01 Euclide_rad2 - TED

La dimostrazione per assurdo
La dimostrazione per assurdo in matematica è uno strumento utile per dimostrare certi teoremi. Essa
procede secondo i seguenti passi:
1. Si suppone che il teorema sia falso
2. Si fa vedere, mediante ragionamenti corretti, che possono essere anche molto lunghi e
complicati, che la negazione del teorema porta a una contraddizione.
3. La contraddizione implica che il teorema non può essere falso, quindi deve essere vero. La
dimostrazione finisce a questo punto.
negazione del teorema

contraddizione
verità del teorema
Nelle pagine seguenti vedremo come Euclide usò questo metodo per dimostrare che la radice
quadrata di 2 non è un numero razionale. Numeri di questo tipo sono oggi chiamati numeri
irrazionali.

I Greci non volevano usare questo tipo di numeri e non sapevano darsi pace del fatto che la
diagonale del quadrato non fosse esprimibile, in rapporto al lato, come rapporto di numeri
interi. Dal teorema di Pitagora consegue infatti che d  l  2
Euclide e i numeri irrazionali pag.1 di 5
TEOREMA DI EUCLIDE SULLA RADICE DI 2
2 non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi.
DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione procede per assurdo.
Fase 1: NEGAZIONE DEL TEOREMA
Supponiamo che il teorema sia falso.
a
Possiamo anche supporre che a, b non
b
abbiano divisori comuni perché, se li avessero, potremmo sempre ridurre la frazione ai minimi
termini..
Esisteranno allora due numeri interi a, b tali che
2
Fase 2: RAGIONAMENTO CHE PORTA A UNA CONTRADDIZIONE
2
a
b
2
elevando al quadrato abbiamo:
a2
b
2
 a 2  2b 2
*
Ma questo implica che a2 è multiplo di 2, il che può succedere solo se lo stesso a è multiplo di 2.
Dato che a è multiplo di 2 possiamo scrivere:
dove k è un numero intero.
* *
Sostituendo nella relazione * otteniamo:
a  2k
2k 2  2b 2

4k 2  2b 2

2k 2  b 2
Ma questo implica che b2 è multiplo di 2, il che può succedere solo se lo stesso b è multiplo di 2.
Abbiamo quindi ricavato che a, b sono entrambi multipli di 2, cosa che porta a una contraddizione
dato che avevamo supposto nella fase 1 che a, b non avessero divisori comuni.
La contraddizione ci porta ad affermare che il teorema non può essere falso, quindi deve essere vero.
Il teorema è dimostrato.
……………………………………………………………………………………………………………
Il teorema testé dimostrato equivale a dire che
2 non è un numero razionale. Da qui sorse la
necessità di allargare il sistema numerico fino a comprendere numeri che non sono razionali,
chiamati perciò numeri irrazionali.
È importante sottolineare che lo stesso tipo di dimostrazione può essere usato per dimostrare che
anche numeri come
3,
5,
3
7 etc. sono numeri irrazionali. Nelle pagine seguenti vediamo come
si procede.
Euclide e i numeri irrazionali pag.2 di 5
TEOREMA SULLA RADICE DI 3
3 non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi.
DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione procede per assurdo.
Fase 1: NEGAZIONE DEL TEOREMA
Supponiamo che il teorema sia falso.
a
Possiamo anche supporre che a, b non
b
abbiano divisori comuni perché, se li avessero, potremmo sempre ridurre la frazione ai minimi
termini..
Esisteranno allora due numeri interi a, b tali che
3
Fase 2: RAGIONAMENTO CHE PORTA A UNA CONTRADDIZIONE
3
a
b
3
elevando al quadrato abbiamo:
a2
b
2
 a 2  3b 2
*
Ma questo implica che a2 è multiplo di 3, il che può succedere solo se lo stesso a è multiplo di 3.
Dato che a è multiplo di 3 possiamo scrivere:
dove k è un numero intero.
* *
Sostituendo nella relazione * otteniamo:
a  3k
3k 2  3b 2

9k 2  3b 2

3k 2  b 2
Ma questo implica che b2 è multiplo di 3, il che può succedere solo se lo stesso b è multiplo di 3.
Abbiamo quindi ricavato che a, b sono entrambi multipli di 3, cosa che porta a una contraddizione
dato che avevamo supposto nella fase 1 che a, b non avessero divisori comuni.
La contraddizione ci porta ad affermare che il teorema non può essere falso, quindi deve essere vero.
Il teorema è dimostrato.
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Euclide e i numeri irrazionali pag.3 di 5
TEOREMA SULLA RADICE DI 12
12 non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi.
DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione procede per assurdo.
Fase 1: NEGAZIONE DEL TEOREMA
Supponiamo che il teorema sia falso.
a
Possiamo anche supporre che a, b non
b
abbiano divisori comuni perché, se li avessero, potremmo sempre ridurre la frazione ai minimi
termini..
Esisteranno allora due numeri interi a, b tali che 12 
Fase 2: RAGIONAMENTO CHE PORTA A UNA CONTRADDIZIONE
a
b
12 
12 
a2
b
2
elevando al quadrato abbiamo:
 a 2  12b 2
 a 2  2 2  3b 2
*
Ma questo implica che a2 è multiplo di 3, il che può succedere solo se lo stesso a è multiplo di 3.
Dato che a è multiplo di 3 possiamo scrivere:
dove k è un numero intero.
* *
Sostituendo nella relazione * otteniamo:
a  3k
3k 2  2 2  3b 2

9k 2  12b 2

3k 2  4b 2
Ma questo implica che b2 è multiplo di 3, il che può succedere solo se lo stesso b è multiplo di 3.
Abbiamo quindi ricavato che a, b sono entrambi multipli di 3, cosa che porta a una contraddizione
dato che avevamo supposto nella fase 1 che a, b non avessero divisori comuni.
La contraddizione ci porta ad affermare che il teorema non può essere falso, quindi deve essere vero.
Il teorema è dimostrato.
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Euclide e i numeri irrazionali pag.4 di 5
TEOREMA SULLA RADICE CUBICA DI 7
3
7 non può essere espresso come rapporto tra due numeri interi.
DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione procede per assurdo.
Fase 1: NEGAZIONE DEL TEOREMA
Supponiamo che il teorema sia falso.
a
Possiamo anche supporre che a, b non
b
abbiano divisori comuni perché, se li avessero, potremmo sempre ridurre la frazione ai minimi
termini..
Esisteranno allora due numeri interi a, b tali che
3
7
Fase 2: RAGIONAMENTO CHE PORTA A UNA CONTRADDIZIONE
3
7
a
b
elevando al cubo abbiamo:
7
a3
b
3
 a 3  7b 3
*
Ma questo implica che a3 è multiplo di 7, il che può succedere solo se lo stesso a è multiplo di 7.
Dato che a è multiplo di 7 possiamo scrivere:
dove k è un numero intero.
* *
Sostituendo nella relazione * otteniamo:
a  7k
7k 3  7b 3

7 3  k 3  7b 3

72  k 3  b3
Ma questo implica che b3 è multiplo di 7, il che può succedere solo se lo stesso b è multiplo di 7.
Abbiamo quindi ricavato che a, b sono entrambi multipli di 7, cosa che porta a una contraddizione
dato che avevamo supposto nella fase 1 che a, b non avessero divisori comuni.
La contraddizione ci porta ad affermare che il teorema non può essere falso, quindi deve essere vero.
Il teorema è dimostrato.
……………………………………………………………………………………………………………
Euclide e i numeri irrazionali pag.5 di 5