La seconda congettura di Morfeo
Di Cristano Armellini, [email protected]
Teorema 1
Se A-B = M con M primo allora MCD(A,B)= 1 oppure MCD(A,B)= M.
Dim del teorema 1
Dalle ipotesi π΄ = ππ1 , π΅ = ππ2 ; ππΆπ·(π΄, π΅) = π allora deve accedere che π = π
π
1 −π2
, quindi π1 − π2 deve
dividere M ma M è primo (gli unici divisori sono M stesso e l’unità) quindi deve avvenire che o π1 − π2 = 1
oppure π1 − π2 = π nel primo caso abbiamo d = M nel secondo d = 1)
Come caso particolare (ovvio) possiamo dire che se M=1 => d =1 => MCD(A, B) =1
Vale inoltre:
Corollario (Morfeo) due numeri dispari consecutivi sono sempre primi tra loro
Dim (corollario): ovvio per il teorema 1 ponendo M = 2 e essendo A, B dispari si deduce che MCD(A,B)=1
perché se fosse MCD(A,B)=2 , A e B sarebbero pari contro l’ipotesi iniziale)
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