CAMBIAMENTI DI REGISTRI: GRAFICO, SIMBOLICO, RETORICO
Nell’affrontare un problema si utilizzano, a volte contemporaneamente, diverse modalità, per poi
giungere, una volta intravista una possibile via di soluzione (pensiero anticipatorio, cfr. lucido
Lezioni 2.18), alla sistemazione del procedimento risolutivo.
L’attività di problem solving osservata e descritta nei primi quattro punti trae spunto da un
problema proposto nelle Lezioni (cfr. lucidi 2.12 – 2.17).
Gli esercizi proposti nella seconda parte mirano a favorire lo sviluppo della capacità di esprimere
con diversi registri le proprietà di una funzione ed, in particolare, la “abilità ad analizzare una
tabella dei valori di una funzione o un grafico per interpretare condizioni enunciate verbalmente, al
fine di identificare la probabile forma di un’espressione algebrica che esprima lo schema
appropriato” (cfr. lucidi Lezioni 3.7 – 3.8)
Un problema di massimo: il problema del recinto
Due ragazzi costruiscono un recinto di forma rettangolare. Avanza loro della rete metallica e
cercano quindi un modo per ingrandire il più possibile il recinto. Uno (A) vuole usare tutta la rete
per aumentare la larghezza, l’altro (B) per aumentare la lunghezza. Interviene il padre di A
(insegnante di matematica) che dà ragione al figlio; il padre di B (muratore) sostiene invece che è
indifferente. Chi ha ragione?
Il problema è stato proposto sia in una seconda che in una quinta classe di liceo scientifico, e si sono
osservate analogie e differenze nell’approccio al problema. Descriviamo qui l’esperienza nella
quinta liceo.
Gli alunni hanno interpretato correttamente il testo, spesso aiutati da una figura rappresentativa del
recinto, intendendo che il lato del rettangolo che non viene allungato viene “spostato” per chiudere
il nuovo rettangolo. Inoltre si sono resi conto che “lunghezza” e “larghezza” sono termini
convenzionali e che la questione è meglio posta se ci si riferisce a “lato minore” e “lato maggiore”.
Come era da aspettarsi, sono state effettuate verifiche solo di tipo grafico o algebrico, oppure sono
stati integrati questi due metodi: dopo aver disegnato il rettangolo ed aver ragionato sulla figura, è
stata subito data una giustificazione algebrica, determinando l’incremento dell’area nei due casi e
notando che, se 2c è la lunghezza della rete metallica ed a, b le dimensioni iniziali del recinto, si ha
(b + c)a > (a + c)b se a > b, cioè se si lascia fisso il lato maggiore.
a
b
c
b
c
a
Si è aperta la via ad un interessante approfondimento considerando la possibilità di allungare
entrambi i lati del recinto, “spostando” due lati consecutivi del rettangolo di partenza.
Nella discussione in classe si è fatto notare, infatti, che il recinto ha area massima se ha forma
quadrata (cfr. problema 1) e si è chiesto sotto quali condizioni per c si può costruire un quadrato e,
in tal caso, come vanno aumentate le dimensioni del rettangolo di partenza.
Si è osservato, allora, che si può costruire il quadrato se è c b a, e che in tal caso, detti x e c x,
gli incrementi dei due lati, per avere il quadrato dev’essere b + x = a + c x, e quindi
x = (a b + c)/2.
Una variazione sul problema del recinto
[Prerequisiti: disequazioni, equazione e rappresentazione cartesiana della parabola]
Si è chiesto di risolvere il problema del recinto anche nel caso in cui il lato che non viene allungato
viene “eliminato”. In tal caso la rete metallica avanzata deve coprire tre lati del rettangolo che viene
aggiunto al recinto.
Gli studenti hanno lavorato in gruppi di tre persone ed hanno messo in atto diverse strategie
risolutive. Durante il lavoro dei gruppi l’insegnante è intervenuto portando dei controesempi, nel
caso in cui il risultato trovato fosse errato, o aiutando a trarre delle conseguenze dalle osservazioni
fatte dagli alunni, che potessero far superare i momenti di impasse. Nel seguito la misura della rete
metallica avanzata sarà indicata con c.
Strategie risolutive osservate:
(i)
a
b
(ca)/2
(cb)/2
A1
b
A2
a
Alcuni alunni hanno determinato l’incremento dell’area del rettangolo nei due casi:
A1 = b(c b)/2, A2 = a(c a)/2 ed hanno studiato la disequazione A1 < A2, giungendo alla forma
a2 b2 < c(a b); semplificando per a b, se è a > b, hanno concluso che dev’essere a + b < c, ma
non hanno saputo interpretare il risultato per concludere quale lato va aumentato.
(ii) Alcuni alunni hanno determinato l’area totale del rettangolo incrementato, sempre nei due casi
previsti dal problema, A’ = (2ab + ac a2)/2, A” = (2ab + bc b2)/2, ed hanno cercato
un’interpretazione geometrica dei termini presenti nella formula, ma hanno poi trovato questa strada
difficilmente gestibile. Allora hanno corretto il tiro, calcolando gli incrementi come nel punto (i) e,
contemporaneamente hanno congetturato, procedendo per tentativi numerici, che, nel caso in cui è a
> b, come in figura, A1 < A2, cioè e maggiore l’incremento di area che si ottiene allungando il lato
di misura a, se è a + b < c.
Con un procedimento di analisi e sintesi, allora, hanno ricostruito la catena di implicazioni:
a + b < c, da cui, supposto a > b, si ha (a b)(a + b) < (a b)c, a2 b2 < ac bc, bc b2 < ac a2,
b(c b)/2 < a(c a)/2 e quindi A1 < A2.
(iii) Qualche alunno ha iniziato a risolvere il problema per particolari valori attribuiti alle misure dei
lati e della rete metallica aggiunta ed ha costruito una tabella di valori, o fissando una dimensione
del rettangolo, per limitare le variabili, e facendo variare l’altra, oppure facendo variare entrambe le
dimensioni, ma scambiando così il significato dei simboli usati.
In entrambi i casi hanno pensato di costruire un grafico rappresentativo, ma hanno avuto difficoltà
ad interpretarlo.
(iv) Alcuni alunni, dopo aver espresso in formula l’incremento dell’area come al punto (i), si sono
resi conto che l’espressione era la stessa per entrambi i casi e che, detta x la misura di uno dei due
lati del rettangolo, l’incremento dell’area che si ottiene allungando l’altro lato è y = x(c x)/2.
Rappresentando questa funzione nel piano cartesiano ed esaminando il grafico, gli studenti hanno
osservato che gli incrementi dell’area sono uguali se le dimensioni a, b del rettangolo hanno come
valore medio c/2, e che l’incremento dell’area è tanto maggiore quanto più la misura x del lato che
resta fisso, si avvicina a c/2. Conviene pertanto allungare il lato la cui misura è più lontana da c/2.
Una generalizzazione del problema del recinto
[Prerequisiti: disequazioni, eventualmente equazione e rappresentazione cartesiana della funzione
affine]
I lati di un rettangolo vengono incrementati, l’uno secondo un fattore h e l’altro secondo un fattore
k. Come varia l’area del rettangolo?
E’ chiaro che il problema ha senso per h > 1 e k > 1 e che l’area aumenta se h e k sono entrambi
positivi; ha senso porsi il problema, dunque per h e k discordi.
Possibili approcci risolutivi al problema
- Esplorazione grafica
L’alunno può provare a raddoppiare, triplicare, ecc, un lato ed osservare che l’area resta invariata se
l’altro lato viene dimezzato, diventa un terzo del lato iniziale, ecc. Quindi l’area aumenta solo se il
secondo lato diminuisce meno della metà, meno dei 2/3 , ecc.
1 a
a
h=1
k = 1/2
(k > 1/2)
b/2
b
2
a
a
b
b/3
h=2
k = 2/3
(k > 2/3)
b
- Esplorazione numerica
L’alunno può costruire una tabella di valori, attribuendo diversi valori agli elementi del problema
(può far variare tutti gli elementi, oppure può rendersi conto che la soluzione è indipendente dalle
dimensioni iniziali del rettangolo; ancora, può accorgersi che il problema è simmetrico e far variare
solo uno tra h e k).
Entrambe le esplorazioni possono sfociare, poi, in un
-
Approccio algebrico
a
b
kb
ha
Dette A ed A’ rispettivamente l’area del rettangolo dato e l’area del rettangolo i cui lati sono stati
incrementati, in generale è A’ > A se (a + ha)(b + kb) > ab, cioè se a(1 + h)b(1 + k) > ab, da cui si
ricavano le seguenti disuguaglianze:
h
(1 + h)(1 + k) > 1, h + k + hk > 0, k(h + 1) > h, ed essendo h > 1, si ha k
.
h 1
Ed è interessante osservare, cosa generalmente non banale per gli studenti, che nella formula
(1 + h)(1 + k) che esprime il rapporto tra le aree, h, k possono essere negativi.
h
Le condizioni trovate, k
, h 1 , possono essere interpretate graficamente in un
h 1
riferimento cartesiano Ohk come la parte di piano “sovrastante” un opportuno arco di iperbole.
k
1
O
h
1
Un’ulteriore variazione
[Prerequisiti: equazione e rappresentazione cartesiana della parabola]
Aggiungiamo un vincolo al problema precedente, per esempio la condizione h + k = c con c reale
fissato (per c = 0 si ritrova il problema riportato nella sintesi delle lezioni) e chiediamoci:
Per quali valori di h e k si ottiene il massimo incremento dell’area?
Il rapporto tra le aree, cioè l’incremento relativo, si può esprimere in funzione di c, sostituendo, per
A
1 c h (c h ) .
esempio, k = c h,
A'
Studiando il grafico di tale funzione, y = (1 + c) + ch h2, si trova il massimo per h = k = c/2.
Osserviamo che un analogo metodo può essere applicato allo studio della propagazione degli errori
nel prodotto.
Risoluzione approssimata di equazioni
La seguente attività fa parte di una sperimentazione sull’utilizzo in classe di calcolatrici graficosimboliche che presentano svariate potenzialità e che possono, se utilizzate nella didattica
quotidiana, modificare in modo significativo l’insegnamento-apprendimento della matematica.
Scheda attività
Classe
4a liceo scientifico P.N.I
Tempi
2h di lavoro di gruppo + 1h discussione in classe
Modalità di utilizzo della calcolatrice a piccoli gruppi – attività di ricerca
Argomento Risoluzione approssimata di equazioni
Obiettivi
utilizzo delle funzioni del menu Math della calcolatrice
utilizzo del grafico di una funzione per ricavarne le caratteristiche e risolvere
equazioni e disequazioni
Descrizione dell’attività:
Questa attività nasce dalla richiesta di un alunno, dopo che in classe nel corso dell’anno era già stato
affrontato il problema della risoluzione approssimata di equazioni sia algebriche che trascendenti ed
era stato presentato il metodo di bisezione e realizzato l’algoritmo in linguaggio Pascal. La classe
aveva già una discreta dimestichezza con alcuni ambienti della calcolatrice che era stata utilizzata
durante l’anno per affrontare altri argomenti, è stato quindi abbastanza ovvio domandarsi quale
utilizzo se ne poteva fare per risolvere il problema delle soluzioni approssimate di un’equazione.
Vengono assegnate le seguenti proposte di lavoro:
PL1
Rappresenta la seguente funzione y x3 sen x e calcolane insieme di definizione, zeri e segno.
PL2
Risolvi l’equazione senx=x . Generalizza la questione discutendo il numero di soluzioni
dell’equazione senx=mx al variare di m nell’insieme dei numeri reali e di x nell’intervallo [-,].
La classe abituata alla risoluzione grafica di equazioni e disequazioni risolve con facilità la prima
proposta di lavoro, sfruttando i diversi ambienti della calcolatrice. Riportiamo alcune videate
presentate dai gruppi di lavoro:
Gruppo 1
Il gruppo utilizza il grafico della funzione per rispondere alle domande della proposta di lavoro e in
particolare l’ambiente Math per trovare gli zeri della funzione
Riconosce graficamente e algebricamente la simmetria centrale del grafico e quindi lavora solo per
x>0.
Gruppo 2
Questo gruppo preferisce utilizzare le due funzioni y x 3 e y senx e interpreta gli zeri della
y x3
funzione y x 3 senx come soluzioni del sistema
y senx
Utilizza ancora l’ambiente Math, ma per trovare l’intersezione tra le due curve
Anche questo gruppo riconosce graficamente e motiva algebricamente la simmetria centrale delle
due curve e quindi lavora per x>0.
Sulla seconda proposta di lavoro la classe è un po’ divisa, il problema principale non è tanto trovare
le soluzioni dell’equazione senx x quanto riconoscere la tangenza tra le curve di equazione
y senx e y x in x=0. Solo tre gruppi su cinque si pongono il problema della tangenza, ma
mentre un gruppo si accontenta solo di un’analisi grafica e approssimata della condizione di
tangenza, due gruppi riescono a sfruttare con intelligenza gli ambienti della calcolatrice per
dimostrare la condizione. Presentiamo le videate relative a questi due gruppi:
grafico delle funzioni y senx e y x
tabulazione delle due funzioni in un intorno di 0
tramite l’ambiente Table della calcolatrice. Questa analisi conferma le impressioni avute dal
grafico, ma non convince del tutto.
Il gruppo pensa allora di utilizzare nel menu Math, il comando che permette di calcolare
l’equazione della retta tangente ad una curva in un punto.
il risultato convince definitivamente delle
intuizioni avute dal grafico e dalla rappresentazione tabellare delle funzioni. I due gruppi in
questione dimostrano di saper operare frequenti cambiamenti di registro, in modo opportuno
quando la situazione lo richiede.
Una volta individuata la tangenza è semplice rispondere anche alla seconda parte della proposta di
lavoro analizzando graficamente alcuni casi:
y 2 x e y senx ( caso m>1)
y
1
x e y senx (caso 0m<1)
2
Il caso m<0 risulta ovvio.
Questa attività ha offerto svariati spunti di riflessione nati da domande dei ragazzi durante la
presentazione delle soluzioni dei vari gruppi di lavoro. Le domande hanno permesso all’insegnante
di introdurre nuovi argomenti o far riferimento a concetti che saranno sviluppati successivamente.
Proponiamo due delle domande più significative:
se non fosse possibile utilizzare il comando Tangent dell’ambiente Math, come si potrebbe
trovare l’equazione della retta tangente alla curva y senx nel punto x=0 ? (problema della
determinazione della retta tangente ad una curva qualsiasi - concetto di derivata)
se la funzione y senx fosse considerata in tutto R invece che solo nell’intervallo [-,], il
numero di soluzioni dell’equazione senx=mx cambierebbe al variare di m ? In questo caso
come trovare gli intervalli di variazione di m ? (problema della individuazione, in un fascio
proprio di rette, della retta tangente ad una curva qualsiasi)
Altri problemi
Gli obiettivi principali di questi esercizi sono:
favorire la comprensione di alcune proprietà delle funzioni espresse in linguaggio naturale
per poterle poi tradurre ed interpretare come proprietà dei grafici delle funzioni stesse
saper ricavare dai grafici le proprietà principali delle funzioni da essi rappresentate
saper individuare dal grafico la formula da esso rappresentata
Per ognuno dei seguenti esercizi devi costruire il grafico di una funzione soddisfacente le
condizioni espresse:
1) funzione pari, discontinua in x = 2, ovunque positiva, con asintoto verticale x = 4 e asintoto
orizzontale y = 1
2) funzione dispari, con asintoto verticale x = 1, tale che f(5) = 1, con insieme di
definizione: x , x 3 e x 1
3) funzione inferiormente limitata dall’asintoto orizzontale y = 1, discontinua in x = 3, tale
1
che f (0) , i suoi zeri sono x = 7, x = 1, x = 2
2
4)funzione dispari, ovunque crescente, tendente a + per x tendente a +, con insieme di
3
definizione x , x
2
5) funzione dispari, con discontinuità di prima specie in x = 1 con salto pari a 2, insieme di
definizione \ 0, tendente a 0 per x tendente a +, tendente a per x tendente a 0 da
destra
6) funzione definita in \ 1, con discontinuità di prima specie in x = 2 con salto pari a 1,
3
1 3
f ( 2) , lim f ( x) 0 , lim f ( x) , minimo in A( , ) , discontinuità di terza
x
1
x
1
2
2 2
specie in x=2, f(2)=1
7) funzione definita in , con lim f ' ( x) 1 , lim f ' ( x) 2 , lim f ' ( x) ,
x 0
x 0
x 5
lim f ' ( x)
x 5
Alcuni di questi esercizi possono essere affrontati anche in una classe terza di liceo scientifico
8) Descrivi le caratteristiche delle funzioni corrispondenti ai grafici della figura .
Questi grafici corrispondono alle tre espressioni numeriche
1
y
y x4 x2
1 x2
Associa ad ogni grafico l’espressione più appropriata.
(Syllabus di matematica 1999)
y
1
x
9) Nella figura sono disegnati i grafici di tre funzioni biettive e le loro inverse. Sono inoltre
disegnati i grafici di due funzioni non invertibili e il grafico di una funzione che coincide con la
sua inversa. Individua le due funzioni non invertibili, quella che coincide con la sua inversa e le
coppie di funzioni l’una inversa dell’altra.
(a)
(b)
(c)
(e)
(g)
(d)
(f)
(h)
(i)
(Syllabus di matematica 1999)
10) Scrivi a fianco di ogni grafico l’equazione della funzione da esso rappresentata:
11) Dati dei punti nel piano cartesiano scrivere l'equazione di una curva che passi il più possibile
vicino a questi.
Il testo del problema, come si può vedere, non è ben definito. Richiede, da parte del risolutore,
alcune precisazioni iniziali: che cosa vuol dire "il più vicino possibile"? "Di che tipo può essere la
curva?". È anche importante scegliere gli strumenti per risolverlo. Nella lezione sono stati presentati
alcuni lucidi che riportavano una possibile soluzione del problema ottenuta con DERIVE. Qui di
seguito riportiamo alcune schermate che contengono i comandi di DERIVE che sono stati usati per
affrontare e risolvere il problema.
Indovina la curva!
Supponiamo che si ricerchi, fra le varie curve possibili, una parabola. La scelta è dettata dal fatto
che abbiamo immaginato di proporre l’esercizio a studenti di biennio.
FASE 1 (Definizione dell’insieme di punti della funzione da “indovinare”)
Selezionare Author, digitare ad es. VECTOR([x, 9/10·x^2 - 16/5·x + 19/10], x, 2, 3, 1).
Selezionare Simplify.
Si ottiene un “vettore di punti” che ora andremo a tracciare.
FASE 2 (rappresentazione grafica dei punti)
Selezionare Plot; selezionare Options Points; nel campo Connect selezionare No, nel campo Size
selezionare Large. Confermare con OK. Questo serve per rendere i punti ben visibili sullo schermo.
Selezionare Plot. Se necessario modificare la scala con l’apposito tasto (4 frecce in croce
divergenti). Appare un insieme di punti sul piano.
FASE 3 (Divisione dello schermo in due parti)
Tornare all’ambiente di Algebra (ultima icona a destra); selezionare Window, Tile Vertically.
Appare uno schermo come il seguente. Se necessario, riaggiustare la scala: cliccare sulla finestra di
grafica, selezionare Options Grids e modificare i valori Horizontal e Vertical (10 e 10 dovrebbe
andare bene, ma dipende dallo schermo e dalla risoluzione).
FASE 4: Tentativi
Tornare all’ambiente di Algebra, selezionare Author e digitare, ad esempio, x^2 + x+ 1. (y=
può essere sottinteso)
Selezionare Plot per passare all’ambiente di grafica, poi ancora Plot per tracciare il grafico delle
funzione.
Se lo si vuole cancellare, selezionare Edit, Delete Plot, Last o, più semplicemente premere il tasto
Canc.
Tornare all’ambiente di Algebra, scrivere un’altra funzione polinomiale, ad esempio x^2-x-1,
tracciare, cancellare e fare un nuovo tentativo.
Alla fine, x^2 - 3·x + 1 può essere una soluzione ragionevolmente “vicina” a quella proposta.
