La seconda congettura di Morfeo

La seconda congettura di Morfeo
Di Cristano Armellini, [email protected]
Teorema 1
Se A-B = M con M primo allora MCD(A,B)= 1 oppure MCD(A,B)= M.
Dim del teorema 1
Dalle ipotesi 𝐴 = 𝑑𝑎1 , 𝐵 = 𝑑𝑎2 ; 𝑀𝐶𝐷(𝐴, 𝐵) = 𝑑 allora deve accedere che 𝑑 = 𝑎
𝑀
1 −𝑎2
, quindi 𝑎1 − 𝑎2 deve
dividere M ma M è primo (gli unici divisori sono M stesso e l’unità) quindi deve avvenire che o 𝑎1 − 𝑎2 = 1
oppure 𝑎1 − 𝑎2 = 𝑀 nel primo caso abbiamo d = M nel secondo d = 1)
Come caso particolare (ovvio) possiamo dire che se M=1 => d =1 => MCD(A, B) =1
Vale inoltre:
Corollario (Morfeo) due numeri dispari consecutivi sono sempre primi tra loro
Dim (corollario): ovvio per il teorema 1 ponendo M = 2 e essendo A, B dispari si deduce che MCD(A,B)=1
perché se fosse MCD(A,B)=2 , A e B sarebbero pari contro l’ipotesi iniziale)