) attraverso una trasformazione isoterma reversibile AC; b) attraverso una p
A
trasformazione isobara reversibile AB, seguita da una adiabatica irreversibile BC. Calcolare, nei due
diversi casi, il lavoro compiuto dal gas, la variazione di energia interna e la variazione di entropia
dell’universo. Assumere TA=290K, TB=350K, pA=4·105Pa, pC=1·105Pa.
B
C
V
a) Trasformazione AB
𝑉
𝑊𝐴𝐶 = 𝑅𝑇𝐴 𝑙𝑛 𝑉𝐶 = 3352𝐽 con 𝑉𝐴 =
𝐴
∆𝑈𝐴𝐶 = 0
𝑅𝑇𝐴
𝑝𝐴
= 6 ∙ 10−3 𝑚3 𝑒 𝑉𝐶 =
𝑅𝑇𝐴
𝑝𝐶
= 24.1 ∙ 10−3 𝑚3
∆𝑆𝑈 = 0
b) Trasformazioni AB+BC
𝑅𝑇
𝑊𝐴𝐵 = 𝑝𝐴 (𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 ) = 𝑝𝐴 ( 𝑝 𝐵 − 𝑉𝐴 ) = 510𝐽
𝐴
𝑊𝐵𝐶 = − 𝛥𝑈𝐵𝐶 = 𝑐𝑉 (𝑇𝐵 − 𝑇𝐴 ) = 1247𝐽
𝑊𝐴𝐶 = 𝑊𝐴𝐵 + 𝑊𝐵𝐶 = 1757𝐽
∆𝑈𝐴𝐶 = 0
𝑇
𝑉
∆𝑆𝑈 = 𝛥𝑆𝐵𝐶𝑔𝑎𝑠 = 𝑐𝑉 𝑙𝑛 𝑇𝐶 + 𝑛𝑅 𝑙𝑛 𝑉𝐶 = 6.0 𝐽/𝐾
𝐵
𝐵
FISICA GENERALE VP
A.A. 2013-2014
Nome
Docente
Cognome
Corso di Studi
Voto
18.7.2014
n. matricola
10 CFU
Esercizio n. 1 Un corpo di massa m viene spinto lungo un piano inclinato (α=20°) scabro tramite
una forza F diretta orizzontalmente. Calcolare il modulo della forza se si vuole che il corpo salga
a velocità costante. Assumere: m=100kg, μd=0.2.
m
F
α
Se il modulo della velocità è costante, l’accelerazione sul corpo deve essere nulla, quindi
𝐹 cos 𝛼 − 𝜇𝑑 𝑁 − 𝑚𝑔 sin 𝜗 = 0
e
𝐹 sin θ + 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑁 = 0
Da qui si ha 𝐹 = 𝑚𝑔
sin ϑ + μd cos 𝜃
cos 𝜗−𝜇𝑑 sin 𝜃
= 597 𝑁
Esercizio n. 2 Una certa quantità di gas biatomico è contenuta in un recipiente chiuso da un pistone di massa trascurabile e
libero di muoversi senza attrito. A temperatura TA e pressione pA il gas occupa il volume VA. Si sottrae reversibilmente al
gas una quantità di calore Q, a pressione costante. Calcolare la temperatura finale. Assumere: T A=300 K, pA=105Pa,
VA=5∙10-3m3, Q=1.67∙102J.
n=
pA VA
RTA
= 0.2 moli
Trasformazione isobara, quindi
7
−Q = ncP ∆T con 𝑐𝑃 = 2 𝑅
Dunque ∆𝑇 = −28.7 𝐾 e 𝑇𝑓𝑖𝑛 = 271 𝐾.
Esercizio n. 3 Dato un campo elettrostatico E=axux (con a costante) determinare:
a) la carica Q contenuta all’interno del cubo di spigolo L
b) la ddp V(B)-V(O)
Utilizzare per i calcoli L=0.1 m, a=103 V/m2
a) Dal teorema di Gauss Q   0  E  ndS  0 aLL2   0 aL3  8.87 x10 12 C
b) Sul segmento OB il campo è nullo.
V(B)-V(O)=0
Esercizio n. 4 Tre fili rettilinei indefiniti percorsi da corrente sono disposti parallelamente
sullo stesso piano, come indicato in figura. Il filo intermedio è percorso da una corrente i e
dista d dal filo percorso dalla corrente i1 e 3d dal filo percorso dalla corrente i2. Calcolare
il valore di i2 affinchè la forza agente sul filo centrale sia nulla, sapendo che il modulo
della circuitazione del campo magnetico lungo una linea intorno al solo filo 1 vale
C1=5∙10-7Tm.
i1
i
d
i2
3d
x
1
Le forze esercitate sul filo centrale dagli altri due sono entrambe repulsive, quindi, per un tratto di filo l si ha
𝑭𝒓𝒊𝒔 = 𝑖𝒍 x 𝐁𝟏 + 𝑖𝒍 x 𝐁𝟐 = 0
La condizione da imporre è dunque 𝐹𝑟𝑖𝑠 = 𝐹1 − 𝐹2 =
𝑖𝑙𝜇0 𝑖1
(
2𝜋 𝑑
−
𝑖2
)
3𝑑
= 0 da cui 𝑖2 = 3𝑖1
Dalla legge della circuitazione di Ampère si ha
𝐶1 = ∮ 𝑩 ∙ 𝒅𝒍 = 𝜇0 𝑖1 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖 𝑖1 =
𝐶1
𝜇0
in cui la circuitazione è calcolata lungo un qualsiasi cammino chiuso che concatena il filo 1.
𝐶
Si ottiene allora: 𝑖2 = 3 𝜇1 = 1.19 𝐴
0
2